四川省泸州市泸州老窖天府中学2024-2025学年高二上学期期末测试数学试题

泸州市老窖天府中学2024-2025学年上期高二期末测试题 数 学 注意事项: 1.答卷前，考生务必把自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。 2.考生作答时，选择题用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，其余各题用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上,在本试卷、草稿纸上答题无效。 3.全卷满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角为（    ） A．60° B．90° C．120° D．135° 2．若复数满足，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若点，到直线的距离相等，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或2 4．正项等比数列中，，，则（    ） A． B．3 C．6 D．9 5．如图，已知四面体的棱长都是2，点为棱的中点，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 6．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差 7．如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，其外接球、内切球、内棱切球都存在，并且三球球心重合.已知某正二十面体的棱长为1，体积为，则该正二十面体的内切球的半径为（   ） A． B． C． D． 8．设是双曲线的左、右焦点，O是坐标原点，点P是C上异于实轴端点的任意一点，若则C的离心率为（   ） A． B． C．3 D．2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为奇数”记为事件，“点数小于5”记为事件，“点数大于5”记为事件.下列说法正确的是（    ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D． 10．设等差数列的公差为d，前n项和为，若，则下列结论正确的是（    ） A．数列是递增数列 B． C． D．数列中最大项为第6项 11．设双曲线的左右顶点分别为，，左右焦点分别为，，为双曲线的一条渐近线，过作，垂足为，为双曲线在第一象限内一点，则（    ） A． B． C．若，则的面积为 D．若平行于轴，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线：与直线：.若，则 . 13．数列满足，则 . 14．已知抛物线C：的焦点F到其准线的距离为2，圆M：，过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本题13分）2023年9月3日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利78周年纪念日，某市宣传部组织市民积极参加“学习党史”知识竞赛，并从所有参赛市民中随机抽取了50人，统计了他们的竞赛成绩，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求出图中x的值： (2)求这50位市民竞赛成绩的平均数和上四分位数： (3)若成绩不低于80分的评为“优秀市民”，从这50名市民中的“优秀市民”中任选两名参加座谈会，求这两名市民至少有一人获得90分及以上的概率． 16．（本题15分）在等比数列中，，公比，且，又与的等比中项为2. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和. 17．（本题15分）已知圆心为的圆经过点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程： (2)已知直线过点且直线截圆所得的弦长为2，求直线的方程. 18．（本题17分）在三棱台中，平面，，且，，为的中点，是上一点，且（）.    (1)求证：平面； (2)已知，且直线与平面的所成角的正弦值为时，求平面与平面所成夹角的余弦值. 19．（本题17分）已知椭圆的离心率为． (1)点P是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，A1（﹣a，0），A2（a，0），证明点P与A1，A2连线的斜率的乘积为定值，并求出该定值； (2)若椭圆的短轴长为2，动直线l与椭圆交于A，B两点，且坐标原点O在以AB为直径的圆上． ①判断是否存在定圆与直线l恒相切，若存在，求定圆的方程，若不存在，请说明理由； ②求三角形OAB的面积的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C B B A C D AC BC 题号 11 答案 BCD 12．2 13．. 14．1 15．（1）由频率分布直方图可知：， . （2）由得：， 设市民竞赛成绩的上四分位数为a， 则， ， （3）由频率分布直方图可知：50名市民中有“优秀市民”12人， 其中8人成绩在不高于90分，记为， 有4人成绩在90分以上，记为． 从“优秀市民”中任选两名参加座谈会，用集合表示这个试验的一个样本点， 因此该试验的样本空间为， 其中， 事件 “两名市民至少有一人获得90分及以上”，则 ，其中， . 16．（1）因为， 所以， 又，所以， 因为与的等比中项为2，所以， 则，解得（舍去）， 所以，所以（舍去） 所以； （2）由（1）得， 令，则， 令，则， 当时，， 当时， ， 综上所述，. 17．（1）的中点为 的垂直平分线方程为，即， 将联立可得，即圆的圆心坐标为. 圆的半径为， 所以圆的标准方程为. （2）设圆心到直线的距离为，由弦长公式得，故. 若直线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离为3，符合题意. 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即， 所以，解得，则直线的方程为. 故直线的方程为或. 18．（1）∵，且是的中点，则. ∵平面，平面，∴. 又平面，∴平面， 因为平面， ∴.① ∵， ∴，则. ∵，∴， ∴在平面中.② ∵平面， ∴由①②知平面. （2）由题意得，平面， ∴平面. 由（1）可知，故为坐标原点. 如图，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系.    ∵， ∴，. ∴，，， ∵， ∴由棱台的性质得， . 由（1）可知平面的一个法向量为，且. 直线与平面的所成角的正弦值为， ∴（）， 即，解得. ∴平面的一个法向量为，且. 平面的法向量为. ∵，， ，即， 当时，，. ∴平面的一个法向量为. . ∴平面与平面所成夹角的余弦值. 19．（1）设P（x0，y0），则，整理可得， 则，所以＝， 因为椭圆的离心率为，则， 所以，则，故点P与A1，A2连线的斜率的乘积为定值. （2）因为椭圆的短轴长为2，则b＝1，由（1）可知，a＝2，所以椭圆的方程为，因为坐标原点O在以AB为直径的圆上，所以OA⊥OB， ①假设存在定圆与直线l相切，由对称性可知定圆的圆心在坐标原点O， 当直线l的斜率不存在时，有对称性设A（t，t），则t2+4t2＝4，解得，此时坐标原点O到直线l的距离的平方为， 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立方程组，消去y可得（4k2+1）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0， 则△＝16[（4k2+1）﹣m2]＞0，消去x可得，（4k2+1）y2﹣2my+m2﹣4k2＝0， 因为OA⊥OB，则，即5m2＝4（k2+1），此时， 坐标原点O到直线l：y＝kx+m的距离的平方为． 综上所述，存在定圆与直线l恒相切； ②当直线l的斜率不存在时，△OAB的面积， 当直线l的斜率存在时，△OAB的面积S＝＝＝， 令t＝4k2+1，t≥1，则S＝＝，所以． 综上所述，△OAB的面积的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$