浙江省杭州市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

2024学年第一学期期末学业水平测试 高二数学试题卷 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟： 2.答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名：座位号写在指定位置： 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效： 4.考试结束后，只需上交答题卷。 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.已知集合A={x-3<x<1},B={xx<2,则AUB= A.{x|-3<x<2}B.{-2,-l,0,1} c.{x-2<x<} D.{-1,0} 2.已知椭圆C:￡+上 =1,则椭圆C的焦距为 2516 A.241 B.10 C.3 D.6 3.从甲、乙、丙、丁、戊五名同学中选2人参加普法知识竞赛，则甲被选中的概率为 0. 4 4.“m=-3”是“直线2x+(m+1)y-2=0与直线mx+3y-2=0平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知cm(0-则m0+号到} 16 B.、1 8 8 6在平行大面体ABCD-ABCD,中，AB=L从=34C=瓦，∠A4B=∠4D=号 ∠BAD= 2 ,则AD= A.1 B.2 C.3 D.25-2 高二数学试题卷第1页（共4页） 7.在平面直角坐标系中，点E(4,6),直线：x+y+1=0,圆C:(x-1)+(y-1)=1,点 P为直线1上一点，点Q为圆C上一点，则EP+PQ的最小值为 A.万-1 B.√万 C.9 D.10 8设F是双自线C吾茶=1ab>0)的右焦点，O为华标原点，过F作C价条有证 线的垂线，垂足为H,若△FOH的内切圆的半径r=b,则双曲线C的离心率为 5 4 5 A. B. C. D. 3 3 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9.在空间直角坐标系中，已知点A(1,L,0),B(1,0,2),C(2,-1,5),D(1,-2,4),则下列结论正 确的是 A.AB=(0,-1,2) B.A,B,C三点共线 C.AD⊥BC 77 D.AC在BD上的投影向量为 0,-22 10.已知圆C:x2+y2-2x-4y=0,圆C2:x2+y2+x+y=0,则下列说法正确的是 A.圆C1,C2恒有公共点 B.圆C,C,至多有三条公切线 C.若圆C2平分圆C,的周长，则m+2n=10 D.若圆C2平分圆C的周长，则n2-m的最小值为9 ,已知椭圆C:+=1a>b>0)的左、右焦点分别为F,5,上顶点为B(0,),离心 率为③ ，M,N为C上关于原点对称的两点（与C的顶点不重合），则下列说法正确的是 高二数学试题卷第2页（共4页） 9 A.椭圆C的方程为 4+y2=1 B. 25 MF NF C.直线BM与BN的斜率乘积为- D.△MWF,的面积随周长变大而变大 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.直线2V3x+2y+3=0的倾斜角为▲ 13.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PA⊥平面ABCD.若PA=a, 则直线PB与平面PCD所成的角的大小为▲ 14.设P(x,),Q(x2,y2)是平面直角坐标系xOy上的两点，O为坐标原点，定义点P到点Q 的一种折线距离dP,g)=k-+y-小已知P0,2,Q是曲线号-y=1(x>0)上 2 一点，则d(P,2)的最小值为▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本题满分13分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin B=bcos 6 (1)求角A的大小： (2)若c=2b,44BC的面积为2W5 ,求△ABC的周长 16.(本题满分15分)已知定义在R上的函数f(x)=2+a·2是偶函数. (1)求a的值： (2)当x∈[-1,1]时，函数g(x)=f(2x)-f(x)的最小值为-2，求的值. 高二数学试题卷第3页（共4页） 17.(本题满分15分)在三棱锥P-ABC中，PAL平面ABC,AC=2,AB=4,∠ABC= 6 (1)求证：平面PAC⊥平面PBC: (②)若二面角A-PB-C的余弦值为V6 求PA的长度 18.(本题满分17分)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1,直线1：x=y+3 交抛物线E于A,B两点， (1)求抛物线E的方程： (2)若AB=4V15,求m的值： (3)若抛物线E上存在两点C,D关于直线I对称，求m的取值范围. 19.(本题满分17分)17世纪80年代，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发 现：同一平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卵形线，我们称之为卡西尼卵 形线.在平面直角坐标系x0y中，0为坐标原点，已知两定点F(（-1,0),F(1,0),动点 P(x,y)满足PFPF=3,动点P的轨迹为曲线E,直线y=kx+b与曲线E相交于A,B 两点，线段AB的中点为M,直线OM的斜率为k。· (1)求曲线E的方程： (2)求OP的取值范围； @)求证：子长6<青 5 高二数学试题卷第4页（共4页）2024学年第一学期期末学业水平测试 高二数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 题号 1 2 3 5 6 答案 B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分 题号 9 10 11 答案 AD ABD AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 3 14.3 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本题满分13分) 解：(I)在ABC中，a sin B=bcos 6 .由正弦定理可得： sin Asin B=sin B cos A+sin A 2 2分 整理得sinB 5 2 cosA- -sin A=0 2 即sin Bcos A=π ……6分 3 2)由)及54 25 :bcsin4=23 ,可得bc= 2由c=2b,得 b-25.45 3.cs .10分 3 由余弦定理a2=b+c2-2 bc cos A,可得 =2, 12分 ∴△ABC的周长为a+b+c=2N5+2 13分 16.(本题满分15分) 解：(1)f(x)=2+a…2是偶函数，.f(x)=f(-x),即2"+a2=2+a2, (a-1）(2-2*）=0a=1 5分 (2)由 (1)可 知f(x)=2+2 ∴8(x)=22+22-2+2)=(2+2)2-(2+2）-2, =2+2”,唐-1≤1，可得2引 上述圈致装化为y=广--22别 8分 当元≤4时，y=7兄2 上单调递增，当1=2时， yn=2-2元=-2，.元=2≤4,1=2满足题意 当元25时，y=2-1-2 在 2 单调递减，当1=弓时， 上 ym=17-10a=-2a= <5不合题意 4 当4<2<5时，y=2-M-2在 25 上单调递减， 在22 上单调递增，当1=2 时，ym=-2- =-2,.入=0，显然不合题意 4 综上所述：孔=2… ……15分 17.(本题满分15分) 解：a:在6ABc中，AC=2AB=4∠ABC-君 AB AC sin∠ACB 兀，可得Sin∠ACB=12分 sin 6 ACB-.CACB ∵PA⊥平面ABC,∴.PA⊥CB,… ….4分 ,CA∩PA=A,∴.BC⊥平面PAC,BCS平面PBC,平面PAC⊥平面 PBC…6分 (2)以CB,CA所在的直线为x,y轴，C为原点，相应地建立空间直角坐标系 AC=2,AB=4,A(0,2,0),C(0.0,0,B25,0.0, .8分 设PA=m,则P(0,2m),.AP=(0,0,m,PB=(25,-2-m,CB=(25,0,0）, 设平面APB和平面PBC的法向量分别为乃=(x,,之)，n2=(x,y2,乙2)， 元·AP=0 m31=0 则 即 n·PB=0 2W5x-2y,-m,=0 ,令x=1，可得 元=（山，5,0），同理 n·CB=0 即 n2·PB=0 [2√5x,-2y2-ma2=0 25x=0 令y2=m,可得 n1=(0,m,-2) ……12分 n'n 显然二面角A-PB-C的平面角为锐角，记为0，∴.cOs8 2Wm2+44 即m2=4,∴.m=2或m=-2(舍去)，PA=2 …15分 18.(本题满分17分) 解：（1)由题意x=-?=-1p=2,抛物线E的方程为y2=4x4分 y2=4x (2)由题意： (x=my+3' 整理得y2-4y-12=0,△=16m2+48>0 y+》2=4m,yy2=-12,… 6分 .AB=V1+m2V16m2+48=45 整理可得m2+4m2-12=0,.(m2+6)(m2-2)=0，m=士59分 若m=0,则1：x=3,易得此时不合题意：…10分 若m≠0，由于C,D关于直线1对称， b-a 4 故kcn=-ab+a ,可得a+b=-4 ,∴.CD中点的纵坐标为- 2 …12分 4 m 将其代入x=y+3中，可得x=1, a2b2 又44=Q+B=1化简可得d2+b=8，… …14分 2 8 [a2+b2= a+b=- 4,化简可得b2+4b+8 …16分 故m2>1,∴m>1或m<-1 17分 19.(本题满分17分) 解：由题意Vx-1+y2.Vx+1)+y2=3,整理可得(x2+y2+-4x2=9 .曲线E的方程为X+y2+1=√4r2+9… 4分 (2)1OP=x2+y2=V4x2+9-1,由曲线E的方程可知y2=V4x2+9-x2-1≥0， .V4x2+9≥x2+1,x-2x2-8≤0.-2≤x2≤4∴x∈[-2,2] 8分 OP=x2+y2=V4x2+9-1∈[2,4，÷0P的取值范围为「V2,2] 10分 (3)A(xy).B(x).M(xo:yo) 由题意可知 x2+y2+1=√4x2+9 则x2+y,2-(x2+y)=V4x2+9-4x2+9 2+y2+1=V4x2+9 (x2-x)+(y22-y2)= 4(x2-x2） ,由题意可知x1≠土x212分 V4x2+9+V4x2+9 4 -子4，+9+4x2+9 》2+ 由题意k=Y,k=出=，2，=少+出 五2-x0x5+五x2+x1 2 1+k:64+9+4+9 14分 由(2)可知x,x3∈[-2,2] 3≤4r+9≤53sV42+9s52 4 5√4x,2+9+4x2+93 17分