精品解析：湖南省永州市道县2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024年下期义务教育阶段期末质量监测 八年级数学（试题卷） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试卷上作答无效，考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3．本试卷满分120分，考试时间120分钟，共26个小题．如有缺页，考生须声明． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数中是无理数的是（） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项． 【详解】解：A．0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B．1是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； C．是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； D．符合无理数的定义，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的性质，解题的关键是掌握分式的基本性质，最简分式，掌握一个分式的分子与分母没有公因式，进行解答，即可． 【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意； B 、是最简分式，符合题意； C、不是最简分式，不符合题意； D、不是最简分式，不符合题意． 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握，，，进行计算，即可． 【详解】解：A、，错误，不符合题意； B、，错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，错误，不符合题意． 故选：C． 4. 下列命题为真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 有的三角形内角和不是 C. 两个锐角之和一定为钝角 D. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据对顶角的性质、三角形的内角和定理、角的分类、等边三角形的判定方法、判断命题真假的方法，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，故选项不符合题意； B、三角形的内角和都为，故原命题错误，是假命题，故选项不符合题意； C、两个锐角之和也可能为锐角或直角，不一定为钝角，原命题错误，是假命题，故选项不符合题意； D、有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形，命题正确，是真命题，故选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，三角形的内角和定理，角的分类，等边三角形的判定，判断命题真假等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 5. 年月日是我国二十四节气中的冬至，道县当天最高气温是，最低气温，则这天气温的变化范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的定义，根据题意找出不等关系是解答本题的关键． 根据题意可知，当天的气温应该大于或等于最低气温，且小于或等于最高气温，根据上述分析，即可列出不等式，得到答案． 【详解】解：根据题意可得：这天气温的变化范围是， 故选：D． 6. 安装空调外机时一般会采用如图的方法固定，这是利用三角形的（ ） A. 全等性 B. 对称性 C. 美观性 D. 稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键． 钉在墙上的方法是构造三角形，因而应用了三角形的稳定性． 【详解】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性． 故选：D． 7. 关于x的分式方程有增根，则m为（） A. 0 B. C. 7 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．由分式方程有增根，得到最简公分母为0，确定出m的值即可． 【详解】解：分式方程去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 解得：． 故选：C． 8. 如图，的周长是，，，垂足为点，则的长为（ ） A. 5cm B. 4cm C. 3cm D. 2cm 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．根据“三线合一”可得，由题意求出的长，即可求解． 【详解】解：，， 点是的中点，， 的周长是，， ， ， 故选． 9. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；②作直线交于点，连接．若，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质 ，解题的关键是掌握三角形的内角和，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据题意，可得是线段的垂直平分线，则，，根据三角形的外角，求，根据，则，根据三角形的内角和求出，根据，即可． 【详解】解：由作图可得，是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 10. 如图，在正方形中，、分别是边、上的点，，，连接交于点，交于点．下列结论：①；②的周长为；③；④．正确的有（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，旋转的性质等，构造全等三角形是解题的关键．由四边形是正方形得，，，再将绕点逆时针旋转得到，在上取一点，使，根据旋转的性质及证明，然后根据全等三角形的性质判断①②③；再证明，可得，，，然后说明，最后根据全等三角形的面积相等判断④即可． 【详解】∵四边形是正方形， ∴，，． 将绕点逆时针旋转得到，则共线，在上取一点，使． 根据旋转的性质可知，，． ∵，， ∴， ∴， 即． ∵，， ∴， ∴， ∴的周长． 故①②③正确； ∵，，， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴， ∴． 所以④不正确． 正确的有①②③． 故选：C． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，请将答案填在答题卡的答案栏内．） 11. 比较大小：________（填“”或“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题可利用无理数的大小估算，根据，从而比较实数的大小． 【详解】解：∵，， ∴． 12. 等腰三角形顶角为，则它的底角度数为__． 【答案】70 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握等腰三角形两底角相等是解题的关键． 根据三角形内角和定理结合等腰三角形两底角相等，求出它的顶角度数即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个顶角的度数为， ∴它的底角度数为：． 故答案为：70． 13. 使有意义的x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件． 【详解】解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须 ． 故答案为：． 14. 不等式的解集是________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查求不等式的解集，根据解不等式的步骤进行求解，是解题的关键． 【详解】解：， ， ∴； 故答案为：． 15. 如图，，点B、F、C、E在一条直线上，，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出是解题关键．直接利用全等三角形的性质得出，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 16. 若分式的值为，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：分式的值为， ，且， ， 故答案为：． 17. 年月日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”成功列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，为了迎接年春节到来，盼盼家里开始准备年货，购买了、两种糖果，其中类糖果的价格比类糖果的价格每千克多元，花元购买类糖果的数量与花元购买类糖果的数量相同，则类糖果的价格________元/千克． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是掌握分式方程的应用，根据题意，设类糖果的价格为元/千克，则类糖果的价格为元/千克，列出方程：，解出，即可． 【详解】解：设类糖果的价格为元/千克，则类糖果的价格为元/千克， ∵花元购买类糖果的数量与花元购买类糖果的数量相同， ∴， 解得：， 经检验，是方程的解， ∴类糖果的价格为元/千克． 故答案为：． 18. 如图，在中，点是边上的中点，，，则线段长度的取值范围为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系定理和倍长中线的数学模型是解题的关键，延长到，使，连接，易证得，在中，利用三角形三边关系即可求得的取值范围，即可得出的取值范围即可． 【详解】解：延长到，使，连接，如图所示： ∵点是边上的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解答过程．） 19. 计算： 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先算零指数幂，乘方和化简算术平方根，再计算加减，熟练掌握各个运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；2 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．先进行括号内的运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案． 【详解】解：原式， ， 当时， 原式． 21. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】；在数轴上表示为： 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为：， 22. 已知实数a，b，c满足：，求： （1）a，b，c的值． （2）的算术平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为零，则它们都为零；求算术平方根；掌握算术平方根、绝对值与平方数的非负性质是解题的关键； （1）原式可化为，由非负数的性质即可求解； （2）由（1）中所求a，b，c的值，代入即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ，，， 解得：，，； 【小问2详解】 解：由（1）得：，，， ， ， 即的算术平方根是． 23. 如图，在中，、分别是、上一点，其中为的角平分线，． （1）求证：． （2）若，求的大小． 【答案】（1）证明：为的角平分线， 在和中， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的定义和性质，全等三角形的判定和性质． （1）由角平分线的性质得出，即可利用证明． （2）由全等三角形的性质得出，再根据三角形外角的定义和性质即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 24. 某校为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举，积极开展“阳光体育”活动，学校准备购买篮球和排球共60个．已知每个篮球的价格是每个排球的价格的2倍，用240元单独购买某一种球，则购买篮球的数量比购买排球的数量少3个． （1）求篮球和排球的单价各是多少元？ （2）若学校购买篮球和排球的总资金不超过3680元，并且篮球的数量不少于30个，请问有几种购买方案？ 【答案】（1）80元；40元 （2） 解：设购买个篮球，则购买个排球，由题意得： ， 解得：， 为整数， 取30或31或32 则购买方案有如下三种： 方案一：购买篮球30个，购买排球30个； 方案二：购买篮球31个，购买排球29个； 方案三：购买篮球32个，购买排球28个． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程以及一元一次不等式组，正确掌握相关内容是解题的关键． （1）设排球的单价为元，则篮球的单价为元，根据题意列分式方程，解方程组可求解； （2）设购买个篮球，则购买个排球，，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组，求不等式组的整数解，即可求解． 【小问1详解】 解：设排球的单价为元，则篮球的单价为元． 由题意得，解得， 检验，当时，， 是原分式方程的解，且符合题意 答：篮球的单价是80元，排球的单价是40元． 【小问2详解】 略 25. 【教材原题】湘教版八年级上册175页教材习题：如图，将边长分别为，，，的正方形的面积记为，，，． （1）计算：，，； （2）把边长为的正方形的面积记作，其中是正整数，从（1）中计算结果，你能猜出等于多少吗？你的猜想是否正确，请说明理由． 【拓展应用】在原题的条件下，完成下列问题． （3）①记，，…，，令，求的值． ②若将边长变为，，，…，试求的值． 【答案】（1）；； （2）猜想：． 理由如下： 解： ． （3）① ；② 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握平方差，完全平方公式的应用，二次根式的运算，进行解答，即可． （1）根据正方形的面积公式，列式计算，即可； （2）根据正方形的面积公式，利用完全平方公式，进行计算，即可； （3）①根据题意，则进行化简得，再把代入进行计算，即可；②根据正方形的面积公式列出算式，利用完全平方公式化简即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， （2）略 （2）①解： ， ， ． ②解： ． 26. “一线三等角”，是我们学习三角形知识经常用到的经典模型． （1）如图1，为等腰直角三角形，，，D、A、E三点都在直线l上，且，若，则 ． （2）如图2，，，，连接，且于点G，与直线交于点，求证：点是的中点． （3）如图3，过的边向外作正方形、正方形，是边上的高，延长交于点I，，求的面积． 【答案】（1）10 （2） 证明：如图2，过点A作交于点M，过点B作交于点N， ， ， ， 在 和中， ， ， ， 同理可得：， ， ， 在和中， ， ， ， ∴点F是的中点； （3）20 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）根据直角三角形两锐角互余，求得，，结合题意即可证明，从而得到，即可得出结果； （2）过点A作交于点M，过点B作交于点N，证明，，进一步推出，即可证明结论； （3）过E作于N，过G作的延长线于点M，通过证明，，进一步证明，得到，求出结果即可 【小问1详解】 解：，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：10； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图 3，过E作于N，过G作的延长线于点M， 由题意可知，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 同理可证：， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下期义务教育阶段期末质量监测 八年级数学（试题卷） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试卷上作答无效，考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3．本试卷满分120分，考试时间120分钟，共26个小题．如有缺页，考生须声明． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数中是无理数的是（） A. 0 B. 1 C. D. 2. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题为真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 有的三角形内角和不是 C. 两个锐角之和一定为钝角 D. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形 5. 年月日是我国二十四节气中的冬至，道县当天最高气温是，最低气温，则这天气温的变化范围是（ ） A. B. C. D. 6. 安装空调外机时一般会采用如图的方法固定，这是利用三角形的（ ） A. 全等性 B. 对称性 C. 美观性 D. 稳定性 7. 关于x的分式方程有增根，则m为（） A. 0 B. C. 7 D. 1 8. 如图，的周长是，，，垂足为点，则的长为（ ） A. 5cm B. 4cm C. 3cm D. 2cm 9. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；②作直线交于点，连接．若，，则=（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，、分别是边、上的点，，，连接交于点，交于点．下列结论：①；②的周长为；③；④．正确的有（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，请将答案填在答题卡的答案栏内．） 11. 比较大小：________（填“”或“”或“”）． 12. 等腰三角形顶角为，则它的底角度数为__． 13. 使有意义的x的取值范围是______． 14. 不等式的解集是________________． 15. 如图，，点B、F、C、E在一条直线上，，则_____． 16. 若分式的值为，则__________． 17. 年月日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”成功列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，为了迎接年春节到来，盼盼家里开始准备年货，购买了、两种糖果，其中类糖果的价格比类糖果的价格每千克多元，花元购买类糖果的数量与花元购买类糖果的数量相同，则类糖果的价格________元/千克． 18. 如图，在中，点是边上的中点，，，则线段长度的取值范围为______ ． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解答过程．） 19. 计算： 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 22. 已知实数a，b，c满足：，求： （1）a，b，c的值． （2）的算术平方根． 23. 如图，在中，、分别是、上一点，其中为的角平分线，． （1）求证：． （2）若，求的大小． 24. 某校为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举，积极开展“阳光体育”活动，学校准备购买篮球和排球共60个．已知每个篮球的价格是每个排球的价格的2倍，用240元单独购买某一种球，则购买篮球的数量比购买排球的数量少3个． （1）求篮球和排球的单价各是多少元？ （2）若学校购买篮球和排球的总资金不超过3680元，并且篮球的数量不少于30个，请问有几种购买方案？ 25. 【教材原题】湘教版八年级上册175页教材习题：如图，将边长分别为，，，的正方形的面积记为，，，． （1）计算：，，； （2）把边长为的正方形的面积记作，其中是正整数，从（1）中计算结果，你能猜出等于多少吗？你的猜想是否正确，请说明理由． 【拓展应用】在原题的条件下，完成下列问题． （3）①记，，…，，令，求的值． ②若将边长变为，，，…，试求的值． 26. “一线三等角”，是我们学习三角形知识经常用到的经典模型． （1）如图1，为等腰直角三角形，，，D、A、E三点都在直线l上，且，若，则 ． （2）如图2，，，，连接，且于点G，与直线交于点，求证：点是的中点． （3）如图3，过的边向外作正方形、正方形，是边上的高，延长交于点I，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $