精品解析：安徽省六安市清水河学校2024一2025学年上学期九年级期末素质评估 数学试题

2024－2025学年度第一学期九年级期末素质评估 数学试题 注意事项： 1.你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 的半径为3，点在外，点到圆心的距离为，则需要满足的条件（ ） A. B. C. D. 无法确定 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数 的图象的顶点坐标是 （ ） A. B. C. D. 4. 如图，每个小正方形的边长均为1，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为3，则k的值为（ ） A. B. C. 3 D. 6. 在中，，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 7. 如图，在中，为上一点，，与交于点．若，则的长为（ ） A. 6 B. 4 C. 5.2 D. 4.8 8. 如图，在中，，，，则的内切圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 9. 若抛物线经过四个象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 等腰直角△ABC内有一点P，满足∠PAB=∠PBC=∠PCA，若∠BAC=90°，AP=1.则CP的长等于（ ） A. B. 2 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如图，点A，B，C在上，，则的度数为_______． 12. 一个斜坡的坡度为i=1：2，若某人沿斜坡直线行进100米，则垂直高度上升了_______米. 13. 如图，某小区计划用总长为的铁栅栏围成一个两边靠墙的矩形车棚（墙足够长），为了方便存车，在边上开了一个宽的门（门不是用铁栅栏做成的），设边的长为，车棚面积为，则与之间的函数关系式是_____． 14. 如图，在正方形中，点是边上的动点(不与点重合)，，交延长线于点于点，连结交于点，点是的中点，连结．求： ①的度数为_______ ②当时，_______．(用的代数式表示) 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 已知a，b，c为的三边长，且满足，，求的周长． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，FE∥CD，AF=3，AD=5，AE=4． （1）求AC的长； （2）若，求证：△ADE∽△ABC． 18. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（千帕）是气球的体积（立方米）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求该反比例函数的表达式；（不用写自变量的取值范围） （2）当气球内的气压为千帕时，求气球的体积． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位长度． 在中，，，． （1）在图中作出以点A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形． （2）若点A的坐标为，点B的坐标为，请在图中画出平面直角坐标系，并写出点C的坐标． （3）根据（2）中的平面直角坐标系，作出与关于原点对称的． 20. 如图，在等腰中，，交于，两点，半径于． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 六、（本题满分12分） 21. 如图，熊猫基地新诞生一对双胞胎熊猫宝宝，吸引了大批游客前往观看．由于之间的道路正在进行维护，暂时不能通行．游客由入口A进入园区之后可步行到达点，然后可以选择乘坐空中缆车从，也可选择乘坐观光车从．已知点在点A的北偏东方向上，点在点的正东方向，点在点A的正东方向400米处，点在点的北偏东方向上，且米．求的长度（精确到1米）．（参考数据：，） 七、（本题满分12分） 22. 在中，，为上一点，为延长线上一点，且． （1）如图1，若，． ①的度数为______； ②求证：； （2）如图2，若，求证：． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，抛物线经过两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设四边形的面积为，求的最大值； （3）如图2，过点作轴于点，连接与轴交于点，当时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第一学期九年级期末素质评估 数学试题 注意事项： 1.你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 的半径为3，点在外，点到圆心的距离为，则需要满足的条件（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据点与圆的关系解答. 【详解】∵点在外，的半径为3， ∴点到圆心的距离为>3， 故选：A. 【点睛】此题考查点与圆的位置关系：点与圆心的距离为d，圆的半径为r，当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】A既是轴对称图形，也是中心对称图形； B是轴对称图形，不是中心对称图形； C是轴对称图形，不是中心对称图形； D不是轴对称图形，是中心对称图形； 故选：A． 3. 二次函数 的图象的顶点坐标是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于二次函数的顶点坐标为，由此即可求出抛物线的顶点坐标． 【详解】∵二次函数， ∴其图象的顶点坐标为． 故选D． 【点睛】考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点式求其顶点的坐标． 4. 如图，每个小正方形的边长均为1，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数，根据网格特点，先求得，再根据正弦定义求解即可． 【详解】解：如图，，， 在中，， 故选：D． 5. 反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为3，则k的值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 连接，根据反比例函数的几何意义即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵轴， ∴， ∴ ∴ ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴， 故选：D． 6. 在中，，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊角度三角函数、含角直角三角形的知识；根据特殊角度三角函数的性质，得，再根据角所对直角边是斜边一半的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵ ∴ ∴， 故选：B． 7. 如图，在中，为上一点，，与交于点．若，则的长为（ ） A. 6 B. 4 C. 5.2 D. 4.8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识点，能综合应用相似三角形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．根据四边形是平行四边形，证出，然后利用其对应边成比例即可求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8. 如图，在中，，，，则的内切圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、切线的性质、三角形面积公式，由勾股定理求出，设内切圆与边的切点为，与边的切点为，与边的切点为，连接，，，，，，圆的半径为，则，，，，再由等面积法得出，即可得解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 设内切圆与边的切点为，与边的切点为，与边的切点为，连接，，，，，，圆的半径为， ， 则，，，， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 9. 若抛物线经过四个象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线经过四个象限，说明抛物线与x轴的两个交点分别在原点的两侧，列出不等式即可求解． 【详解】解：抛物线与x轴交于（m，0）和（m+3，0） ∵抛物线经过四个象限，且a=1>0 ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 10. 等腰直角△ABC内有一点P，满足∠PAB=∠PBC=∠PCA，若∠BAC=90°，AP=1.则CP的长等于（ ） A. B. 2 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先利用定理求得，再证得，利用对应边成比例，即可求得答案. 【详解】如图， ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴，， 设，则，如图， ∴， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是本题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如图，点A，B，C在上，，则的度数为_______． 【答案】110 【解析】 【分析】本题考查的知识点是圆周角定理，熟记定理内容是解题的关键． 根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解答即可． 【详解】解：∵点、、在上，， ， 故答案为：110． 12. 一个斜坡的坡度为i=1：2，若某人沿斜坡直线行进100米，则垂直高度上升了_______米. 【答案】20 【解析】 【分析】根据题意作出图形，由坡度定义可得位置升高的高度即为坡角所对的直角边．根据题意可得tan∠A=，AB=10m，可解出直角边BC，即得到位置升高的高度． 【详解】解： 由题意得，BC：AC=1：2， ∴BC：AB=1：， ∵AB=100m， ∴BC=20m． 故答案为20． 【点睛】本题考查坡度的定义以及解直角三角形的应用，解题关键是画出示意图会使问题具体化． 13. 如图，某小区计划用总长为的铁栅栏围成一个两边靠墙的矩形车棚（墙足够长），为了方便存车，在边上开了一个宽的门（门不是用铁栅栏做成的），设边的长为，车棚面积为，则与之间的函数关系式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，先求出的长，由矩形的面积公式可求y与x之间的函数关系式． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：． 14. 如图，在正方形中，点是边上的动点(不与点重合)，，交延长线于点于点，连结交于点，点是的中点，连结．求： ①的度数为_______ ②当时，_______．(用的代数式表示) 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先证明，得出是等腰直角三角形，根据点是的中点，得出，进而根据得出四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等得出；根据题意设，，则，连接，延长交的延长线于点，由，则点在上，证明得出，设，则，证明，得出，进而代入，即可求解． 【详解】∵四边形是正方形， ，， ， ，， ， 四边形是矩形， 在与中， ； ，， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， 四边形是正方形， ， 且， ， ， 即． 是等腰直角三角形， 又点是的中点， ，， ， ， 四点共圆， ； ②四边形都是正方形，共线， ， ，设，，则， 如图所示，连接，延长交的延长线于点， ， ，则点在上， ， ， ， 又， ，即， ， ， 设，则， ， ， 即， 解得：，即， ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了直角所对的圆周角是直径，同弧所对的圆周角相等，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识的解题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算．代入特殊角的三角函数值，进行计算即可． 【详解】解： ． 16. 已知a，b，c为的三边长，且满足，，求的周长． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练运用设法是解题的关键． 设，利用，求得，再利用三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴的周长为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，FE∥CD，AF=3，AD=5，AE=4． （1）求AC的长； （2）若，求证：△ADE∽△ABC． 【答案】（1）AC=； （2） 证明：∵AB=，AD=5，AE=4，AC=， ∴， ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ABC． 【解析】 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得出比例式，求出AC即可； （2）根据已知线段的长度求出，根据相似三角形的判定即可得出△ADE∽△ABC． 【小问1详解】 解：∵EF∥CD， ∴， ∵AF=3，AD=5，AE=4， ∴， 解得：AC=； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 18. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（千帕）是气球的体积（立方米）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求该反比例函数的表达式；（不用写自变量的取值范围） （2）当气球内的气压为千帕时，求气球的体积． 【答案】（1） （2）立方米 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质，根据点在反比例函数图象上，求出反比例系数，再根据反比例函数的性质，进行解答，即可． （1）设，根据点在反比例函数图象上，代入，求出，即可； （2）根据题意，当，代入反比例函数解析式，求出，即可． 【小问1详解】 解：设， 由函数图象可得，点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：由（1）得，反比例函数的表达式为：， 当时， ∴， 答：当气球内的气压为千帕时，气球的体积为立方米． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位长度． 在中，，，． （1）在图中作出以点A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形． （2）若点A的坐标为，点B的坐标为，请在图中画出平面直角坐标系，并写出点C的坐标． （3）根据（2）中的平面直角坐标系，作出与关于原点对称的． 【答案】（1） 解：如图，即为所求． （2）建立平面直角坐标系如下： 点C的坐标为 （3） 解：如图，即为所求． . 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转作图、平面直角坐标系、关于原点对称点的坐标特征等知识点，正确建立直角坐标系是解题的关键． （1）利用网格特点和旋转的性质画图即可； （2）利用点A、B的坐标画直角坐标系，然后写出C点的坐标即可； （3）先根据关于原点对称点的坐标特点确定点，然后顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 如图，在等腰中，，交于，两点，半径于． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：在中，，于， ， 是的弦，是半径，且于， ， ， ； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂径定理、勾股定理． （1）根据等腰三角形的三线合一定理可证，根据垂径定理可证，根据等式的性质可得； （2）连接构造，由（1）知，，设半径为，则，利用勾股定理求圆的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如下图所示，连接， 由（1）知，， 设半径为，则， 在中， 解得：， 的半径为． 六、（本题满分12分） 21. 如图，熊猫基地新诞生一对双胞胎熊猫宝宝，吸引了大批游客前往观看．由于之间的道路正在进行维护，暂时不能通行．游客由入口A进入园区之后可步行到达点，然后可以选择乘坐空中缆车从，也可选择乘坐观光车从．已知点在点A的北偏东方向上，点在点的正东方向，点在点A的正东方向400米处，点在点的北偏东方向上，且米．求的长度（精确到1米）．（参考数据：，） 【答案】米 【解析】 【分析】本题主要考查了三角函数、矩形、直角三角形的知识，熟练掌握三角函数、直角三角形的性质是解题的关键．作于，于，根据矩形和三角函数的性质，推导得，再根据等腰直角三角形的性质计算，即可得到答案． 【详解】作于，于， ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴， ∴（米）， ∵ ∴（米）， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴（米）， ∴（米）， （米）． 七、（本题满分12分） 22. 在中，，为上一点，为延长线上一点，且． （1）如图1，若，． ①的度数为______； ②求证：； （2）如图2，若，求证：． 【答案】（1）①； ②证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2） 证明：过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形，全等三角形，等腰三角形，直角三角形等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，三角形的内角和，三角形的外角，进行解答，即可． （1）①根据等边对等角，三角形的内角和，求出，根据三角形的外角，则，根据三角形的内角和，即可；②根据平角的性质，求出，根据等边对等角，则，，等量代换，则，根据相似三角形的判定，即可； （2）过点作交的延长线于点，根据等边对等角，则，，等量代换，则，根据全等三角形的判定和性质，则，根据直角三角形的性质，则，最后根据，即可． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． ②略 【小问2详解】 略 八、（本题满分14分） 23. 如图1，抛物线经过两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设四边形的面积为，求的最大值； （3）如图2，过点作轴于点，连接与轴交于点，当时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）S的最大值为 （3） 【解析】 【分析】（1）将，代入，即可求解； （2）过点P作PM⊥x轴于点N，P为第四象限内抛物线上一点，设点，则，，根据得，然后根据二次函数的最值求解即可； （3）由题意得到，则，设，由，求出即可． 【小问1详解】 解：将，代入，得： ， ， ； 【小问2详解】 解：过点P作轴于点N，如图所示， 令，则， ∴， ∴， ∵P为第四象限内抛物线上一点，设点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴当时，S有最大值，． 【小问3详解】 解：如图， ∵轴，轴， ∴， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，等腰三角形的判定，勾股定理，求二次函数解析式，待定指数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理，注意数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $