精品解析：浙江省宁波市镇海蛟川书院2024--2025学年上学期八年级数学期末测试卷

蛟川书院2024学年第一学期期末测试 初二数学试卷 （满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共10题）． 1. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（　　） A. 笛卡尔心形线 B. 赵爽弦图 C. 莱洛三角形 D. 科克曲线 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式加法，乘法与除法运算，化简二次根式，熟知相关计算法则是解题的关键．根据二次根式的加法，乘法与除法运算的运算法则，化简二次根式的方法逐一计算判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、与不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，大于号，要向数轴右边画，且表示的点画空心圆圈，据此可得答案． 【详解】解：大于，则应从表示的点向右画，并且不包含的点，即表示的点画空心圆圈，即数轴表示如下： 故选：B． 4. 如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形的内角和定理，结合图形，根据“全等三角形的对应边相等、对应角相等”，则图中两个三角形长为的边所对的角相等，根据图中已知两角的度数，结合三角形的内角和为，计算角度，选择答案即可． 【详解】解：∵图中的两个三角形是全等三角形，是长为的边所对的角， ∴， 故选：C． 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程（），“一元二次方程二次项系数不为0”、“一元二次方程有实数根，则根的判别式”，据此求出的取值范围，选择符合的选项即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴选项中的值可以是B选项0， 故选：B． 6. 已知一次函数与（，为常数，且），则它们在同一平面直角坐标系内的图象不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象性质，根据，经过第几象限，从而判断，的取值情况，据此即可作答． 【详解】解：A、一次函数经过第一、三象限，得，一次函数经过第一、二、三象限，得，不符合题意； B、一次函数经过第二、四象限，得，一次函数经过第一、二、四象限，得，不符合题意； C、一次函数经过第一、三象限，得，一次函数经过第一、二、四象限，得，自相矛盾，符合题意； D、一次函数经过第一、三象限，得，一次函数经过第二、三、四象限，得，不符合题意； 故选：C 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 面积和周长都分别相等的两个直角三角形全等． B. 等腰三角形的角平分线，高，中线互相重合． C. 已知等腰三角形的两条边分别为3和7，则它的周长为13或17． D. 三边长为、、的三角形为直角三角形． 【答案】A 【解析】 【分析】设一个直角三角形的直角边与斜边分别为，另一个直角三角形的直角边与斜边分别为，不妨设，，则，，，，再进一步证明，即可判断A，根据等腰三角形的性质可判断B，C，根据勾股定理的逆定理可判断D，从而可得答案． 【详解】解：A、设一个直角三角形的直角边与斜边分别为，另一个直角三角形的直角边与斜边分别为，不妨设，， 则，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴两个直角三角形全等， ∴面积和周长都分别相等的两个直角三角形全等是真命题，故本选项符合题意， B、等腰三角形的底边上的高线，中线与顶角的角平分线互相重合，故本选项不符合题意， C、∵等腰三角形的两条边分别为3和7， 当腰长为时，，三角形不成立； 当腰长为时，，三角形成立；三角形的周长为，故本选项不符合题意， D、∵， ∴三边长为、、的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，因式分解符应用，等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理的应用，真假命题的判断，熟记基础概念是解本题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中有两条直线：：，：，对点作如下操作．第1步，作点关于的对称点；第2步，作关于的对称点；第3步，再作关于的对称点；第4步，再作关于的对称点以此类推，问：点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】标出点，连接、、、、、，取直线：：上的点，取点，取点，取直线：：上的点，连接，取点，连接点、、，得到，过点作轴于点，得出，进而推出，，证明和是等边三角形，于是得出，，根据轴对称变换，分析、、、、，和坐标轴的夹角，得出，利用含度角的直角三角形的性质，得出，然后根据勾股定理得出，据此即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，标出点，连接、、、、、，取直线：：上的点，取点，取点，取直线：：上的点，连接，取点，连接点、、，得到，过点作轴于点， ∴轴，轴，， ， ， ， ， ∴， ， 和是等边三角形， ∴，， ∴第1步，作点关于的对称点落在轴上， 第2步，作关于的对称点落在轴上， 第3步，作关于的对称点，和轴的夹角， 第4步，作关于的对称点，和轴的夹角， 继续作关于的对称点，和轴的夹角，即， ∴， ， ∴点的坐标为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形变化——轴对称，等边三角形的判定与性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握坐标与图形变化——轴对称是解题的关键． 9. 如图，等腰，，点是的中点，点为线段上一动点，连结、．设，的面积为，若关于的函数表达式为，则的长度为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到当时，，求出，时，，求出的面积，过点A作于点E，然后求出，，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵设，的面积为，若关于的函数表达式为， ∴当点P和点C重合时，面积为0， 即当时， 解得 ∴此时 当点P和点B重合时，即时， ∴此时的面积为6，即的面积为6， ∵点是的中点 ∴的面积 如图所示，过点A作于点E ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了一次函数和几何综合，三线合一，勾股定理，三角形中线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 10. 如图，在中，，从点射出光线经过、反射恰好回到点，根据光的反射性质，有，，连结．若，以下结论正确的是：①，②，③，④平分． A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等是三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理；，，利用三角形内角和判断结论①；根据反推回去，发现矛盾的地方，即可判断结论②；如图，作交延长线于，过作交于，交延长线于，则，，先证明，得到 ，，，再证明，得到，即可判断平分，得到④正确；证明，得到，设，则，，利用勾股定理和面积依次求出，，，，再在中，利用勾股定理求出，最后计算，，即可判断③正确． 【详解】解：设，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 整理得， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∴，， 假设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，此时与重合，不符合题意， 故②错误； 如图，作交延长线于，过作交于，交延长线于，则，， ∵，，， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴平分， 故④正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵中，， ∴，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③正确， 综上所述，正确的有①③④． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共6小题）． 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，点A（﹣2，3）在第_____象限． 【答案】二 【解析】 【分析】根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：点A（﹣2，3）在第二象限． 故答案为：二． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 13. 若点，在一次函数（为常数）图象上，则，的大小关系是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟知当时，y随着x的增大而减小是解此题的关键．根据一次函数的性质可得：y随着x的增大而减小，再解答即可． 【详解】解：∵， ∴y随着x增大而减小， ∵， ∴； 故答案为：． 14. 在中，，为斜边上一点，将沿折叠，使点落直线上的处．若，，则折痕______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质、等角对等边、三角形的内角和定理、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握知识点、理解题意、画图分析推理是解题的关键． 分类讨论；当点在线段上时，过点作于点，根据折叠的性质，得出，推出，设，得出，结合平角为，得出方程求解，推出，，得出，根据等角对等边、角所对的直角边等于斜边的一半，得出，，结合勾股定理计算，，得出答案；当点在线段的延长线上时，过点作于点，根据折叠的性质，得出，推出，设，得出，结合平角为，得出方程求解，推出，，得出，根据等角对等边、角所对的直角边等于斜边的一半，得出，，结合勾股定理计算，，得出答案．最后再综合得出答案即可． 【详解】解：如图，当点在线段上时，过点作于点， ∴，，，设， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，当点在线段的延长线上时，过点作于点， ∴，，，设， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 综上所述，折痕， 故答案为：． 15. 若关于的不等式组的整数解有且只有一个，则的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．首先解每个不等式，然后根据不等式组的整数解的个数，确定整数解，从而确定a的范围． 【详解】解， 解①得， 解②得， 则不等式组的解集是． ∴， ∴， ∵不等式组有1个整数解，则整数解是0． ∴， 解得： 综上：， 故答案是：． 16. 如图，为正方形内一点，，过点作交射线于点，连接．若正方形边长为，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，交于点，证明，，设，证明，可得，记的交点为，证明，再进一步利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵，， ∴平分，即，， ∴，， 设， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 记的交点为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查的是正方形的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，三角形的内角和定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、解答题（17-20每题8分，21、22每题10分，23题8分，24题12分） 17. （1）解方程：； （2）化简计算：． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则、正确运算是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程，提取公因式，变形为，则或，求解即可； （2）先化简二次根式、计算二次根式的乘法，再计算乘法，最后计算二次根式的加减即可． 【详解】解：（1） 提取公因式得：，即， ∴或， 解得：，； （2） ． 18. 在平面直角坐标系中，每一小格正方形的边长均为1，点、的位置如图所示． （1）点的坐标为（______，______），点的坐标为（______，______）． （2）在坐标系中找一格点，使是以为腰的等腰三角形． （3）在图中画出点关于轴的对称点，并求出． 【答案】（1），； （2）画图见解析 （3）画图见解析， 【解析】 【分析】（1）根据在坐标系内的位置可得其坐标； （2）先由勾股定理求解，再确定即可得到等腰三角形； （3）先确定点关于轴的对称点，再利用三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：，； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 理由：∵， 而， ∴，，为符合条件的等腰三角形． 【小问3详解】 解：点关于轴的对称点如图示， ∴． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，画等腰三角形，勾股定理的应用，轴对称的性质，熟练的画图是解本题的关键． 19. 如图，直线：与直线：相交于点． （1）求，的值． （2）根据图象，直接写出的解集． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，求一次函数解析式、函数值，根据两条直线的交点求不等式的解集，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据交点，代入，求出的值，得出点的坐标，代入，求出的值即可； （2）由（1）得，点的坐标为，则直线：，令，求出点的坐标，根据图象，，则为直线在轴上方，并在直线下方时，得出的解集即可． 【小问1详解】 解：∵直线：与直线：相交于点， ∴， ∴点的坐标为， ∴把代入得：， 解得：； 【小问2详解】 解：∵由（1）得，点的坐标为， ∴直线：， 令， ， ∴点的坐标为， 由图象得：在点和点之间时，， ∴的解集为． 20. 如图所示，是等腰三角形，，、分别为线段、上一点，，过点作的垂线交于点，交于点，连接，． （1）证明：． （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，再结合已知条件证明即可 （2）先求解，，结合，求解，证明，再进一步求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，线段的垂直平分线的性质，熟记等腰三角形的性质是解本题的关键． 21. 某商场计划从厂家购进、两款衣服共100件，这两款衣服的进价和售价如下表．设购进款衣服件，商场总利润为元． 品名 进价（元/件） 90 75 售价（元/件） 120 100 （1）求关于的函数关系式； （2）厂家规定的进货数量不得超过进货数量的两倍，问应如何设计进货方案才能获得最大利润并求出最大利润； （3）为进一步激励销人员，商场准备实施奖励计划，每卖出一件衣服奖励元，每卖一件衣服奖励元，结果发现：若100件衣服均按原定售价卖完，无论购进商品多少件，商场利润恒为2000元，求、的值． 【答案】（1） （2）购进的进货件，的进货件时，销售完这批衣服时获利最多，此时利润为元． （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得利润等于两种服装的利润之和列函数关系式求解即可； （2）根据题意列不等式，求出的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值． （3）根据商场准备实施奖励计划，每卖出一件衣服奖励元，每卖一件衣服奖励元，可得，再利用函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：设购进款衣服件，商场总利润为元． ∴款衣服件， 根据题意，得； 【小问2详解】 解：由题意：的进货数量不得超过进货数量的两倍， 得：， 解得：， ∵为整数， ∴的最大值为， ∵， 随的增大而增大， 当时，有最大值， 最大值为：， 种衣服的数量为：， 答：购进的进货件，的进货件时，销售完这批衣服时获利最多，此时利润为元． 【小问3详解】 解：∵商场准备实施奖励计划，每卖出一件衣服奖励元，每卖一件衣服奖励元， ∴， ∵100件衣服均按原定售价卖完，无论购进商品多少件，商场利润恒为2000元， ∴， 解得：， 【点睛】本题考查的是一次函数的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的性质，二元一次方程组的应用，理解题意是解本题的关键． 22. 【探索发现】 （1）如图1，在中，为线段的中点．延长到点，使，连接．证明：． 【初步应用】 （2）如图2，是边上的中线，是上一点，交于，若，，，求的长度． 【拓展提升】 （3）如图3，在中，是的中点，，、分别在、上，，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中线得出，再由对顶角相等得出，即可得出结论； （2）如图，延长至，使，连接，先由，得出，，再进一步解答即可； （3）如图，延长至使，连接，过作于，证明，得出，，从而得出，进而得出，再进一步即可求出答案． 【详解】证明：（1）是的中线， ， 在和中， ， ； （2）如图2，延长至，使，连接， 同理可得：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）如图3，延长至使，连接，，过作于， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，三角形的内角和定理的应用，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 23. 定义：如果一个一元二次方程有两个解，其中一个是一元一次不等式组的解，而另一个不是，那么称该一元二次方程为该不等式组的“半隐二次方程”．例如：方程的解为，，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的半隐二次方程． （1）方程是不是不等式组的半隐二次方程？请说明理由； （2）若关于的一元二次方程是不等式组的半隐二次方程，求的取值范围． 【答案】（1）是，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、解一元一次不等式组、新定义、数轴与不等式的解集，理解题意新定义是解题的关键． （1）先利用因式分解法解一元二次方程，再解一元一次不等式组，根据“半隐二次方程”的定义，分析得出答案即可； （2）先解一元二次方程，再解不等式组，画出数轴图，根据“半隐二次方程”的定义，得出且，解出答案即可． 【小问1详解】 解：是，理由如下， 将方程左边因式分解，变形得：， ∴或， 解得：，； 解得：， ∴是不等式组的一个解，不是不等式组的解， ∴方程是不等式组的半隐二次方程； 【小问2详解】 解： 移项得：， 将方程左边因式分解，提取，变形得：， ∴或， 解得：，； 解得：， 如图，画出数轴图， ∵若关于的一元二次方程是不等式组的半隐二次方程， ∴且， 解得：． 24. 如图，直线分别交轴，轴于点、，已知． （1）求点坐标和直线的解析式； （2）已知点为直线上一动点，将点绕点顺时针旋转得到点，连结、、． ①求的度数． ②当为直角三角形时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）点坐标为，直线的解析式为 （2）①或；②或 【解析】 【分析】（1）由直线，得出点坐标，，由，结合三角形面积公式，计算出，即可得出点坐标，再把点坐标代入，求出直线的解析式即可； （2）①取直线上的点，使得，连接，根据点绕点顺时针旋转得到点，推出，证明和是等边三角形，得出．分类讨论，情况一：当点在射线上时，利用证明，得出；情况二：当点在线段上时，得出，由，，推出，利用证明，得出；情况三：当点在的延长线上时，得出，由，推出，利用证明，得出．综合得出的度数即可； ②当点在上，时，为直角三角形，过点作轴于点，由①得，，由①情况一得，计算角度，推出，，得出点的横坐标点的横坐标，求出，根据“角所对的直角边等于斜边的一半”，得出，根据勾股定理计算，计算，即可得出点的坐标；当点在线段上时，由①得，由①情况二得，得出，推出此时不可能是直角三角形；当点在的延长线上，时，为直角三角形，由（1）得，由①得，，由①情况三得，计算角度，得出， ，得出点的横坐标点的横坐标，根据“角所对的直角边等于斜边的一半”，得出，根据勾股定理计算，得出点的坐标．最后综合得出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵当时，， ∴点坐标为，， ∵， ∴， ∴点坐标为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：①取直线上的点，使得，连接， ∵点绕点顺时针旋转得到点 ∴和是等边三角形， ∴， 情况一：如图，当点在射线上时， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 情况二：如图，当点在线段上时， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 情况三：如图，当点在的延长线上时， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 综上所述，的度数为或； ②如图，当点在上，时，为直角三角形，过点作轴于点， ∵由①得，，由①情况一得， ∴，， ∴， ∴，， ∴轴， ∴点的横坐标点的横坐标， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 当点在线段上时，由①得，由①情况二得， ∴， ∴当点在线段上时，不可能是直角三角形； 如图，当点在的延长线上，时，为直角三角形， ∵由（1）得，由①得，，由①情况三得， ∴，，， ∴， ∴轴，， ∴点的横坐标点的横坐标，， ∴， ∴点的纵坐标， ∴点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数和几何综合题，主要考查了求一次函数解析式、勾股定理、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握知识点、作辅助线推理、数形结合、分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 蛟川书院2024学年第一学期期末测试 初二数学试卷 （满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共10题）． 1. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（　　） A. 笛卡尔心形线 B. 赵爽弦图 C. 莱洛三角形 D. 科克曲线 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么的值是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于一元二次方程有实数根，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 6. 已知一次函数与（，为常数，且），则它们在同一平面直角坐标系内的图象不可能为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 面积和周长都分别相等的两个直角三角形全等． B. 等腰三角形的角平分线，高，中线互相重合． C. 已知等腰三角形的两条边分别为3和7，则它的周长为13或17． D. 三边长为、、的三角形为直角三角形． 8. 如图，在平面直角坐标系中有两条直线：：，：，对点作如下操作．第1步，作点关于的对称点；第2步，作关于的对称点；第3步，再作关于的对称点；第4步，再作关于的对称点以此类推，问：点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，等腰，，点是的中点，点为线段上一动点，连结、．设，的面积为，若关于的函数表达式为，则的长度为（ ） A. B. 5 C. D. 10. 如图，在中，，从点射出的光线经过、反射恰好回到点，根据光的反射性质，有，，连结．若，以下结论正确的是：①，②，③，④平分． A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ②③④ 二、填空题（每小题3分，共6小题）． 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 12. 在平面直角坐标系中，点A（﹣2，3）在第_____象限． 13. 若点，在一次函数（为常数）的图象上，则，的大小关系是______． 14. 在中，，为斜边上一点，将沿折叠，使点落直线上的处．若，，则折痕______． 15. 若关于的不等式组的整数解有且只有一个，则的取值范围是______． 16. 如图，为正方形内一点，，过点作交射线于点，连接．若正方形边长为，，则______． 三、解答题（17-20每题8分，21、22每题10分，23题8分，24题12分） 17. （1）解方程：； （2）化简计算：． 18. 在平面直角坐标系中，每一小格正方形的边长均为1，点、的位置如图所示． （1）点的坐标为（______，______），点的坐标为（______，______）． （2）在坐标系中找一格点，使是以为腰等腰三角形． （3）在图中画出点关于轴的对称点，并求出． 19. 如图，直线：与直线：相交于点． （1）求，的值． （2）根据图象，直接写出的解集． 20. 如图所示，是等腰三角形，，、分别为线段、上一点，，过点作的垂线交于点，交于点，连接，． （1）证明：． （2）若，求的度数． 21. 某商场计划从厂家购进、两款衣服共100件，这两款衣服进价和售价如下表．设购进款衣服件，商场总利润为元． 品名 进价（元/件） 90 75 售价（元/件） 120 100 （1）求关于的函数关系式； （2）厂家规定的进货数量不得超过进货数量的两倍，问应如何设计进货方案才能获得最大利润并求出最大利润； （3）为进一步激励销人员，商场准备实施奖励计划，每卖出一件衣服奖励元，每卖一件衣服奖励元，结果发现：若100件衣服均按原定售价卖完，无论购进商品多少件，商场利润恒为2000元，求、的值． 22. 探索发现】 （1）如图1，在中，为线段的中点．延长到点，使，连接．证明：． 【初步应用】 （2）如图2，是边上的中线，是上一点，交于，若，，，求的长度． 【拓展提升】 （3）如图3，在中，是的中点，，、分别在、上，，若，，求的长． 23. 定义：如果一个一元二次方程有两个解，其中一个是一元一次不等式组的解，而另一个不是，那么称该一元二次方程为该不等式组的“半隐二次方程”．例如：方程的解为，，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的半隐二次方程． （1）方程是不是不等式组的半隐二次方程？请说明理由； （2）若关于的一元二次方程是不等式组的半隐二次方程，求的取值范围． 24. 如图，直线分别交轴，轴于点、，已知． （1）求点坐标和直线的解析式； （2）已知点为直线上一动点，将点绕点顺时针旋转得到点，连结、、． ①求的度数． ②当为直角三角形时，请直接写出点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$