精品解析： 四川省泸州市泸州老窖天府中学2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

泸州市江阳区泸州老窖天府中学2024-2025学年上期九年级期末测试题 数 学 注意事项: 1．本堂监测试卷1张共4页，答题卡1张共4页． 2．考生作答时，选择题用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，其余各题用0．5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效． 3．全卷满分120分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、单选题（共36分） 1. 下列图形中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A中图形是轴对称图形，故符合要求； B中图形不是轴对称图形，故不符合要求； C中图形不是轴对称图形，故不符合要求； D中图形不是轴对称图形，故不符合要求； 故选：A． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据顶点式，顶点坐标是，可直接得到答案． 此题主要考查了求抛物线的顶点坐标，解题的关键是熟练掌握：顶点式，顶点坐标是． 【详解】解：顶点式，顶点坐标是， 抛物线的顶点坐标是． 故选：A． 3. 下列事件中，是不可能事件的是（ ） A. 购买一张彩票，中奖 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 从装有5个黑球的袋子中摸出白球 【答案】D 【解析】 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可． 【详解】解：A、购买一张彩票，中奖，是随机事件，不合题意； B、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不合题意； C、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不合题意； D、从装有5个黑球的袋子中摸出白球，是不可能事件，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．用到的知识点为：确定事件包括必然事件和不可能事件．必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 4. 比赛中“去掉一个最高分，去掉一个最低分”后，一定不会发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 极差 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数，众数，极差，中位数的概念可得：比赛中“去掉一个最高分，去掉一个最低分”后，不会影响中间数排序的位置，从而可得中位数不会发生改变，而众数，平均数与极差都有可能变化，从而可得答案. 【详解】解：比赛中“去掉一个最高分，去掉一个最低分”后， 可得总分发生变化，数据的个数也发生变化，所以平均数也可能发生变化， 众数也可能发生变化，极差也可能发生变化， 而最高分与最低分去掉后，不会影响中间数排序的位置，所以不会发生变化的是中位数， 故选C 【点睛】本题考查的是平均数，众数，中位数，极差的含义，掌握以上基本概念是解本题的关键. 5. 已知的直径为，若直线l与只有一个交点，那么圆心O到这条直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．熟练掌握直线与圆只有一个交点，则直线与圆相切，圆心到这条直线的距离为半径长是解题的关键． 根据直线与圆只有一个交点，则直线与圆相切，圆心到这条直线的距离为半径长求解作答即可． 【详解】解：由直线与圆的位置关系，可知直线l与相切， ∴圆心O到这条直线的距离为， 故选：B． 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式，得出关于k的一元一次不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且， 故选：C． 7. 如图，是半圆O的直径，是半圆上两点，点是弧的中点，，，则弧的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，连接，先根据同弧所对的圆周角相等得到，进而利用圆周角定理得到，再证明是等边三角形，得到，最后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴弧的长为， 故选B． 【点睛】本题主要考查了求弧长，圆周角定理，等边三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． 8. 某件商品原价为1000元，连续两次都降价x%后该件商品售价为640元，则下列所列方程正确的是（　　） A. 1000（1﹣x%）2＝640 B. 1000（1﹣x%）2＝360 C. 1000（1﹣2x%）＝640 D. 1000（1﹣2x%）＝360 【答案】A 【解析】 【分析】等量关系为：原价×（1﹣下降率）2＝640，把相关数值代入即可． 【详解】∵第一次降价后的价格为1000×（1﹣x%）， 第二次降价后的价格为1000×（1﹣x%）×（1﹣x%）＝1000×（1﹣x%）2， ∴方程为1000（1﹣x%）2＝640． 故选A． 【点睛】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b． 9. 二次函数的图象上有两点和，则的值等于（ ） A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得a、b是方程的两个根，则有，又由，将所求式子变形为，然后再求值即可． 【详解】解：∵点和在二次函数的图象上， ∴a、b是方程的两个根， ∴， ∵将代入， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与方程之间的关系是解题的关键． 10. 如图，⊙O的直径AB=4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC=5，则AD的长为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】连接BD， ∵AB是直径，∴∠ADB=90°, ∵OC∥AD，∴∠A=∠BOC，∴cos∠A=cos∠BOC, ∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC， ∴cos∠BOC==， ∴cos∠A=cos∠BOC=， 又∵cos∠A= ，AB=4， ∴AD= ，故选B. ． 11. 如图，线段，分别以A、B为圆心，以AB的长为半径作弧，两弧交于C、D两点，则阴影部分的面积为　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图,弓形①的面积=S扇形ABD-S△ABD，只要求出弓形①的面积，然后乘以4即可． 【详解】由题意可得， ， 和时等边三角形， ∴弓形①的面积=S扇形ABD-S△ABD=-×22=， 阴影部分的面积为：， 故选A． 【点睛】本题考查扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质及割补法求图形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 12. 已知抛物线不经过第二象限，与轴交于，两点，其顶点．这条抛物线关于轴对称的抛物线顶点为，若四边形是正方形，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，熟悉掌握二次函数的性质是解题的关键． 利用抛物线的式子求出顶点坐标的位置和与轴上的交点坐标，利用正方形对角线相等的性质列式运算即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∵抛物线不经过第二象限，与轴交于，两点，其顶点为， ∴，顶点在轴上方， ∴， 把代入可得：， 解得：，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 13. 若点M（3，a），N（b，﹣5）关于原点对称，则a+b=____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，得到a，b的值，进而求a+b即可求解． 【详解】解：∵点M（3，a），N（b，﹣5）关于原点对称， ∴b=-3，a=5， ∴a+b=-3+5=2． 故答案是： 2． 【点睛】本题主要考查关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两点的横纵左边分别互为相反数，是解题的关键． 14. 二次函数的图象如图所示，则方程的根为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合函数图象，可得二次函数的图象与轴的交点横坐标为一元二次方程的根，即可解答． 【详解】解：根据图形可得二次函数与轴的交点为， 方程的根为， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与x轴的交点与一元二次方程的解的关系，解题的关键是明确函数与方程的联系． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标是，半径为3，函数的图象被截得的弦的长为，则的值是________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质，掌握垂径定理是解题的关键． 作轴于，交于，作于，连接，由于，易得点坐标为，则为等腰直角三角形，也为等腰直角三角形．由，根据垂径定理得，在中，利用勾股定理可计算出，则，继而可得答案． 【详解】解：作轴于，交于，作于，连接，如图， ∵的圆心坐标是， ∴， 把代入得， ∴点坐标为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴也为等腰直角三角形， ∵， 在中，， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，点D是上一点，，点P是线段上一个动点，以为直径作，点M为的中点，连接，则的最小值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，垂线段最短的应用． 连接，，过点A作，交的延长线于T．由点M为的中点，根据垂径定理得，从而，进而，在中，由，根据垂线段最短可得，即可解答． 【详解】如图，连接，，过点A作，交的延长线于T． ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴的最小值为． 故答案为： 三、解答题（共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据有理数的乘法、化简绝对值，求一个数的立方根与算术平方根进行计算即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握有理数的乘方、化简绝对值，求一个数的立方根与算术平方根是解题的关键． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先通分，计算括号内，除法变乘法，再进行运算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查分式的混合运算．熟练掌握分式的混合运算法则，正确的计算，是解题的关键． 19. 如图，，，求证：． 【答案】 证明：连接， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用（边边边）判定三角形全等． 通过连接，构造两个三角形，利用判定这两个三角形全等，进而根据全等三角形的对应角相等证明． 【详解】略 20. 为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了m名学生每周课外阅读的总时间t（单位：小时），将它分为A（0~2小时），B（2~4小时），C（4~6小时），D（大于6小时）4个等级，并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图（图1，图2）． 请你根据以上统计图表提供的信息，解决下列问题： （1）______； （2）本次调查中C等级有______名学生，请补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为______； （4）若该校有2000名学生，则每周课外阅读总时间不少于4小时的学生大约有______名． 【答案】（1）50 （2） C等级人数有18人，补全条形统计图如下： ； （3） （4）1320 【解析】 【分析】（1）从两个统计图可得，“B等级”的人数13人，占调查人数的，可求出调查人数； （2）总人数减去A、B、D三个等级的人数即可求出C等级的； （3）用D等级的人数除以总人数再乘以即可求解； （4）先求出样本中阅读时间不少于4小时的人数占比，再乘以全校学生人数，即可求解． 【小问1详解】 解：， 故答案为：50； 【小问2详解】 解：C等级人数：（人）， 【小问3详解】 解：圆心角度数为：， 故答案为：； 【小问4详解】 解：根据题意有：（人）， 故答案为：1320． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的知识及用样本估计总体．解题的关键是读懂统计图，能从条形统计图，扇形统计图中得到准确的信息． 21. 某超市进了一批成本为元个的文具盒，调查发现：这种文具盒每个星期的销售量（个）与它的定价（元个）的关系如图所示： （1）求这种文具盒每个星期的销售量与它的定价之间的函数关系式； （2）若该超市每星期销售这种文具盒的销售量不少于个，且单件利润不低于元，当每个文具盒定价多少元时，超市每星期利润最高？最高利润是多少？ 【答案】（1）； （2）每个文具盒的定价是元时，可获得每星期最高销售利润元． 【解析】 【分析】（1）根据图像利用待定系数法直接求出函数关系式即可； （2）根据利润每个利润数量，建立方程即可得到结论；根据条件先求出售价的取值范围，再表示出利润的解析式，再根据函数的性质就可以求出结论． 【详解】解：设这种文具盒每个星期的销售量个与它的定价元个之间的函数关系式， 由题意，得， 解得：， 则销售量个与它的定价元个之间的函数关系式为， 由题意，得 ， 故与之间的函数关系式为； 根据题意得： ， 得：， ∴ ， ， 抛物线开口向下，在对称轴的左边随的增大而增大， 当时，有最大值，． 答：每个文具盒的定价是元时，可获得每星期最高销售利润元． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，总利润单件利润数量的运用，抛物线的最值问题，解此题的关键是利用图像信息求出函数关系式． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】（1）证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）只需要证明即可； （2）根据根与系数的关系得到，再根据建立方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为，， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 如图，某天我国一艘海监船巡航到港口正西方的处时，发现在的北偏东60°方向，相距150海里的处有一可疑船只正沿方向行驶，点在港口的北偏东30°方向上，海监船向港口发出指令，执法船立即从港口沿方向驶出，在处成功拦截可疑船只，此时点与点的距离为海里． （1）求点到直线的距离． （2）执法船从到航行了多少海里? 【答案】（1）点到直线的距离是75海里；（2）执法船从到航行了海里． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，根据含30°角的直角三角形性质，得到，据此解题； （2）在中，利用勾股定理解得，在中，利用正切的定义解题即可． 【详解】解：（1）过点作于点，如图． 由题意得：，， ， ， 答：点到直线的距离是75海里． （2）在中， ，， ， ， 在中，， ， ， 答：执法船从到航行了海里． 【点睛】本题考查解直角三角形，涉及含30°角的直角三角形、勾股定理、正切等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 24. 如图，为的切线，为切点，是上一点，过点作，垂足为，交于点． （1）如图①，若，求的度数； （2）如图②，连接并延长交于点，连接，，若，的半径为，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由切线的性质证出，由圆周角定理得出答案； （2）连接，，证出是等边三角形，得出，由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可得出答案． 【小问1详解】 解：连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接，， ， ， ， ， 为的切线，为切点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 半径为5， ， 是的直径， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理及等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质和等边三角形的判定与性质是解决问题的关键． 25. 如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标； （3）若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或； （3）或或或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得的坐标，根据勾股定理的逆定理得出是等腰三角形，进而根据得出，连接，设交轴于点，则得出是等腰直角三角形，进而得出，则点与点重合时符合题意，，过点作交抛物线于点，得出直线的解析式为，联立抛物线解析式，即可求解； （3）勾股定理求得，根据等腰三角形的性质，分类讨论解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点和点， ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 由，当时，，则 ∵，则，对称轴为直线 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 当时，，则 ∴ ∴ ∴是等腰三角形， ∴ 连接，设交轴于点，则 ∴是等腰直角三角形， ∴，， 又 ∴ ∴ ∴点与点重合时符合题意， 如图所示，过点作交抛物线于点， 设直线的解析式为，将代入得， 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：， ∴ 综上所述，或； 【小问3详解】 解：∵，， ∴ ∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，设其中 ∴， ①当时，，解得：或 ②当时，，解得： ③当时，，解得：或（舍去） 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸州市江阳区泸州老窖天府中学2024-2025学年上期九年级期末测试题 数 学 注意事项: 1．本堂监测试卷1张共4页，答题卡1张共4页． 2．考生作答时，选择题用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，其余各题用0．5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效． 3．全卷满分120分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、单选题（共36分） 1. 下列图形中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，是不可能事件的是（ ） A. 购买一张彩票，中奖 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 从装有5个黑球的袋子中摸出白球 4. 比赛中“去掉一个最高分，去掉一个最低分”后，一定不会发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 极差 5. 已知的直径为，若直线l与只有一个交点，那么圆心O到这条直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 7. 如图，是半圆O的直径，是半圆上两点，点是弧的中点，，，则弧的长为（ ） A. B. C. D. 8. 某件商品原价为1000元，连续两次都降价x%后该件商品售价为640元，则下列所列方程正确的是（　　） A. 1000（1﹣x%）2＝640 B. 1000（1﹣x%）2＝360 C. 1000（1﹣2x%）＝640 D. 1000（1﹣2x%）＝360 9. 二次函数的图象上有两点和，则的值等于（ ） A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023 10. 如图，⊙O的直径AB=4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC=5，则AD的长为( ) A. B. C. D. 11. 如图，线段，分别以A、B为圆心，以AB的长为半径作弧，两弧交于C、D两点，则阴影部分的面积为　　 A. B. C. D. 12. 已知抛物线不经过第二象限，与轴交于，两点，其顶点．这条抛物线关于轴对称的抛物线顶点为，若四边形是正方形，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 第II卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 13. 若点M（3，a），N（b，﹣5）关于原点对称，则a+b=____． 14. 二次函数的图象如图所示，则方程的根为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标是，半径为3，函数的图象被截得的弦的长为，则的值是________________． 16. 如图，在中，，，，点D是上一点，，点P是线段上一个动点，以为直径作，点M为的中点，连接，则的最小值为________________． 三、解答题（共72分） 17. 计算：． 18. 计算：． 19. 如图，，，求证：． 20. 为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了m名学生每周课外阅读的总时间t（单位：小时），将它分为A（0~2小时），B（2~4小时），C（4~6小时），D（大于6小时）4个等级，并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图（图1，图2）． 请你根据以上统计图表提供的信息，解决下列问题： （1）______； （2）本次调查中C等级有______名学生，请补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为______； （4）若该校有2000名学生，则每周课外阅读总时间不少于4小时的学生大约有______名． 21. 某超市进了一批成本为元个的文具盒，调查发现：这种文具盒每个星期的销售量（个）与它的定价（元个）的关系如图所示： （1）求这种文具盒每个星期的销售量与它的定价之间的函数关系式； （2）若该超市每星期销售这种文具盒的销售量不少于个，且单件利润不低于元，当每个文具盒定价多少元时，超市每星期利润最高？最高利润是多少？ 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 23. 如图，某天我国一艘海监船巡航到港口正西方的处时，发现在的北偏东60°方向，相距150海里的处有一可疑船只正沿方向行驶，点在港口的北偏东30°方向上，海监船向港口发出指令，执法船立即从港口沿方向驶出，在处成功拦截可疑船只，此时点与点的距离为海里． （1）求点到直线的距离． （2）执法船从到航行了多少海里? 24. 如图，为的切线，为切点，是上一点，过点作，垂足为，交于点． （1）如图①，若，求的度数； （2）如图②，连接并延长交于点，连接，，若，的半径为，求的长． 25. 如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标； （3）若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $