精品解析：河南省南阳市内乡县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

2024年秋期期终九年级数学巩固与练习 （满分：120分 时间：100分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确是（　　） A. B. C. D. 2. 下列说法不正确的是（　　） A. “过一点可以作两条直线与已知直线垂直”是不可能事件 B. “三角形的一条中线平分三角形的面积”是必然事件 C. “以三条长度为连续正整数的线段为边可以构成三角形”是随机事件 D. “两边和一角分别相等的两个三角形全等”是必然事件 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 4. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知一元二次方程两根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 6. 如图，中弦、相交于点，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线，下列说法中正确的是（ ） A 开口向上 B. 经过原点 C. 对称轴是直线 D. 当时，y随x的增大而减小 8. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将缩小到原来的，得到．若点的坐标是，则点的坐标是（ ） A B. C. D. 9. 深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，网格小正方形边长为1，的三个顶点均在网格的格点上，中线的交点为，则的长度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若有意义，则能取的最小整数值是_____________． 12. 的最长弦为，则的半径长为______． 13. 为弘扬中华传统文化，我校准备开展学习传统手工技艺社团活动，共有“剪纸”、“木版画雕刻”、“陶艺创作”、“皮影制作”4个社团供学生选择．甲、乙两人随机各选一个社团，他们刚好选到相同社团的概率是______． 14. 建水双龙桥，俗称“十七孔桥”，位于云南省建水县，是一座具有极高历史，艺术和科学价值的古桥，如图，古桥横断面是抛物线形状，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．则水面上升米后水面宽度为______米． 15. 如图，在中，，点在上，且，垂足为交于，如果四边形和的面积都为6，那么的面积为_______． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 求证：三边成比例的两个三角形相似． 如图：已知在和中，，求证：． 19. 2024“夏爽中原老家河南”全省户外运动旅游产品宣传推广活动在新乡八里沟景区启动，现场发布了徒步、蹦极、露营、戏水等河南省户外运动产品主题旅游线路．某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以任满．客房定价每提高10元，就会有1间客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出每天20元的维护费用，设每间客房的定价提高了元． （1）填表（不需化简）： 入住的房间数量 房间价格 总维护费用 提价前 60 200 提价后 __________ __________ __________ （2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入-维护费用） 20. 如图，在中，半径，分别交弦于点E，F，且． （1）求证：； （2）求证：． 21. 如图，甲在楼房上的点N处测得斜坡l的坡底点A的俯角为，乙在楼房顶端点M处测得斜坡l上的点B处的俯角为，点B到地面m的距离为． （1）求斜坡l的坡度； （2）求点M与点N的高度差． 22. 如图，矩形的一条边，将矩形折叠，使顶点落在边上的点处，已知折痕与边交于点． （1）找出图中一对相似三角形（不全等）并加以证明； （2）当时． ①求（1）中相似三角形的相似比； ②为中点，动点沿从点向点运动，当__________时，以、、为顶点的三角形与相似． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点． （1）求二次函数的解析式及点的坐标； （2）点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． ①为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋期期终九年级数学巩固与练习 （满分：120分 时间：100分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，错误，故该选项不符合题意； B、，错误，故该选项不符合题意； C、，正确，故该选项符合题意； D、，错误，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型 2. 下列说法不正确的是（　　） A. “过一点可以作两条直线与已知直线垂直”是不可能事件 B. “三角形的一条中线平分三角形的面积”是必然事件 C. “以三条长度为连续正整数的线段为边可以构成三角形”是随机事件 D. “两边和一角分别相等的两个三角形全等”是必然事件 【答案】D 【解析】 【分析】利用随机事件以及必然事件的定义对各选项进行判断得出答案． 【详解】解：A、“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，故此选项正确，不符合题意； B、“三角形一条中线平分三角形的面积”正确，故此选项正确，不符合题意； C、“以三条长度为连续正整数的线段为边可以构成三角形”是随机事件，比如三条长度为3，4，5的可以构成三角形，三条长度为1，2，3不可以构成三角形，故此选项正确，不符合题意； D、“两边和一角分别相等两个三角形全等”是随机事件，如果两边夹角，即，那么两个三角形全等，如果两边不夹角，那么两个三角形不全等，故此选项错误，符合题意， 故选：D． 【点睛】此题考查了必然事件和随机事件的定义，正确把握相关事件的定义是解题的关键． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式，将、、的值代入计算即可得出结论． 【详解】解：，，， ， 方程无实数根， 故选：C． 4. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了锐角三角函数关系，画出图形根据锐角三角函数定义求解是解题关键． 根据题意画出图形，表示出的长，进而求出答案． 【详解】解：如图所示： ∵ ， ∴设， 则， 则， 故选C． 5. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了一元二次方程根与系数的关系，先求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ， ， 故选：C． 6. 如图，中弦、相交于点，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了圆周角定理的应用及三角形的外角性质．欲求的度数，需求出同弧所对的圆周角的度数；△中，已知了及外角的度数，即可由三角形的外角性质求出的度数，由此得解． 【详解】解：是△的外角， ； ，， ； ； 故选：C． 7. 已知抛物线，下列说法中正确的是（ ） A. 开口向上 B. 经过原点 C. 对称轴是直线 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象性质，根据二次函数的图象性质逐一判断即可． 【详解】解：A选项：∵， ∴抛物线开口向下．故该选项错误； B选项：把点代入函数中，得左边，右边， 左边右边， ∴抛物线不经过原点．故该选项错误； C选项：抛物线的对称轴为．故该选项错误． D选项：抛物线的开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而减小．故该选项正确． 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将缩小到原来，得到．若点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换的性质，熟练掌握位似图形对应点坐标的变化规律是解题的关键．根据位似图形的性质，结合已知点的坐标以及位似比，求出点的坐标． 【详解】解：∵以原点为位似中心，将缩小到原来的得到， ∴点与点的坐标关系为点的坐标是点坐标乘以的相反数（与在位似中心两侧）． ∵点的坐标是， ∴点的坐标是． 故选：D． 9. 深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由铁栅栏的全长及的长，可得出平行于墙的一边长为米，再利用长方形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式． 【详解】解：铁栅栏的全长为15米，米， 平行于墙的一边长为米． 根据题意得：． 故选：A． 10. 如图，网格小正方形边长为1，的三个顶点均在网格的格点上，中线的交点为，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的重心，三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，由此即可解决问题，关键是掌握三角形重心的性质． 【详解】取中点M，连接， ∵点分别是的中点，与交于O， ∴点O是的重心， ∴C，O，M，共线， ∵， ∴， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若有意义，则能取的最小整数值是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，可得不等式，解不等式可得，在这个范围内的最小整数为． 【详解】解：有意义， ， 解得：， 能取的最小整数值是． 故答案为： ． 12. 的最长弦为，则的半径长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本知识；根据圆中最长的弦是直径以及同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即可求得结果． 【详解】解：中最长的弦长为， 的直径的长为， 的半径为． 故答案为：4． 13. 为弘扬中华传统文化，我校准备开展学习传统手工技艺社团活动，共有“剪纸”、“木版画雕刻”、“陶艺创作”、“皮影制作”4个社团供学生选择．甲、乙两人随机各选一个社团，他们刚好选到相同社团的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求解概率：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件A或的结果数目，然后根据概率公式求出事件A或的概率即可． 【详解】解：分别记“剪纸”、“木版画雕刻”、“陶艺创作”、“皮影制作”4个社团为A，B，C，D， 列表如下： 甲乙 A A 由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中他们选择相同社团的结果数有4种， ∴他们选择相同社团的概率为， 故答案为：． 14. 建水双龙桥，俗称“十七孔桥”，位于云南省建水县，是一座具有极高历史，艺术和科学价值的古桥，如图，古桥横断面是抛物线形状，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．则水面上升米后水面宽度为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，利用待定系数法可得抛物线解析式为，把代入可得，据此即可求解，正确建立平面直角坐标系是解题的关键． 【详解】解：如图，以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系， 设抛物线解析式为，将点代入得，， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得， ∴当水面上升米后水面宽度为米， 故答案为：． 15. 如图，在中，，点在上，且，垂足为交于，如果四边形和的面积都为6，那么的面积为_______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形中线性质，中位线定理，相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题关键．证明，得到的面积与的面积均为6，证明得，进而得到的面积为8，即可求出的面积为20． 【详解】解：∵，， ∴， ∴的面积与的面积均为6． ∵， ∴， ∴ ∴， ∵四边形的面积为6， ∴的面积为8， ∴的面积为． 故答案为：20． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化为最简二次根式，再利用二次根式加减法的运算法则求解； （2）先算括号里的内容，再利用二次根式乘除法的运算法则求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算法则，乘除运算法则，本题属于基础题型． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），； 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）移项，配方，两边开平方求解即可得到答案； （2）移项，因式分解求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：移项得， ， 配方得， ， 即， 两边开平方得， ， ∴，； 【小问2详解】 解：移项得， ， 因式分解得， ， ∴或， ∴，． 18. 求证：三边成比例的两个三角形相似． 如图：已知在和中，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．先在线段（或它的延长线）上截取，得出，再证明，进而得出答案． 【详解】证明：在线段（或它的延长线）上截取，过点作，交于点，如图： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 和中， ， ∴， ∴． 19. 2024“夏爽中原老家河南”全省户外运动旅游产品宣传推广活动在新乡八里沟景区启动，现场发布了徒步、蹦极、露营、戏水等河南省户外运动产品主题旅游线路．某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以任满．客房定价每提高10元，就会有1间客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出每天20元的维护费用，设每间客房的定价提高了元． （1）填表（不需化简）： 入住的房间数量 房间价格 总维护费用 提价前 60 200 提价后 __________ __________ __________ （2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入-维护费用） 【答案】（1）；； （2）每间客房的定价应为元 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）住满为间，表示每个房间每天的定价增加量；定价每增加元时，就会有一个房间空闲，房间空闲个数为，入住量房间空闲个数，列出代数式； （2）用：每天的房间收费每间房实际定价入住量，每间房实际定价，列出方程． 【小问1详解】 解：增加元，就有一个房间空闲，增加元就有两个房间空闲，以此类推，空闲的房间为， 入住的房间数量，房间价格是元，总维护费用是． 故答案是：；；； 【小问2详解】 解：依题意得：， 整理，得， 解得，． 当时，有游客居住的客房数量是：（间）． 当时，有游客居住的客房数量是：（间）． 所以当时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为（元）． 答：每间客房的定价应为元． 20. 如图，在中，半径，分别交弦于点E，F，且． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 【解析】 【分析】本题考查圆心角、弦、弧的关系，全等三角形的判定和性质，连接半径构造全等三角形是解题的关键． （1）连接、，过O作于M，根据等腰三角形的三线合一解题即可； （2）只要证明即可解题． 【小问1详解】 证明：过O作于M，连接、， ∵，， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，甲在楼房上的点N处测得斜坡l的坡底点A的俯角为，乙在楼房顶端点M处测得斜坡l上的点B处的俯角为，点B到地面m的距离为． （1）求斜坡l的坡度； （2）求点M与点N的高度差． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． （1）过点作于点，利用勾股定理可得的长，再根据坡度的定义求解即可得； （2）过点作于点，作于点，则，，再解直角三角形可得的长，然后根据求解即可得． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ∵点到地面的距离为， ∴， ∵， ∴， 则斜坡的坡度为． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，作于点， 则四边形是矩形， ∴，， 由题意可知，， ∴，， ∴， 答：点与点的高度差为． 22. 如图，矩形的一条边，将矩形折叠，使顶点落在边上的点处，已知折痕与边交于点． （1）找出图中一对相似三角形（不全等）并加以证明； （2）当时． ①求（1）中相似三角形的相似比； ②为中点，动点沿从点向点运动，当__________时，以、、为顶点的三角形与相似． 【答案】（1），证明见解析 （2）①；②5或8.2 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质： （1）由矩形的性质得出，由折叠得出，通过导角证明，结合，可证； （2）①由折叠可知，用勾股定理解求出，进而求出，相似三角形对应边长度之比即为相似比；②分和两种情况，根据相似三角形对应边长度成比例求出，进而可求的长度． 【小问1详解】 解： ． 证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可知：， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：①∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠可知， 在中， ∴， 由（1）可知， ∴相似比为， （由（1）可知，∴相似比为：） ②或．理由如下： ∵为中点， ， 分两种情况:当时，如图， ， ， ； 当时，如图， ，即， 解得， ； 综上可知，或． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点． （1）求二次函数的解析式及点的坐标； （2）点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． ①为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）①当时，有最大值为；②当P的坐标为或时，与相似 【解析】 【分析】（1）把，，代入求解即可，利用待定系数法求出直线解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐标； （2）①根据P、D的坐标求出，然后根据二次函数的性质求解即可； ②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出，然后分，两种情况讨论过，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解即可． 【小问1详解】 解：把，，代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴； 【小问2详解】 解：①设，则， ∴ ， ∴当时，有最大值为； ②∵，， ∴， 又， ∴， 又轴， ∴轴， ∴， 当时，如图， ∴， ∴轴， ∴P的纵坐标为3， 把代入，得， 解得，， ∴， ∴， ∴P的坐标为； 当时，如图，过B作于F， 则，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴P的坐标为 综上，当P的坐标为或时，与相似． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $