重庆市第八中学校2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

重庆八中2024一2025学年度（上)期末考试高二年级 数学试题 命题：毛闰熊盛吉 审核：吉士钦 打印：熊盛吉 校对：杨茂 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.已知数列a= 12 n=1 则通过该数列图像上所有点的直线的斜率为 an1-2,1<n≤6 A.-1 B.1 C.2 D.-2 2.记S,为等差数列{a}的前n项和.若S,=4,S4=6,则S6= A.4 B.6 C.8 D.10 3.圆x2+y2+4y=0与圆x2+y2+4x-2y=4交于A,B两点，则直线AB的方程为 A.2x-3y-2=0B.3x+2y+2=0C.3x+2y-2=0D.2x-3y+2=0 4.点A,B的坐标分别是(-2,0)，(2,0)，直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率 之积是-】，则点M的轨迹方程是 A. 84 B.+上=1x≠切 42 c.-上=0ex+t2 D.父-父-10x≠士2 42 48 气已知数列a,}为等比数列，日=8，公比g=,则a4a,的最大值为 A.16 B.32 C.64 D.128 6.已知F,B是椭圆C:二+-1的左、右焦点，点P在C上，且线段P5的中点在以 16+12 FF为直径的圆上，则三角形PEE的面积为 A.43 B.6N5 C.4 D.6 7.设{a,}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn,设甲：S2,Sn,Sn成等差数 列：乙：a2,4,a成等差数列，则甲是乙的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 重庆八中2024一2025学年度（上）期末考试高二年级数学试题 第1页共4页 8.已知直线1与焦点为F的抛物线C:y2=2px(p>0)相交于M,N两点，且 ∠MFN=,线段MN的中点A到抛物线C的准线的距离为d,则(M的最小 值为 A.2+V2 B.2W5 C.3 D.22 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分。 9.已知曲线E:mx2+(1-m)y2=m(0-m). A,若m=1,则E是一条直线 B.若m=),则E是圆，其半径为5 C.若m>1,则E是双曲线，其焦点在y轴上 D.者E的离心率是9，则m-号 3 10.设首项为1的数列{an}的前n项和为S。，已知Sn1=2Sn+1,则下列结论正确的是 A.数列{S。+1}为等比数列 B.数列{a}不是等比数列 C.S=2a-1 D.数列已}是递增数列 0 L如图，精圆号+茶=a>6>0与双街线兰上 m-京=1(m>0,n>0)有公共焦点R,乃， 椭圆与双曲线的离心率分别为g,9,点P为两曲线位于第一象限的公共点，且 ∠EPF=60°，I为△FPF的内心，F,1,G三点共线，且G币·页=0，x轴上 的点A,B满足江=P,BG=4G乎，则下列结论正确的是 A.b2=3n2 C.GE平分∠BFP 重庆八中2024一2025学年度（上)期末考试高二年级数学试题 第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知4(2，-2)，B(L,2)两点到直线1：ax+y+2=0的距离相等，则符合条件的a的一个 值为 13.设A,B是双曲线r-上=1上的两点，且线段AB的中点是ML,4),则直线AB的 4 斜率为 14.甲、乙、丙、丁四人玩报数游戏：第一轮，甲报数字1，乙报数字2,3，丙报数字4， 5,6,丁报数字7,8,9,10：第二轮，甲报数字11,12,13,14,15，依次循环，直 到报出数字2025，游戏结束，则甲在第8轮报了个数字，报出数字2025的人是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 数列a,}中，4=3a。-a-2a,a=0. (1)求证：数列{已}为等差数列： a (2)求满足a4+a,a+.+an-1an>二的n的最小值.。 16.(15分) 己知△ABC的三个顶点分别是A(3.2),B(3.-2),C(4.√3) (1)求△ABC的外接圆M的方程： (2)一条光线从点P(1,2)射出，经y轴反射后，与圆M相切，求反射光线所在的 直线方程。 17.(15分) 已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,P(x,y)是C上一点，PF=2xo,且 △OFP的面积为4. (1)求p的值： (2)设点P在第一象限，过点(-2,0)的直线交C于M,N两点，直线PM,PN分别 与y轴相交于两点A,B,求线段AB的中点坐标， 重庆八中2024一2025学年度（上）期末考试高二年级数学试题 第3页共4页 18.(17分) 己知首项不为0的数列{b,}的前n项和为T,且2√T,=b,+t (1)用含b的代数式表示t,并求t的最大值： (2)若1=1且{b,}为正项数列，求数列{b}的通项公式： (3)若{b}为等比数列，试求出所有满足条件的常数1的值 19.(17分) 已知双曲线E:x2-y2=2,按照如下方式依次构造点4，B,P(k=1,2,3,…):直线 1:y=2x+m:与双曲线E的右支交于A,B两点(A在B的上方)，过A且斜率为 -1的直线与过B,且斜率为1的直线交于点P,过点P作平行于4的直线 (1)求m,的取值范围： (2)判断，乃，…，P,…是否共线，并说明理由： (3)证明：IOPP-PP为定值， 重庆八中2024一2025学年度（上）期末考试高二年级数学试题 第4页共4页重庆八中2024一2025学年度（上)期末考试高二年级 数学答案 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 题号 1 2 3 5 6 > 8 答案 D B B C A 1.【解析】由4= 12. 2=1 (a-21<26' 可知，数列{a}为首项a=12,公差为-2的等差数列， 所以a=12+(-1)×(-2)=-2+14,016,neN*), 所以通过该数列图像上所有点的直线的斜率为-2，故选：D 2.【解析】由等差数列的性质，可知S,S,-S,S。-S成等差数列， ∴4,2，S。-6成等差数列，解得S。=6.故选：B. 3【解析】x2+y2+4y=0①，x2+4x+y2-2y=4②，②-①可得，化简得，直线AB的方程为2x-3y-2=0, 故选：A, 4【解折们设M0,因为20,8肥0，所以w2-2小，2幸习 已知中2品2分化简，得子号 =1(x≠±2)，故选：B. 42 * ,则7=4%a=gg=8白=2学 1-1 7-期 5.【解析】a=8× 2 2=22 12 当1=3或4时，表达式取得最大值：2？=2=64.故选：C 6.【解析】设PR的中点为M,则|PE上2引OM=2c=4,于是1PR上2a-2c=4,又 1码上4，则△PRR为正三角形，即8s- 2×16=4V3.故选：A. 4 7.【解析】S2,Sn,S成等差数列白St+S+1=2Sn一(S+2-S,)+(S-S)=a+2+a+aH=0, 白a.+2=-2a1q=-2 a1·a·a,成等差数列rg≠1，∴a1+a1=2a白q2+q=2一q=-2则甲是乙的充要条件.选：C. 8.【解析】设MF上m,INF上n,过点M,N分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为M,N, 则M卡m,|N=n, 因为点A为线段N的中点，根据梯形中位线定理可得，点A到抛物线C的准线的距离为d=m+” 2 因为∠MN=,所以在AMN中，由余弦定理得1NP=m+-2cos3 =m2+n2+√2n, 4 所以斗y-lXY_+nm.0+w-2-Em侧n-2-m (m+) (m+2 (m+)2 又因为(0m+)241,所以 m+川4，当且仅当m=n时，等号成立似，显然存在， 所以412- 4 -2+反，则（的最小值为2+5.故选：4 二、选择题：本题共3小题， 每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分。 题号 9 10 11 答案 ABC ACD ACD 9.【解析】若m=1时，E即x=0,表示直线y轴，A正确： 第1页（共6页） 若m=),x+=}表示圆，其半径为 ，故B正确： 2 2 2 若m>1,上-。，=1表示双曲线，且焦点在y轴上，故C正确： m-1 由愿意，B是椭圆，则0<m<1,B:,+上=1 1-m 当0<m<时，1-m,=m,故c2=1-2m,所以e2号-{仁-子解翔m2 2 5 当m<1时：m,1-m,故c2m-1,所秋e-号-2%子，解得m=故D泥 故选：ABC, 10.【解析】由题意，可知S=a=1,对S1=2S+1两边同时加1， 可得S1+1=2Sn+1+1=2(S。+),S+1=1+1=2, 数列{S。+}是以2为首项，2为公比的等比数列，故选项A正确： S+1=22-1=2",S=2-1,n∈N*, 则当h.2时，a=S-Sn1-2-1-2"-+1=2-1, :当n=1时，a=1也满足上式，.a=2=12,neN*, :数列{a}是以1为首项，2为公比的等比数列，故选项B错误： 2a-1=2.2-1=2"-1=S, ∴S。=2a。-1,故选项C正确： 对于选项D, 2士，放数到受是黄，德项0正商.放， 1【解由您套S=m00放公=，放A正确。 设椭圆与双曲线的焦距为FE=2c,椭圆的长轴长为2a,双曲线的实轴长为2m,，由双曲线的定义： |PRI-|PE上2m,由椭圆的定义：|PR|+|PR=2a,可得：|PR上m+a,|PE卡a-m,又∠FPE=60°， 由余弦定理得：|PEP+PEP-|P明P明HRP=4c2,即m+a2+(a-m2-(m+a)(a-m=4c2, 整理得：心，=，所以：号+智4，即宁片4，放B借联：又风平分现1则 ∠PRI=∠ARI,从而∠PRG=90-∠PRI=90-∠AFI=∠BEG,故C正确： 又I为△FPR的内心，所以R为∠PRR的角平分线，则有PE-P,同理： PFI IP IARI AT AE AII P=P-P,六P=PEI+PE-2g=,即AFgP1,:i=m, AARA'六AAR1+AR2g Aǖ日aP,故片e: I为△FPF的内心，E,I,G三点共线， 即FG为∠PRB的角平分线，又GR平分∠B那P,则有GBL-BE-BE,又BE BK引， PGI PF PFI GB BFI-BFI 2c =e2,即|BG=e2GPI, PGPFI-PFI 2m :BG=uGP,BGHAIIGPI,u非e,又因为}+ 4， 3 示+厅=4：故D正确故选：ACD. 13 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 题号 12 13 14 第2页（共6页） 答案 4或4 29:丁 3 12【解析】4A(2-2),B0,2)两点到直线1：m+y+2=0的距离相等，则2a=1a+4 Va'+1 a+1 解得a攻4 13.【解析】设4，)，Bx,,),则AB的中点M心+立当+)，00,0) 2 2 A,B在双曲线上， 1,两武相减得(-)-4兰=0，则ksow=一泾=4，则k=1 =1 4 i- 4 y=x+3 此时AB:y-4=x-1,即y=x+3,联立方程 x2-卫=1'消去y得3x2-6-13=0. -=1 4 此时△=(-6)2+4×3×13>0，故直线AB与双曲线有两个交点。 14.【解析】甲第n轮报数的个数为4n-3,当n=8时，4n-3=29,故甲在第8轮报了29个数.甲在第n轮 报的第1个数为40-[40-)+l+1=8r-14n+7,令m=17,有8×17-14×17+7=2081，即甲第17轮报 2 的第1个数为2081，且丁第16轮报了4×16=64个数，2081-64=2017<2025，故报出2025的人是丁。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【解析】(1)~2☑4+a-a=0.1-1=2,又1=3， a 六数列占}是以3为首项，2为公差的等差数列，：上=2m+1,口= 1 :(6分) a 21+1 (2)由(1)知，a4= nw点点a 1 11111 1.11)> 1 aa2+aa+.…+a-a.> 7'292+7>7 4+2>42,,n>10,n∈N,n的最小值为11.(13分) 16【解析】(1)A(3,2),B(3.-2),线段AB的中点(3,0)， 点6,0)与点C的距离d=V3-4+(W=2=lAB1, 2 因此△ABC的外接圆M的圆心为(3,0)，半径为2 所以圆M的方程为(x-3)2+y2=4.(7分) (2)由光的反射定律知，经y轴反射后的光线所在直线过点P,点P1,2)关于y轴的对称点P(-1,2), 直线x=-1与圆M不相切，设反射光线所在的直线方程为y-2=k(x+),即x-y+k+2=0, 于是+2=2，整理得3欢+4k=0,解得k=-4或k=0, Vk2+1 3 所以反射光线所在的直线方程为4x+3y-2=0或y=2.(15分) 17.【解析】1)根据抛物线的定义知：P=o+号=2x,得x,=号，则，2=p, .2 2 所以△0即的面积为s-却Fl号p=号-4，故p=4.(6分) 第3页（共6页） (2)设过点(-2,0)的直线方程为x=w-2,M(x,y),N(x,)A(0,ya),B(0,y) 由y=8x,得y2-w+16=0, x=0y-2 由△=64m2-64>0,得m<-1或m>1,且片+2=81,32=16， 又点P(2,4),设直线PM的方程为y-4=-4(x-2) x-2 -2 令x=0,得y=4-2×当-4-4-24=2 14y x-2x-2上-2 男+4 8 于是A04以，同理B04 (y+4 《2+4 所以y.+,=4业十4=8t16+)-16x8+16x8=4, y+4y2+4y2+4(%+y2)+16 32+32m 故线段AB的中点坐标为(0,2)(15分) 18.(1)当n=1时，此时26=b+t,所以t=-(（瓜-1+1，故t≤1，当且仅当6=1时取等，所以t.=1. (4分) (2)若t=1,则2√T=b.+1.从而4T=b+2b+1,所以4T.1=b,+2b1+1(n≥2)， 两式相减得4b,=b-b,+2b,-2b1,整理得2b,+b)=亿+b-)b-b1),又亿}为正项数列，从而 b-b,=2,故仍，}是公差为2的等差数列又46=（色+1），可得=1，从而b,=21-1(10分). (3)法一：2√T=b+t从而4红=+2地+，从而有4红1=b+2b1+产0m≥2)， 两式相减得4b=b-b21+2b.-2b1,整理得b+(2t-4)b=b2,+2b- 又{b}为等比数列，从而b,=b(q≠0)，则(g2-105.+[(2-4)g-2]=0: 即(g2-1hg-1+[(2t-4)9-2]=0,对任意neN均成立， 则g-少=0 (2x-4g-21=02g=-1且1=1，此时26=4+1s4=16=(H）. 故存在常数t=1,使得也}是公比为-1的等比数列 法二：若存在常数t,使得色}为等比数列，不妨设其公比为q(g≠0) 则2=办即2+5=驰+6可得取+么-（他月 又1-2元可得无-色从色4他 整理得(g2-g)5+1-g2-46=(g2-9)(g)+1-9r2-45=0对任意n均成立，故g=1或g=-1. 当q=1时，b=0,舍去 当q=-1时，+=2点，特别地，2√互=b+t=0,b=-b,+1=2h, 解得b=t=0（舍去)或6=t=1.当6=t=1时，bn=(-1)y-,符合题意 故存在常数1=1，使得玛，}是公比为-1的等比数列.(17分) 9【解析】)联立2+2，消去y并整理得3x2+4m,x+册+2=0， 19. 第4页（共6页） △=4m2-24>0 因为该方程有两个正根，所以 += 4>0,解得m<-6,(5分) 4=四+20 3 (2),,…,P,…共线，理由如下： 因为直线A卫的方程为y-y%=-(《-x,),因为y4=24+m,即y=-X+3x4+m, 直线BP的方程为y-y=x-x,因为y=2x+m,即y=X+x+m, 联立 y=-x+34+m, y=x+x8 +m 两式相加得y= 5+m,则，=3，产，因为+，=智 2 2 3 易知y男 3+_3+3-3-, 2 4 4 2 则月，月，，，…都在直线y=上，所以R,月，.…共线：2分)） （3)证明：由题盒，设2，学，直线48方程为y=2-登此时m=受。 2 8.,1o欧- 2 4a--y-月 4 2 2 --小引-号 故o2f-P=号，即为定值.（17分) 15版译松法力 0260+0-0=0→2-=2论 可=3 --一1分 04=…6 。3…-1分 0…分 (a)bo0n Tan-am =是（六-）0一分 a.az ta0.n 月（侍+岁心功女 =支（寸- --.-3分 州样管化与 接在地佛0 (寸-)>月 淨-油分吗给 →n之1-1有 第5页（共6页） 181)当n=1时，此时2石=4+1，所以1=（在-了+1-3分 故1≤1，当且仪当4-1时取等，所以-1一 4分（不均痕等条件相一分） (2)若1-1划2厅=b+1,从而4订=b+2五+1，所以4打=+26+n22): 两式相减得4地=成-成+26一2玖1一 m=6分 整理待26+b)-位+6一6又6)为正项数列，从而4-一2。-8分 故他)是公笼为2的等整数理.又4珀=（件+1，可得4=1，从面点=2n-1-10分 (3)法2瓦-点+t从而4-成+2地，+，从而有41-记+2放4+产（≥2， 再式相减得4毡-父-民+2地，-26·整理得民+(-4)6一安+20一12分 又6)为等比数列，从而点=纯(9=0，期(g2-1地[2-49-2刘门=0+一14分 即(g2-1地9+[(24)-2门-0对任意EN均或立 gg-0=0 (2-9-2a=0○g-1l-1, -15分 此时2店=4+1一点=1A=(-)。 故存在常数1=1使得他，)是公比为-1的等比数列一 7分 法二若存在常数么使得，)为等比数列，不妨设其公比为单g≠0) 则2-么即2可=攻+可得+有-（终 -12分 又+=可得z色从面色4鸣 整理特(g2-9减+0-2-46-g2-g0g厂时+0-2-40-0 4分 对任意均成立，放g=1或g=-1 当g=1时，4=0含去当g=-1时，以+户=2功---—-5分 特别地，2厅=4+1=04=-4，+=24. 解得4=1=0（合去）吸A=1=1,当A==1时，息-人)叫，符合题意 放存在常数tL使得物，)是公比为-1的等比数列一 7分 1-2-2 4=4m-24>0 风为该方程有两个正制，所以、·二一 4n4分 2 解得可一后】 一(5分) 21P:月，…，一共线，程由谢下 为直线4片的方程为，一人=（一可， 因为人2，·两，期…场，5 《分》 直线武月的为程为y一为1一· 因为万。2红+周，导少+女、+周，m《7分) 我立+ y世+有+周 知北超点当乡 2 4 4 444分 m(15分》 ,单人 4小a4丹-學 4…6分到 成0G-仿.一号期为定机 7分 第6页（共6页）