宁夏回族自治区吴忠市青铜峡市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

2024-2025学年宁夏吴忠市青铜峡市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．（3分）剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）用配方法解方程x2﹣2x＝5时，配方后正确的是（　　） A．（x﹣1）2＝5 B．（x+1）2＝5 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣1）2＝7 3．（3分）下列事件中，属于随机事件的是（　　） A．的值比8大 B．抛一枚质地均匀的硬币一次，正面朝上 C．地球自转的同时也在绕太阳公转 D．袋中只有五个黄球，摸出一个球是白球 4．（3分）将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（　　） A．y＝（x+2）2+1 B．y＝（x+2）2﹣1 C．y＝（x﹣2）2+1 D．y＝（x﹣2）2﹣1 5．（3分）风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原来的图案重合，那么n的值可能是（　　） A．45 B．60 C．90 D．120 6．（3分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智告启发，让人淡养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆1280人次，进馆人次这月增加，第三个月进馆2000人次，若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为（　　） A．1280（1+x）＝2000 B．1280（1+x）2＝2000 C．1280+1280（1+x）+1280（1+x）2＝2000 D．1280（1﹣x）2＝2000 7．（3分）如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD为2cm，则截面圆中弦AB的长为（　　） A．8.6cm B．8cm C．6cm D．5.4cm 8．（3分）将量角器按如图摆放在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（　　） A．15° B．28° C．34° D．56° 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）二次函数y＝3x2+6x﹣4的对称轴是　 　． 10．（3分）如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果： 投篮次数n 50 100 150 300 400 500 投中次数m 33 59 93 180 236 300 投中频率 0.66 0.59 0.62 0.60 0.59 0.60 根据以上数据，估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率约是 　 　． 11．（3分）若二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是　 　． 12．（3分）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为 　 　． 13．（3分）平面直角坐标系中，一条抛物线经过原点，则该抛物线的解析式可能为：　 　（写出一个即可）． 14．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（﹣1，0）且对称轴为直线x＝1，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为 　 　． 15．（3分）已知：如图，圆锥的底面直径是10cm，高为12cm，则它的侧面展开图的面积是　 　cm2． 16．（3分）将△OBA按如图方式放置在平面直角坐标系xOy中，其中∠OBA＝90°，∠A＝30°，顶点A的坐标为，将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2025次旋转结束时，点A对应点的坐标为　 　． 三、解答题（本题共10小题，其中17～22题每小题6分，23、24题每小题6分，25、26题每小题6分，共72分） 17．（6分）解方程：（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0． 18．（6分）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上． （1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1； （2）若△DEF由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为　 　． 19．（6分）某中学准备举行实地研学活动，每个班需选出一名旗手．某班小王、小李都想当，决定采取在不透明袋子摸质地均匀大小一样的小球的办法，小球分别标有1、2、3、4，具体规则是：“每人各摸一次，若小王摸得的数字比小李摸得的数字小，小王胜出，否则小李当选”．试用列表法或画树状图的方法分析，这个规则对双方是否公平？ 20．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝6，CA＝8，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，使点C的对应点E恰好落在AB上，求线段AE的长． 21．（6分）旱地冰壶是冬季奥运会项目冰壶的普及版，在各中小学推广以来，深受同学们的喜爱．某县在举行中小学旱地冰壶比赛时，有若干支队伍参加了单循环比赛（每两个队伍只比赛一场），单循环比赛共进行了45场，则本次比赛共有多少支参赛队伍？ 22．（6分）仅用无刻度的直尺作图，是一种考查灵活运用图形性质和判定的绘图方式，按要求完成下面仅用无刻度的直尺作图的题目： （1）如图①，在⊙O内，作任意两条直径AB、CD，顺次连接A、C、B、D，则画出了⊙O的一个内接矩形； （2）如图②，AB是⊙O的直径，CD是弦，且AB∥CD，画出⊙O的内接正方形．（保留画图痕迹，不写作法） 23．（8分）杭州亚运会期间，某网店经莒亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，每盒进价为30元，出于营销考虑，要求每盒商品的售价不低于32元且不高于39元，在销售过程中发现该商品每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系：y＝﹣2x+100． （1）若该网点每周销售这种商品所获利润为150元，求销售单价是多少元？ （2）将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？ 24．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD＝∠BAC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若∠D＝30°，BD＝2，求图中阴影部分的面积． 25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B（3，0），与y轴的交点为C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点P，使△ABP的面积是10，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）已知点M为y轴上的一个动点，当△ACM是以AC为腰的等腰三角形时，求点M的坐标． 26．（10分）综合与实践 某数学小组，在计算当周长为固定值时，围成正三角形、正方形、正六边形、圆的面积． 【探究发现】 当周长为12cm时，计算回答下列问题： （1）正方形的面积为　 　cm2． （2）如图，正△ABC，该正三角形的面积为多少？请写出计算过程． （3）直接写出该周长下，正六边形和圆的面积．比较在同一周长下，S正三角形、S正方形、S正六边形、S圆的大小关系．（参考数据：，π≈3.14） 【应用结论】 张强同学假期看望爷爷奶奶，发现爷爷准备在空地上围一个简易羊圈，用来给怀胎和产仔的母羊单独喂食．爷爷买了30m的护栏网，若不计损耗，围成的简易羊圈场地面积，是否能达到70m2，若能，该如何围？若不能，说明理由． 2024-2025学年宁夏吴忠市青铜峡市九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B C D B B B 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．（3分）剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2．（3分）用配方法解方程x2﹣2x＝5时，配方后正确的是（　　） A．（x﹣1）2＝5 B．（x+1）2＝5 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣1）2＝7 【分析】两边同时加上一次项系数的一半的平方，最后配成完全平方式，据此即可作答． 【解答】解：x2﹣2x+1＝5+1， （x﹣1）2＝6， 故选：C． 【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． 3．（3分）下列事件中，属于随机事件的是（　　） A．的值比8大 B．抛一枚质地均匀的硬币一次，正面朝上 C．地球自转的同时也在绕太阳公转 D．袋中只有五个黄球，摸出一个球是白球 【分析】对于A、D两选项，利用数学知识和常识可知一定不会发生；对于C选项，根据地理常识可知一定会发生． 对于B选项，抛一枚质地均匀的硬币一次，可能正确朝上，也可能反面朝上，是正确朝上的可能性是随机的，据此进行判断即可． 【解答】解：A．因为63＜64，所以＜＝8，该事件是不可能事件，故A选项错误； B．抛一枚质地均匀的硬币一次，正面朝上是随机事件，故B正确； C．因为地球自转的同时也在绕日公转是一定发生的，所以该事件是必然事件，故C选项错误； D．因为袋中只有5个黄球，不可能摸出白球，所以该事件是不可能事件，故D选项错误． 故选：B． 【点评】本题考查了随机事件、必然事件和不可能事件的区别，牢固掌握这三个概念的定义是解题的关键． 4．（3分）将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（　　） A．y＝（x+2）2+1 B．y＝（x+2）2﹣1 C．y＝（x﹣2）2+1 D．y＝（x﹣2）2﹣1 【分析】由抛物线平移不改变a的值，根据平移口诀“左加右减，上加下减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式． 【解答】解：将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是y＝（x﹣2）2+1． 故选：C． 【点评】本题难度低，主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 5．（3分）风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原来的图案重合，那么n的值可能是（　　） A．45 B．60 C．90 D．120 【分析】该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是120°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转120度的整数倍，就可以与自身重合． 【解答】解：该图形被平分成三部分，旋转120°的整数倍，就可以与自身重合， 故n的最小值为120． 故选：D． 【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 6．（3分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智告启发，让人淡养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆1280人次，进馆人次这月增加，第三个月进馆2000人次，若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为（　　） A．1280（1+x）＝2000 B．1280（1+x）2＝2000 C．1280+1280（1+x）+1280（1+x）2＝2000 D．1280（1﹣x）2＝2000 【分析】设进馆人次的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【解答】解：进馆人次的月平均增长率为x， 依题意得：1280（1+x）2＝2000， 故选：B． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 7．（3分）如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD为2cm，则截面圆中弦AB的长为（　　） A．8.6cm B．8cm C．6cm D．5.4cm 【分析】根据勾股定理求得AC的长，根据垂径定理可得，进而即可求解． 【解答】解：由条件可知， ∵CD＝2cm，OA＝OD＝5（cm）， ∴OC＝OD﹣CD＝5﹣2＝3（cm）， 在Rt△AOC中AC＝＝4（cm）， ∴AB＝2AC＝8cm， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，熟练掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键． 8．（3分）将量角器按如图摆放在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（　　） A．15° B．28° C．34° D．56° 【分析】根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，从而可求得∠ACB的度数． 【解答】解：根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半， 根据量角器的读数方法可得：（86°﹣30°）÷2＝28°． 故选：B． 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）二次函数y＝3x2+6x﹣4的对称轴是　直线x＝﹣1　． 【分析】根据二次函数的性质进行计算即可解答． 【解答】解：y＝3x2+6x﹣4， ∵a＝3，b＝6， ∴﹣＝﹣＝﹣1， ∴二次函数y＝3x2+6x﹣4的对称轴是直线x＝﹣1， 故答案为：直线x＝﹣1． 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握对称轴公式是解题的关键． 10．（3分）如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果： 投篮次数n 50 100 150 300 400 500 投中次数m 33 59 93 180 236 300 投中频率 0.66 0.59 0.62 0.60 0.59 0.60 根据以上数据，估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率约是 　0.60（答案不唯一）　． 【分析】根据大量重复试验，某事件发生的频率稳定在一个数值附近，这个数值即为该事件发生的概率，结合表格，即可得出结果． 【解答】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.60附近， ∴这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为0.60． 故答案为：0.60（答案不唯一）． 【点评】本题考查利用频率估计概率．根据大量重复试验，某事件发生的频率稳定在一个数值附近，这个数值即为该事件发生的概率，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法和正确分析表中数据． 11．（3分）若二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是　m≤4　． 【分析】由题意得，方程x2﹣4x+m＝0有实数根，则Δ＝（﹣4）2﹣4m≥0，进而可得答案． 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴有交点， ∴方程x2﹣4x+m＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4m≥0， 解得m≤4． 故答案为：m≤4． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 12．（3分）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为 　x（x+12）＝864　． 【分析】由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为（x+12），再利用矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵矩形的宽为x（步），且宽比长少12（步）， ∴矩形的长为（x+12）（步）． 依题意，得：x（x+12）＝864． 故答案为：x（x+12）＝864． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13．（3分）平面直角坐标系中，一条抛物线经过原点，则该抛物线的解析式可能为：　y＝x2+x（答案不唯一）　（写出一个即可）． 【分析】设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，根据题意c＝0，然后a取不为0的数，b取任意实数即可． 【解答】解：设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c， ∵抛物线经过原点， ∴c＝0， 当a取1，b取1时，抛物线解析式为y＝x2+x． 故答案为：y＝x2+x．（答案不唯一） 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 14．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（﹣1，0）且对称轴为直线x＝1，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为 　x1＝﹣1，x2＝3　． 【分析】根据二次函数的对称性求得抛物线与x轴的另一个交点，然后根据图象即可求ax2+bx+c＝0时x的取值范围． 【解答】解：由图象可知：抛物线与x轴交于A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一交点为：（3，0）， ∴ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3， 故答案为：x1＝﹣1，x2＝3 【点评】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与方程的关系，求得抛物线与x轴的交点是解题的关键． 15．（3分）已知：如图，圆锥的底面直径是10cm，高为12cm，则它的侧面展开图的面积是　65π　cm2． 【分析】首先利用勾股定理求得圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解． 【解答】解：∵圆锥的底面直径是10cm，高为12cm， ∴勾股定理得圆锥的母线长为13cm， ∴圆锥的侧面积＝π×13×5＝65πcm2． 故答案为：65π． 【点评】本题考查圆锥侧面积公式的运用，掌握公式是关键． 16．（3分）将△OBA按如图方式放置在平面直角坐标系xOy中，其中∠OBA＝90°，∠A＝30°，顶点A的坐标为，将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2025次旋转结束时，点A对应点的坐标为　　． 【分析】根据∠OBA＝90°，∠A＝30°得∠AOB＝60°，由△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，每旋转6次回到原位，可知第2025次旋转结束时，相当于△OBA由此位置旋转180°，进而可求解即可． 【解答】解：由条件可知∠AOB＝90°﹣30°＝60°， ∵△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，每旋转6次回到原位， ∴2025÷6＝337余3， ∴第2025次旋转结束时，相当于△OBA由此位置旋转180°， ∴第2025次旋转结束时，点A对应点与点A关于原点对称， ∴点A对应点的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查图形的旋转规律，坐标与图形，掌握题中规律是解题的关键． 三、解答题（本题共10小题，其中17～22题每小题6分，23、24题每小题6分，25、26题每小题6分，共72分） 17．（6分）解方程：（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0． 【分析】利用因式分解法解方程． 【解答】解：（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x﹣3﹣2）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣5＝0， ∴x1＝3，x2＝5． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 18．（6分）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上． （1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1； （2）若△DEF由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为　（0，1）　． 【分析】（1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （2）根据对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．作出点P即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）如图，点P即为旋转中心，P（0，1）． 故答案为：（0，1）． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质． 19．（6分）某中学准备举行实地研学活动，每个班需选出一名旗手．某班小王、小李都想当，决定采取在不透明袋子摸质地均匀大小一样的小球的办法，小球分别标有1、2、3、4，具体规则是：“每人各摸一次，若小王摸得的数字比小李摸得的数字小，小王胜出，否则小李当选”．试用列表法或画树状图的方法分析，这个规则对双方是否公平？ 【分析】列表得出所有等可能的情况数，求出两人获胜概率，比较即可得到公平与否． 【解答】解：游戏不公平． 列表如下： 1 2 3 4 1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） 所有等可能的情况数有16种，其中小王摸得的数字比小李摸得的数字小的有6种：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）， ∴P（小王胜）＝， 则P（小李胜）＝1﹣， ∵， 则这个规则不公平． 【点评】此题考查了游戏的公平性和列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 20．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝6，CA＝8，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，使点C的对应点E恰好落在AB上，求线段AE的长． 【分析】由勾股定理求出AB＝4，由旋转的性质得出BE＝BC＝6，即可得出答案． 【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，CB＝6，CA＝8， ∴AB＝＝10， 由旋转的性质得：BE＝BC＝6， ∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4． 【点评】本题考查了旋转的性质以及勾股定理；熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 21．（6分）旱地冰壶是冬季奥运会项目冰壶的普及版，在各中小学推广以来，深受同学们的喜爱．某县在举行中小学旱地冰壶比赛时，有若干支队伍参加了单循环比赛（每两个队伍只比赛一场），单循环比赛共进行了45场，则本次比赛共有多少支参赛队伍？ 【分析】设本次比赛共有x支参赛队伍，利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设本次比赛共有x支参赛队伍， 根据题意得：x（x﹣1）＝45， 整理得：x2﹣x﹣90＝0， 解得：x1＝10，x2＝﹣9（不符合题意，舍去）． 答：本次比赛共有10支参赛队伍． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22．（6分）仅用无刻度的直尺作图，是一种考查灵活运用图形性质和判定的绘图方式，按要求完成下面仅用无刻度的直尺作图的题目： （1）如图①，在⊙O内，作任意两条直径AB、CD，顺次连接A、C、B、D，则画出了⊙O的一个内接矩形； （2）如图②，AB是⊙O的直径，CD是弦，且AB∥CD，画出⊙O的内接正方形．（保留画图痕迹，不写作法） 【分析】（1）如图①，由于AB、CD为直径，则OA＝OB＝OC＝OD，所以四边形ABCD为矩形； （2）如图②，延长AC、BD，它们相交于点P，AD与BC相交于点Q，利用CD∥AB得到∠ADC＝∠BAD，所以＝，则＝，所以∠CAB＝∠DBA，则△PAB为等腰三角形，由于AB为直径，则∠ACB＝∠ADB＝90°，则Q点为△PAB的高的交点，则PQ⊥AB，所以PQ垂直平分AB，设直线PO交⊙O于M、N，根据垂直径定理得到弧BM、弧AM、弧AN、弧BN都相等，所以四边形AMBN为圆的内接正方形． 【解答】解：（1）如图①，四边形ABCD为所作； （2）如图②，四边形AMBN为所作． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，熟练掌握圆的内接四边形的性质、矩形的性质和正方形的性质是解决问题的关键．． 23．（8分）杭州亚运会期间，某网店经莒亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，每盒进价为30元，出于营销考虑，要求每盒商品的售价不低于32元且不高于39元，在销售过程中发现该商品每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系：y＝﹣2x+100． （1）若该网点每周销售这种商品所获利润为150元，求销售单价是多少元？ （2）将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）根据利润＝（售价﹣进价）×销售量，列出方程求解即可； （2）根据利润＝（售价﹣进价）×销售量，列出利润关于售价的二次函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）根据题意得：（x﹣30）（﹣2x+100）＝150，整理得：x2﹣80x+1575＝0， 解得：x1＝35，x2＝45， 又∵32≤x≤39， ∴x＝35， 答：销售单价是35元； （2）设网店每周销售该商品所获利润为w元， ∴w＝（x﹣30）（﹣2x+100）， ＝﹣2（x﹣40）2+200， ∵32≤x≤39， ∴当x＝39时，w有最大，最大值为w＝﹣2（39﹣40）2+200＝198， 答：该商品销售单价定为39元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大，最大利润是198元． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的方程和函数关系式是解题的关键． 24．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD＝∠BAC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若∠D＝30°，BD＝2，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OC，易证∠BCD＝∠OCA，由于AB是直径，所以∠ACB＝90°，所以∠OCA+OCB＝∠BCD+∠OCB＝90°，CD是⊙O的切线 （2）设⊙O的半径为r，AB＝2r，由于∠D＝30°，∠OCD＝90°，所以可求出r＝2，∠AOC＝120°，BC＝2，由勾股定理可知：AC＝2，分别计算△OAC的面积以及扇形OAC的面积即可求出影响部分面积 【解答】解：（1）连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠BAC＝∠OCA， ∵∠BCD＝∠BAC， ∴∠BCD＝∠OCA， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠OCA+∠OCB＝∠BCD+∠OCB＝90° ∴∠OCD＝90° ∵OC是半径， ∴CD是⊙O的切线 （2）设⊙O的半径为r， ∴AB＝2r， ∵∠D＝30°，∠OCD＝90°， ∴OD＝2r，∠COB＝60° ∴r+2＝2r， ∴r＝2，∠AOC＝120° ∴BC＝2， ∴由勾股定理可知：AC＝2 易求S△AOC＝×2×1＝ S扇形OAC＝＝ ∴阴影部分面积为﹣ 【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，需要学生灵活运用所学知识． 25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B（3，0），与y轴的交点为C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点P，使△ABP的面积是10，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）已知点M为y轴上的一个动点，当△ACM是以AC为腰的等腰三角形时，求点M的坐标． 【分析】（1）将点A和点B的坐标分别代入解析式，即可求解； （2）设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），根据三角形的面积列出方程，解方程求出m的值，即可求出点P的坐标； （3）先根据勾股定理求出AC的长，再分为点A是等腰△ACM的顶点和点C是等腰△ACM的顶点，两种情况进行分析即可求解． 【解答】解：（1）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B（3，0），把点A、点B的坐标代入得： ， 解得：， 故抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）抛物线上存在点P，使△ABP的面积是10；理由如下： 设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3）， 则， 根据题意可得：， 整理得：|m2﹣2m﹣3|＝5， 解得：m＝﹣2或m＝4， 当m＝﹣2时，（﹣2）2﹣2×（﹣2）﹣3＝5； 当m＝4时，42﹣2×4﹣3＝5； 综上所述，抛物线上存在点P，使△ABP的面积是10；点P的坐标为（﹣2，5），（4，5）． （3）连接AC，如图： 在Rt△ACO中，， 当点A是等腰△ACM的顶点时，此时点M在点C的上方， 则OM＝OC＝3， 故此时点M的坐标为（0，3）； 当点C是等腰△ACM的顶点，点M在点C的下方时， 此时， 故此时点M的坐标为； 当点C是等腰△ACM的顶点，点M在点C的上方时， 此时， 故此时点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为（0，3）或或． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，勾股定理，等腰三角形的定义等，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 26．（10分）综合与实践 某数学小组，在计算当周长为固定值时，围成正三角形、正方形、正六边形、圆的面积． 【探究发现】 当周长为12cm时，计算回答下列问题： （1）正方形的面积为　9　cm2． （2）如图，正△ABC，该正三角形的面积为多少？请写出计算过程． （3）直接写出该周长下，正六边形和圆的面积．比较在同一周长下，S正三角形、S正方形、S正六边形、S圆的大小关系．（参考数据：，π≈3.14） 【应用结论】 张强同学假期看望爷爷奶奶，发现爷爷准备在空地上围一个简易羊圈，用来给怀胎和产仔的母羊单独喂食．爷爷买了30m的护栏网，若不计损耗，围成的简易羊圈场地面积，是否能达到70m2，若能，该如何围？若不能，说明理由． 【分析】【探究发现】 （1）由周长得到边长，进而求面积； （2）由周长得到边长，再作高求面积即可得解； （3）先求出正六边形和圆的面积，再比较大小即可得解； 【应用结论】 根据探究发现，我们发现当围成的正多边形边数越大，则面积就越大，当图形为圆是，面积最大，进而利用发现求解即可． 【解答】解：【探究发现】 （1）当周长为12cm时，则正方形边长为3cm， ∴正方形的面积＝3×3＝9 cm2， 故答案为：9； （2）当周长为12cm时，则正三角形边长为4cm， 如图，过C作CD⊥AB于点D，则AD＝BD＝＝2 cm， ∴CD＝＝2 cm， ∴S△ABC＝AB•CD＝4 cm2； （3）当周长为12cm时，正六边形的边长为2cm， 如图，连接OA、OB，则∠AOB＝60°， ∴△OAB为等边三角形， ∴S△OAB＝×2×＝ cm2， ∴S正六边形ABCDEF＝6S△OAB＝6 cm2≈10.392 cm2； 当周长为12cm时，圆的半径为 cm， ∴S圆＝πr2＝≈11.46 cm2； ∵S正三角形＝4≈6.928 cm2，且11.46＞10.392＞9＞6.928， ∴同一周长下，S正三角形＜S正方形＜S正六边形＜S圆； 【应用结论】 当围成的羊圈是正方形，则正方形的边长为＝7.5 m， 此时S＝7.52＝56.25 m2＜70 m2， 不满足题意； 当围成的羊圈是圆形时，此时圆的半径为 m， 此时S＝πr2＝≈71.66 m2＞70 m2， 符合题意； ∴能围成70 m2的羊圈，围成一个半径为m的圆形羊圈． 【点评】本题主要考查了正方形的性质、正多边形的性质、几何面积问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$