广东省上进联考2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题

上进联考更专业更放心 一姑式君试围务看景 广东省2024一2025学年上学期期末考试 高二数学参考答案及评分细则 1.【答案】B 【解折1将时行7)可以写成22x23x24x对5对放1a.的一个道项公式为 2故选B 2【答案】C 【解折将C的方程化为标准形式可得后+专=1，曲定义可得PR,=8-P-6.故-3故选C 3.【答案】A 【解折1由题可得0=心=（成+d=+行×号而=+行×宁（花+）=i+名(0 +名（成-）=名可+成+。0记故选 4.【答案】C 【解析1由题意可得直线茹+0=1，即4+3y-120=0,设圆心到直线的距离为山，则d=120=24<25,故 4+3 直线与圆相交，公共点个数为2.故选C. 5.【答案】D 【解析】双曲线C与双前线号-y=1有相同的渐近线。则G的方程可设为号-了=A(A≠0)，将(3,6)代人方 程，得号-36=A=A=-3,所以G的方程为站-药=1故击D 6【答案】C 【解析】由(x-1)2+(y-1)2=4得图心C,(1,1),1=2,由(x-4)2+(y-5)2=41-m,得圆心G(4,5),3= √41-m,41-m>0,故m<41,因为C,与G2有三条公切线，即两圆相外切，所以C,G=1+2,即 √(4-1)+(5-1)下=2+41-m,可得、√41-m=3.解得m=32,经检验32<41.故选C. 7.【答案】B ((③-m-.(w-2n- 【解折】由题意得66222aa2当≤3时 b.<0=b.1<b.,即61>62>6>ba:当n≥4时，6,1-b.>0-b,1>b.,即64<b<6。<…所以当#=4时bn取 得最小值.故选B. 8.【答案】B 【解析】不妨设该正方体的棱长为1，如图，以A为坐标原点，AB,AD,A4,所在直线分别为x,y,:轴建立空间直角 坐标系，则A(0,0,0),B(10,0),D(0,1.0),4(0,0,1),C(1,1,1),D,(0.1,1).可得42=(1,0,0)，AD=(0,1,0) =(0.0,1),由题可得=μA店+μ币+mA,可得P(4u,p),可得D,户=(44-1，-1).A,C=(1,1,0), 广东·高二数学第1页（共6页） 上进联考更专业更放心 一姑式君试围务看景 设直线nP与直线AG所说的角为8,0eo.引则om01m(DAC1= D产.A,CI 24-1 2丝-1 2×√m+(μ-1)+(r-1)了2×√m+(u-1)了√(2μ-1)+1 2丝-，当且仅当=1时等号成立，令1=4 1e-.reo小同得2-春石号 24-1.当且 √(2μ-1)+3 仅当，=0时等号成立，可得m0≥0，所以0≤0≤号，即0e[?,引，放所成角正弦值的取值范国为 [停小故选B 9.【答案】BD(每选对1个得3分) 【解折1因为1=v20+(-=5故A结误因为高-O-号 ,即C同方向上的单位 向量的坐标是0，号引故B正确：C,面=(2,0，-1)·(0,1，）=-1，故c错误：由配： ACI 1(0、-1,-)·(2.0,-)=5,故D正确.故选BD. 5 10.【答案】ABD(每选对1个得2分) 【解行设数列a.的公差为4，则又=+二少=号+a,一引加，故=0.放A正确：若a,单调适 2 城则山>0，放P-号>0故B正确若0=0则a,一号兰=5放C错误：当a1时==P+0: 2 M=0,故D正确.故选ABD. 11.【答案】ABD(每选对1个得2分) 【解析】因为p≠？，所以抛物线N不重合，故A,B不可能共点，即A≠1，故A正确：由于Oi=AOB,不妨设点 4,B均在直线y=上，将其与川的方程联立，得？-2r=0,故名+名一器又因为直线y=c经过原点 00,0),放A的做坐标光，同理得B的横坐标是，故入=-=，当A=2时P=2,放B正 确：由平面几何知识，F,F,到直线y=:的距离之比等同于其到原点的距离之比上，由于S△，5。m,均可看 作以为底的角形的面积，放式面积之比也为二放c销议、一：=，-：号中 故D正确，故选ABD, 广东·高二数学第2页（共6页） 上进联考更专业更放心 一始式君试服务看罩 12.【答案】1 【解析】由l1⊥2，得a(3a-2)-a=0,解得a=0(舍去)或a=1. 13.【答案】5 【解析】依题意可得a2=4,a,=a,92,代入原式得5,3+(5-3)g=g.即(4-5)(9+3)=0，解得9=5或 -3,9=-3时，与题意矛盾舍去，故9=5， 14【答案的 【解析】由题意可设|AF,=2x,则BF,=3x,由双曲线的定义可知AF,|=2a+2x,BF,}=2a+3x.由直径所 对圆心角为直角可得∠AFB=90°，所以|AF2F+|BF22=AB,即(2a+3x)2+(2a+2x)2=(5x)2,得2a2+ 5m-3x2=0.解得x=2a(负值舍去).则有AF,=4a.BF,|=6n,AF2|=6m,BF2=8a.因为∠AFF+ LBF,B=,所以om∠Af,R+cs∠BF,R,=0.由余弦定理可得42e)-(6@), 2×4a·2c 6n）'+(2c）'-(8a0所以5c2=29a2,得2=5-号 2×6a·2e 15.解：1)依题意，线段AG的中点为分，)(2分) 直线C的斜率=2宁(4分列剂 故线段4C的垂直平分线方程为y-子：--引.即3x+了-5=0(6分) (2)设圆M的方程为x2+y2+Dx+E+F=0,因为圆M经过点A,B,C, ,10-D+3E+F=0 故50+5D-5E+F=0,(9分) 20+2D+4E+F=0. D=-4, 解得E=2,(12分) lF=-20, 故圆M的方程为x2+y2-4x+2y-20=0.(13分】 【评分细则】 其他解法若过程与结果正确也给满分： 16.解：(1)因为抛物线C:y2=2r(p>0),A(1,Jyo)为C上一点， 所以AP=1+号=2.所以p=2,（3分 可得C:y2=4红，所以C的准线方程为x=-1.(6分) (2)因为点A(1,3)在G上，所以6=4， 又因为点A位于第一象限，所以。=2，故A(1,2),(8分) 易得切线1的斜率存在且不为0，故设1：y-2=(x-1)(k≠0)，联立 y-2=k(x-1), (10分) y'=4x. 可得2-4y+8-4=0,4=16-4k(8-4)=0,即片2-2k+1=0,解得k=1.(13分) 广东·高二数学第3页（共6页） 上进联考更专业更放心 一始式君试服务看景 所以切线1的一般式方程为x-y+1=0.(15分) 【评分细则】 1,若第二问的最终答案写成其他形式不扣分： 2.用一级结论写切线方程不给分 17.(I)证明：因为平面PAD⊥底面ABC,平面PADn平面ABC=AD.PE⊥AD,所以PE⊥平面ABC.(2分) 又ABC平面ABC,所以AB⊥PE.(3分) 又因为PD⊥平面PAB,ABC平面PAB,所以AB⊥PD.(S分) 又PEOPD=P,PE,PDC平面PAD,所以AB⊥平面PAD.(6分) (2)解：由(1)知AB⊥平面PAD.ADC平面PAD,所以AB⊥AD, 以点A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为x,y轴，过点A垂直底面ABC的直线为：轴，建立如图所示的空间 直角坐标系 因为PD⊥平面PAB,APC平面PAB,所以AP⊥PD.(8分) 又AP=PD,所以AD=AP+PD=2AP=4,得AP=2.(9分) 则A(0.0,0).B(2,00).D(0,2,0).C(-1,3,0).P(0.1,1) 故D0=(0,-1,1),AP=(0,1,1),A元=(-1,3,0).(10分) 依题意，平面PAB的一个法向量为D币=(0，-1,1).(11分) 设平而PAC的一个法向量为n=(a,b,c), .n=0,即+c=0,。取6=1.则n=(31,-1.(13分》 即 4元.n=0,1-a+3b=0, 设平面PAB与平面PAC的夹角为A, 所以e0=(币，n=.n 0P迈x元1，(14分) 2 因此平面PAB与平面PAC夹角的余弦值为2三 (15分) 【评分细则】 使用空间向量法没有在图中建系的扣1分. 18.(1)解：由题意可得2-=2=1，①(1分) 且当1的斜率不存在时，不妨设A-1,(-1,一】 所以AB=2 .由题意易得2×20=6,22分) a2=4, 联立①②解得 (4分) 62=3. 广东·高二数学第4页（共6页） 上进联考更专业更放心 一始式君试服务看罩 故E的方程为后+号=1(6分) （2)解：设4).则4=G++=属+1P+3-子生0分) 又因为点A在E上，且1的斜率不为0，则1∈(-2,2)，故AF∈(1,3).(9分) （3证明设).》.2)可得，要证品-即-20分剂 设直线AM和NB的斜率为k,则AM的方程为y=(x-x,)+, rx22 联立+=1， 得3x2+42(x-x,)2+8y,(x-x）+4-12=0,(11分) y=(x-)+, 即(3+42)x2+8k(折1-，)x+(42-3)x-8折1=0， 故出南= 4-3,故，=4-38， 3+4 3+4 同理可得x,= (42-3)x-8.（13分） 3+4h 代营授 4+x1 4+x 并整理得16+12+4-35-8购16+12+4-3为-814分) 当的斜率存在时，1的方程为y一名红+).故=一+1)=+， 4+ 4+x3 代人其中，得16+20+4g+5石16+20+4+5（15分) 显然左，有两式均等于5放品（6分) 当1的斜率不存在即k=0时，等式显然成立： 综上.品-得证(7分) 【评分细则】 1,第二问的范围写为闭区间扣2分： 2.第二问用二级结论得到a-c<AF<a+c,扣2分： 3.第三问如用其他方法证明，过程只要合理即酌情给分： 19.(1)由题意设等比数列1y,的通项公式为y.=y,g,其中y,eN”,9eN”.(2分) ()解：当9=1时，数列y.=,故而存在为+=2，此时y,不是“玫瑰数列”.(5分) (i)证明：由题意可得当9≠1时，9≥2，(6分) 若y.不是“玫瑰数列”，则存在各不相等的正整数m,n,P,使得y。+y。=2y, 即y9-+y9-=2g”-,整理得g”+g°-=2，(8分) 故只能有9”=g=1,即m=n=p,矛盾，故y,是“玫瑰数列”.(10分) (2)证明：①道先证明对于任意正整数，有a,,≥ 广东·高二数学第5页（共6页） 上进联考更专业更放心 一始式君试服务看罩 ,a。,n≠t且n≠t+1, 若存在正整数1使得a+1<a,取数列A,= a,n=t+1, l41,n=1, 记A的前n项和为T。,则A。也是”玫瑰数列”， 于是S,-T=a,-:>0,与“对任意正整数m,在S.最小的前提下，恒使S最小”矛盾，故a≥4，：(13分) ②下面证明a.1=a,由题意知，数列，|中不存在三项相等，故至多存在两项相等 (a)先证明a,=2=1.若a,>1,则取B。=。-1,由数列，是玫瑰数列可知，B。也是玫瑰数列，且B。<a, 与"对任意正整数m,在S.最小的前提下，恒使S.,最小”矛盾，所以a1=1.(14分) 。,≥.由数列a,是玫现数列可知，B是玫瑰数列，且B+房，<a,+,与对任意 1,4=1,2, 若a1>1,则取B。= 正整数m,在S.最小的前提下，恒使S,最小“矛盾，所以a=1,(15分) (b)再证明1=，设nk-1时，有-1=2，只需证明n=k时，也有a4=a2 r4,n≤2k-1, 假设a-4<aa,则取B.= a4-4,1=2k, 由数列a,|是玫瑰数列可知，B,是玫瑰数列，且左B,<2a=3, a。-1,4≥2k+1. 与“对任意正整数m,在S。最小的前提下，恒使S。1最小“矛盾，所以a-1=a(16分) 于是S2-S1=a2:=u1=S1-S即S2,S4+1S42成等差数列.(17分) 【评分细则】 1.第一问的第一小问只需要简单列举判断即可得分，不需要严谨的证明： 2.第二问若考生利用其他方法证明，只要合理即可酌情给分。 广东·高二数学第6页（共6页）绝密★启用前 3阳代日)国 广东省2024一2025学年上学期期末考试 上进联考 高二数学试卷 时湖表(【 用资4水 试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.考查范围：选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 4,考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1.若数列a,的前5项为片，，是，人，1 顺强察班代民发好相帆，民资装碧项不 行了7，g,则它的一个通项公式为度准五式世愿一量干仅 A B.I ；“风暖痕斑士语1其其，1状出公的1促弹荐间 2n+】风厚悬斑“代光2”-1面，1比出公始 D. 3连客（位 PF 2.已知P为椭圆C:2+2y=16上一点，F,R,分别为C的左、右焦点，且PP,=2,则PF A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，在四面体0ABC中，D为BC的中点，3AC=2AD,且P为0G的中点，则O丽= Aoi+若o丽+g0c B.-20i+2oi+20d 6 c号oi+丽-。oc n.i-i+号0d 广东·高二数学第1页（共4页） 4.直线5+6=1与圆子+7=625的公共点个数为 已向首种代下共，疆州共木高浅暗，四 .228.(1 A.0 B.1 C.2 是 D.无法判断 5已知双曲线C过点(3,6)，且与双曲线号 -y子=1有相同的渐近线，则C的方程为4图试5 B 39g=1 6.已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=4与圆C,:(x-4)2+(y-5)2=41-m有三条公切线，则m= A.5 B.16 C.32 D.36 7.已知数列{b}的通项公式为6。= ,则当b,取得最小值时，n= (n+1) A.3 B.4 c.5 D.6点s21)1 8.在正方体ABCD-A,B,C,D,中，空间中一动点P满足4(A店+A)=A+vA,A(0≤μ≤1,0≤v≤1)， 则直线D,P与直线A,C,所成角正弦值的取值范围为 (层刘 B竖 c悟利 D传 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知向量AC=(2,0,-1),CB=(0,1,1),则 A.ACI=5 为1 五方向上的单位向量的坐标为0，号，号 C.AC.CB=1 D配在G上的投影向量的膜为号 10.记等差数列a,1的前n项和为S,已知S。=Pn2+Qn+M,其中P,Q,M为实数，则 B.若a,单调递增，则P>0 39且， A.M=0 8k:(I) C.若Q=0,则a3=4a1 D.若P+Q+M=0,则a1=0 11.已知0为坐标原点，抛物线M:y2=2px(p>0),抛物线N:y=2gx(g>0),P≠q,点A,B分别在 M,N上（异于点O),M,N的焦点分别为F,F2,若Oi=入O,则 A.A≠1 B.当入=2时，p=2q C.△ABF,与△ABF2的面积之比为q:P D.△OAF2的面积与△OBF,的面积相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知直线l1:ax-y-2025=0,2:(3a-2)x+ay+1=0(a≠0)满足1⊥12，则a 13.已知正项等比数列{a.}满足55a1+(5-3)a2=a,则其公比g= 4已知双曲线C号-卡=1(a>0,6>0)的左，右焦点分别为R,R,过点月的直线与C交于A.B 两点，且3AF=2F,B,以AB为直径的圆过点F2,设C的离心率为e,则e2=」 广东·高二数学第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知点A(-1,3),B(5,-5),C(2,4). (1)求线段AC的垂直平分线的方程； (2)已知圆M过点A,B,C,求圆M的方程 16.(15分)已知点A(1,y)是抛物线C:y=2px(p>0)上一点，F为C的焦点，且AF=2. (1)求C的准线方程； (2)若点A位于第一象限，求C在点A处的切线1的方程 金平得了4济的.” ，..好动 17.(15分)如图，三棱锥P-ABC的棱BC上存在一点D,使得平面PAD⊥底面ABC,点E在棱AD 上，且PE⊥AD,PD⊥平面PAB. (1)证明：AB⊥平面PAD; (2)若AB=AD=2,AP=PD,BD=2CD,求平面PAB与平面PAC夹角的余弦值， 广东·高二数学第3页（共4页） 18.(17分)已知椭圆E若+二 京=1(a>b>0)的左焦点为F(-1,0),过F且斜率不为0的直线1交 E于A,B两点，过点A,B分别作l的垂线，交E于M,N两点.当I的斜率不存在时，四边形AMNB 的面积为6. (1)求E的方程； (2)求|AF的取值范围； AFBF (3)证明：MF=F 19.(17分)已知无穷数列{a,中的每一项均为正整数，其前n项和为Sn,若数列1a,}中任意相异三 项不成等差数列，则称该数列为“玫瑰数列” (1)对于每一项均为正整数的无穷等比数列|y.· ()若数列{y.}的公比为1，判断其是否为“玫瑰数列”； (i)若数列{y,|的公比不为1，证明：该数列为“玫瑰数列”： (2)若{an|是所有玫瑰数列中，对任意正整数m,在Sm最小的前提下，恒使S。1最小的玫瑰数 列.设k为正整数，证明：S4,S4+1,S4+2成等差数列 广东·高二数学第4页（共4页）