江苏省无锡市梁溪区无锡外国语学校2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷

无锡外国语学校2024—2025学年度第一学期期末考试 初三数学试卷 2025.1 一、选择题（共30分） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是 ( ) A． B． C． D． 2．∽ ，和分别是和 的高，若，，则与 的面积的比为 ( ) A． B． C． D． 3．下列说法正确的是 ( ) A．三点确定一个圆 B．三角形的外心是三角形三条角平分线的 C．等弧就是长度相等的两条弧 D．圆中最长的弦是直径 4．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ( ) A． B．＜1 C．＞﹣1且≠0 D．＜1且≠0 5．如图，AB是的直径，弦AB于点E，连接AD．若，，则的长为 ( ) A．5 B．6 C．7 D．8 （5题） （6题） （7题） 6．如图，是放置在正方形网格中的一个角，都是格点，则的值为 ( ) A． B． C． D． 7．如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是 ( ) A． B． C．-3 D．-3 8．已知在中，C=，,若点O为的内心，则等于 ( ) A． B． C． D． 9．如图，在等腰直角三角形中，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点，则点沿半圆由点运动至点的过程中，线段的最小值为 ( ) A． B． C． D． 10．如图，、，点是边上一动点，连接，以为斜边在的右上方作等腰直角，当点在边且运动一周时，点的轨迹长为 ( ) A．4 B．6 C．8 D．10 （9题） （10题） 二、填空题（共24分） 11．已知，则的值是 　 。 12．已知，是一元二次方程的两根，则＝　 　。 13．小红沿坡比为的斜坡上走了米，则她实际上升了 米。 14．如图，乐器上的一根弦的长度为，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是弦靠近点的黄金分割点，则线段的长度为 。（结果保留根号） 15．如图，是O的内接三角形，AC是O的直径，，的平分线BD交O于点D，则的度数是 度。 （14题） （15题） 16．把二次函数向上平移个单位长度（＞0），如果平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，那么应满足条件 　 。 17． 在中，°，，是边上一点，，线段的最大值为　 。 18．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交两点（点在点左侧）,则点坐标为 ；与轴交于点，抛物线顶点为，若是锐角三角形，则的取值范围为 。 三、解答题（共96分） 19.计算（共8分） （1） （2） 20.解方程（共8分） （1）； （2） 21．（共10分）如图，在等边三角形中，点是边上一动点（点不与端点重合），作，交边于点，交边于点。 （1）求证：∽； （2）若，求的长。 22．（共10分）某洗车公司安装了A，B两款自动洗车设备，工作人员从消费者对A，B两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意；非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对A 款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：； 抽取的对B款设备的评分数据： 抽取的对 ，款设备的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：=________，=________，=________； (2)有名消费者对A款自动洗车设备进行评分，估计对A款自动洗车设备“满意”的人数； (3)根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可)。 23． （共10分）某地铁检票口有共4个检票通道，甲，乙两人到该景区游玩，两人分别 从4个检票通道中随机选择一个检票. (1)甲选择检票通道的概率是 ； (2)请用“列表法”或“树状图法”求出甲乙两人选择的检票通道恰好相同的概率。 24.（共10分）在矩形ABCD中，。 （1）请在图①中用无刻度的直尺和圆规作图．先在边上确定点，使．再在边上确定点，作出以为圆心的圆，且经过点和点。 （2）在（1）的条件下，若点在直线上，点在直线上，，且，则的半径为 　 。（使用备用图分析） 图① 备用图 25．（共10分）如图，点在上，过点，分别与交于，过作于． (1)求证：是的切线； (2)若与相切于点，，，求阴影部分面积。 26． 农户销售某农产品，经市场调查发现：若售价为元/千克，日销售量为千克，若售价每提 高元/千克，日销售量就减少千克．现设日销售量为千克,售价为元/千克（且为正整数）， (1)求与之间的函数关系式； (2)若政府将销售价格定为不超过元/千克．设每日销售额元，求关于的函数表达式，并求的最大值和最小值； (3)市政府每日给农户补贴元后（为正整数），发现最大日收入（）还是不超过元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于元，请直接写出所有符合题意的值： 27．（共10分）如图，在矩形中，，，点在边上，将射线绕点逆时针旋转，交延长线于点，以线段为邻边作矩形。 图① 图② 图③ (1)如图①，连接，则BDC= ， ； (2)如图②，当点在射线上时，求线段的长； (3)如图③，当时，在平面内有一动点，满足，连接，，则的最小值为 。 28. （共10分）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于 、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，拋物线的对称轴与交于点。 图① 图② (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上两点之间的部分（不包含两点），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将拋物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，M为直线=1上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由。 初三数学期末试卷 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$