精品解析：四川省泸州高级中学校2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

泸州市江阳区泸州高中2024-2025学年上期九年级期末测试题数学 注意事项： 1.本堂监测试卷1张共4页，答题卡1张共4页． 2.考生作答时，选择题用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，其余各题用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效． 3.全卷满分120分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、单选题（共36分） 1. 如图图形中，是轴对称图形的为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】A．图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠， 直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，故本选项错误； B．图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠， 直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，故本选项错误； C．图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠， 直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故本选项正确； D．图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠， 直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，故本选项错误 故选：C． 2. 下列事件发生属于不可能事件的是（ ） A. 射击运动员只射击了1次，就命中靶心 B. 任取一个实数x，都有 C. 画一个三角形，使其三边的长分别为8cm，6cm，2cm D. 抛掷一枚质地均匀且六个面分别刻有1到6的数的正方体骰子，朝上一面的点数为6 【答案】C 【解析】 【分析】根据随机事件及不可能事件与必然事件的定义依次判断即可． 【详解】解：A、射击运动员只射击了1次，就命中靶心是随机事件，不符合题意； B、任取一个实数x，都有，是必然事件，不符合题意； C、画一个三角形，使其三边的长分别为8cm，6cm，2cm，不能构成三角形，是不可能事件，符合题意； D、抛掷一枚质地均匀且六个面分别刻有1到6的数的正方体骰子，朝上一面的点数为6是随机事件，不符合题意； 故选：C． 【点睛】题目主要考查事件可能性的判断，理解事件可能性的判断是解题关键． 3. 如果是方程的解，那么常数k的值为　　 A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：把代入方程得 解得∶ 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，一元一次方程的解法，解决此题的关键是能运用解的定义得出一元一次方程． 4. 将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位， 根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为， 故答案选：A． 5. 二次函数y=x2﹣6x﹣4的顶点坐标为（　　） A. （3，5） B. （3，﹣13） C. （3，﹣5） D. （3，13） 【答案】B 【解析】 【分析】把化成y=a（x-h）2+k，利用抛物线顶点式的特殊形式可知顶点坐标. 【详解】y=x2﹣6x﹣4 =x2﹣6x+9-9﹣4 =(x-3)2-13. 故选B. 【点睛】本题考查了二次函数y=a(x-h)2+k（a，b，c为常数，a≠0）的性质， y=a(x-h)2+k是抛物线的顶点式，其顶点是（h，k），对称轴是x=h．熟练掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质是解答本题的关键． 6. 在6张相同的卡片上分别写有数，将卡片的背面朝上并洗匀，从中抽取一张，抽到的数是奇数的概率（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单随机事件的概率，根据事件的概率等于所求事件数与总情况数之比即可求解． 【详解】解：由题可知：，中奇数有共3个， 抽到卡片上的数是奇数的概率为， 故选：B． 7. 如图，直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，E、F为圆上的两点，且∠CDE=∠ADF，若⊙O的半径为，CD=4，则弦EF的长为( ) A. 4 B. 2 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】首先连接OA，并反向延长交CD于点H，连接OC，由直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，可求得OH的长，然后由勾股定理求得AC的长，又由∠CDE=∠ADF，可证得EF=AC，继而求得答案． 【详解】连接OA，并反向延长交CD于点H，连接OC， ∵直线AB与⊙O相切于点A， ∴OA⊥AB， ∵弦CD∥AB， ∴AH⊥CD， ∴CH=CD=×4=2， ∵⊙O的半径为， ∴OA=OC=， ∴OH==， ∴AH=OA+OH=+=4， ∴AC==2． ∵∠CDE=∠ADF， ∴， ∴， ∴EF=AC=2． 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理、垂径定理以及圆周角定理等知识，此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 8. 有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛场，再根据题意即可列出方程． 【详解】解：由题意得：； 故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 9. 直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象．根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中和的正负情况和二次函数图象中的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由一次函数的图象可知，， 则抛物线与轴的交点在原点上方，故排除AB选项； ∵，， ∴， ∴抛物线的对称轴直线， 即对称轴位于轴左侧，故C选项不符合题意，D选项符合题意； 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点B在x轴的正半轴上，，点A的坐标为，将绕点O逆时针旋转得到，且点B的对应点落在边上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查含角的直角三角形性质、等边三角形的判定和性质以及旋转的性质，连接，过点作轴于点D，由题意得，可得，由旋转得，得到点是中点，判定是等边三角形，可求得，即可求得和． 【详解】连接，过点作轴于点D，如图， 点A的坐标为， ， ， ． 由旋转得，， ∴点是中点， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 点的坐标为． 故选：A． 11. 如图，已知的半径为，是直径，分别以点、为圆心，以的长为半径画弧．两弧相交于、两点，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，如图所示，连接，，根据题意可得是等边三角形，可算出的值，结合图形可得，，由此可得，由此即可求解． 【详解】解：的半径为，是直径， ∴，， 如图所示，连接，， ∴，且是等边三角形， ∴，则， 在中，，则， ∴， 整理得，， ∵以点、为圆心，以的长为半径画弧， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查不规则图形面积的计算方法，掌握扇形面积的计算方法，图形结合分析方法是解题的关键． 12. 如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】点在直线上，得到，求得的纵坐标的纵坐标，得到，即的横坐标为，同理，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，求得的横坐标为，于是得到结论． 【详解】点，在直线上， ， 轴， 的纵坐标的纵坐标， 在直线上， ， ， ，即的横坐标为， 同理，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为， ∴的横坐标为， 的横坐标为， 的横坐标为， 的横坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标，正确的找出规律是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 13. 方程的解是__________． 【答案】， 【解析】 【分析】直接令每个因式等于0求解即可． 【详解】解：∵， ∴x-1=0，或x-3=0， ∴，． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 14. 如果1是关于x的方程的一个根，这个方程的另一个根是________． 【答案】 【解析】 【分析】设方程的另一个根是m，根据根与系数的关系列出关于另一根m的方程，解方程即可． 【详解】解：设方程的另一个根是m， ∵1是关于x的方程的一个根， ∴， 解得，， ∴这个方程的另一个根是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系．解答该题时，一定要弄清楚一元二次方程的根与系数的关系，中的a、b、c的意义，是解题的关键． 15. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，涉及一元二次方程与二次函数的关系．根据抛物线的对称性可知，关于1的对称点为3，因此一元二次方程的根为-1与3； 【详解】解：由题意可知：抛物线的对称轴为， 关于的对称点为， 因此一元二次方程的根为与； 故答案为：，． 16. 如图，在中，，，点在上，，，以为一边作，使，．若是上一个动点，则线段长的最小值为__． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理，连接，作于点，可证明，得，，则，求得，由，得，由，求得线段的最小值为，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，作于点， ，，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 线段的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂，先化简各数，再进行加减运算即可．掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． 【详解】解：原式． 18. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】先计算，再利用求根公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查的是利用公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解本题的关键． 19. 化简： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．根据分式的基本性质和运算法则即可求解． 【详解】解： 原式 ． 20. 为进一步提高全民“节约用水”意识，某学校组织学生进行家庭月用水量情况调查活动，小莹随机抽查了所住小区n户家庭的月用水量，绘制了下面不完整的统计图． （1）求n并补全条形统计图； （2）求这n户家庭的月平均用水量；并估计小莹所住小区420户家庭中月用水量低于月平均用水量的家庭户数； （3）从月用水量为5m3和9m3的家庭中任选两户进行用水情况问卷调查，求选出的两户中月用水量为5m3和9m3恰好各有一户家庭的概率． 【答案】（1）n=20， 补全图形如下： （2）这20户家庭的月平均用水量为6.95m3，估计小莹所住小区420户家庭中月用水量低于6.95m3的家庭户数为231户； （3）选出的两户中月用水量为5m3和9m3恰好各有一户家庭的概率为． 【解析】 【详解】分析：（1）根据月用水量为9m3和10m3的户数及其所占百分比可得总户数，再求出5m3和8m3的户数即可补全图形； （2）根据加权平均数的定义计算可得月平均用水量，再用总户数乘以样本中低于月平均用水量的家庭户数所占比例可得； （3）列表得出所有等可能结果，从中找到满足条件的结果数，根据概率公式计算可得． 详解：（1）n=（3+2）÷25%=20， 月用水量为8m3的户数为20×55%-7=4户， 月用水量为5m3的户数为20-（2+7+4+3+2）=2户， （2）这20户家庭的月平均用水量为=6.95（m3）， 因为月用水量低于6.95m3的有11户， 所以估计小莹所住小区420户家庭中月用水量低于6.95m3的家庭户数为420×=231户； （3）月用水量为5m3的两户家庭记为a、b，月用水量为9m3的3户家庭记为c、d、e， 列表如下： a b c d e a （b，a） （c，a） （d，a） （e，a） b （a，b） （c，b） （d，b） （e，b） c （a，c） （b，c） （d，c） （e，c） d （a，d） （b，d） （c，d） （e，d） e （a，e） （b，e） （c，e） （d，e） 由表可知，共有20种等可能结果，其中满足条件的共有12种情况， 所以选出的两户中月用水量为5m3和9m3恰好各有一户家庭的概率为． 点睛：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图和用样本估计总体． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程两根均为负数，求实数的取值范围． 【答案】（1） 证明：依题意，得， ∵，即， ∴方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】题目主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，注意： （1）直接利用根的判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系得出不等式组求解即可； 熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题关键 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵方程两根均为负数， ∴， ∴， 解得：， ∴． 22. 如图，是的直径，，过D作，垂足为点E，的延长线交于点F，，求的度数和的长． 【答案】；． 【解析】 【分析】连接，根据是的直径，可得，进而可以求的度数；根据直角三角形30度角所对直角边等于斜边的一半可得的长，再根据垂径定理可得的值，进而可得的长． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∵，，且是直径， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，垂径定理，解决本题的关键是掌握圆周角定理． 23. 随着冬季的到来，干果是这个季节少不了的营养主角，某超市购进一批干果，分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本20元销售过程中发现，每天销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：y＝-2x＋80（20≤x≤40），设每天获得的利润为w（元） （1）求出w与x的关系式； （2）当销售单价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2）当销售单价定为每袋30元时，每天可获得最大利润，最大利润是200元 【解析】 【分析】（1）由公式利润=（售价−成本）×数量即可列出关系式； （2）把化为，由二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）由题可得：； （2）， ∵，且， ∴当时，． 答：当销售单价定为每袋30元时，每天可获得最大利润，最大利润是200元． 【点睛】本题考查二次函数的应用—销售问题，由题列出关系式，掌握二次函数的性质是解题的关键． 24. 已知是的直径，是的弦． （1）如图①，若为的中点，，求和的大小； （2）如图②，过点作的切线交延长线于点，连接，若是的直径，，，求的长． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得到，根据为的中点，得到，进而得到，即可求解； （2）根据切线的性质结合圆周角定理推出，求出，利用含30度角直角三角形的特征得到，利用勾股定理求出，再利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：是的直径， ， ， ， 为的中点， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：是的切线，是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、切线的性质定理，含30度角的直角三角形的特征，勾股定理等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键． 25. 综合与探究 如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，作直线． （1）求抛物线和直线的函数解析式． （2）是直线上方抛物线上一点，求面积的最大值及此时点的坐标． （3）在抛物线对称轴上是否存在一点，使得以点，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）；的最大值为 （3）或 或或 或 【解析】 【分析】（1）根据两点、的坐标解出二次函数的解析式，根据、两点的坐标解出直线的 解析式； （2）建立二次函数的关系式，求出面积的最大值及此时点D的坐标 （3）分三种情况讨论即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：把，代入得， ，解得， ， ， ， 设直线的解析式为， 把 代入得， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图， 过点 作 于点 交 于点， 设， ， ， ， ， 当时，的最大值为， ， ； 【小问3详解】 解：二次函数的对称轴为：，设点的坐标为， ①当为等腰三角形的底边时，中点的坐标为 作直线且过，设的直线方程为 ， ，解得 方程为 令， ， ； ②当为等腰三角形的腰，为顶角时， ， 解得或， 或； ③当为等腰三角形的腰，为顶角时， ， 解得或， 或， 综上所述，点的坐标为或 或或 或． 【点睛】本题主要考查二次函数的解析式，一次函数的解析式，二次函数的图像与性质，二次函数与三角形的综合应用，等腰三角形的性质，掌握相关的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸州市江阳区泸州高中2024-2025学年上期九年级期末测试题数学 注意事项： 1.本堂监测试卷1张共4页，答题卡1张共4页． 2.考生作答时，选择题用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，其余各题用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效． 3.全卷满分120分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、单选题（共36分） 1. 如图图形中，是轴对称图形的为（    ） A. B. C. D. 2. 下列事件发生属于不可能事件的是（ ） A. 射击运动员只射击了1次，就命中靶心 B. 任取一个实数x，都有 C. 画一个三角形，使其三边的长分别为8cm，6cm，2cm D. 抛掷一枚质地均匀且六个面分别刻有1到6的数的正方体骰子，朝上一面的点数为6 3. 如果是方程的解，那么常数k的值为　　 A. 2 B. 1 C. D. 4. 将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数y=x2﹣6x﹣4的顶点坐标为（　　） A. （3，5） B. （3，﹣13） C. （3，﹣5） D. （3，13） 6. 在6张相同的卡片上分别写有数，将卡片的背面朝上并洗匀，从中抽取一张，抽到的数是奇数的概率（ ） A. B. C. D. 1 7. 如图，直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，E、F为圆上的两点，且∠CDE=∠ADF，若⊙O的半径为，CD=4，则弦EF的长为( ) A. 4 B. 2 C. 5 D. 6 8. 有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 9. 直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点B在x轴的正半轴上，，点A的坐标为，将绕点O逆时针旋转得到，且点B的对应点落在边上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知的半径为，是直径，分别以点、为圆心，以的长为半径画弧．两弧相交于、两点，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 13. 方程的解是__________． 14. 如果1是关于x的方程的一个根，这个方程的另一个根是________． 15. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为______． 16. 如图，在中，，，点在上，，，以为一边作，使，．若是上一个动点，则线段长的最小值为__． 三、解答题（共72分） 17. 计算： 18. 解方程：． 19. 化简： 20. 为进一步提高全民“节约用水”意识，某学校组织学生进行家庭月用水量情况调查活动，小莹随机抽查了所住小区n户家庭的月用水量，绘制了下面不完整的统计图． （1）求n并补全条形统计图； （2）求这n户家庭的月平均用水量；并估计小莹所住小区420户家庭中月用水量低于月平均用水量的家庭户数； （3）从月用水量为5m3和9m3的家庭中任选两户进行用水情况问卷调查，求选出的两户中月用水量为5m3和9m3恰好各有一户家庭的概率． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程两根均为负数，求实数的取值范围． 22. 如图，是的直径，，过D作，垂足为点E，的延长线交于点F，，求的度数和的长． 23. 随着冬季的到来，干果是这个季节少不了的营养主角，某超市购进一批干果，分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本20元销售过程中发现，每天销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：y＝-2x＋80（20≤x≤40），设每天获得的利润为w（元） （1）求出w与x的关系式； （2）当销售单价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ 24. 已知是的直径，是的弦． （1）如图①，若为的中点，，求和的大小； （2）如图②，过点作的切线交延长线于点，连接，若是的直径，，，求的长． 25. 综合与探究 如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，作直线． （1）求抛物线和直线的函数解析式． （2）是直线上方抛物线上一点，求面积的最大值及此时点的坐标． （3）在抛物线对称轴上是否存在一点，使得以点，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $