北京市房山区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

第1页/共7页 2025北京房山高一（上）期末 数 学 本试卷共 4 页，150 分，考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考 试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存。 第一部分（选择题 共 50 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知 2log 3 a= ， 2log 5 b= ，则 2log 15 （A） ab （B） b a （C） a b （D） a b （2）掷一个骰子，观察朝上的面的点数，设事件 M = “点数为奇数”，事件 N = “点数为 3的整数倍”，若 ( )P M ， ( )P N 分别表示事件 M ， N 发生的概率，则 （A） 1 ( ) 3 P M = ， 1 ( ) 2 P N = （B） 1 ( ) 2 P M = ， 1 ( ) 3 P N = （C） 1 ( ) ( ) 2 P M P N= = （D） 1 ( ) ( ) 3 P M P N= = （3）下列函数中，既是奇函数又在区间 ( , )− + 上单调递增的是 （A） 1 3( )f x x − = （B） ( ) 2xf x = （C） 3( )f x x= （D） ( ) lgf x x= （4）函数 2( ) 2xf x x 的零点个数是 （A） 0 （B）1 （C） 2 （D） 3 （5）供电部门对某社区1 000 位居民 2024 年12 月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量（单位： 度）分为 [0,10)，[10,20) ，[20,30) ， [30,40) ，[40,50]五组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则下 列说法错误的是 （A）在这1 000 位居民中，12 月份人均用电量人数最多的一组有 400 人 （B）在这1 000 位居民中，12 月份人均用电量不低于 20度的有500人 （C）在这1 000 位居民中，12 月份人均用电量为 25度 （D）从这1 000 位居民中，任选1位担任安全用电宣传员，选到 居民人均用电量在[30,40) 一组的概 率为 1 10 的 第2页/共7页 （6）已知向量 ( , 2)a=m ， (8, )a=n ，则“ 4a = − ”是“m n ”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （7）如图，在平行四边形 ABCD 中， M 是 AB 的中点， DM 与 AC 交于点 N ，设 AB = a ， AD = b ，则 BN = （A） 2 1 3 3 − +a b （B） 2 1 3 3 −a b （C） 1 2 3 3 − +a b （D） 1 2 3 3 −a b （8）若函数 ( )f x 满足：对定义域内任意的 1 2 1 2, ( )x x x x ，都有 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 2 2 f x f x x x f + +  ，则称函数 ( )f x 具有性质 H .下列函数中不具有性质 H 的是 （A） 1 ( ) ( ) 3 xf x = （B） 2( ) logf x x= （C） 3( ) ( 0)f x x x= ≥ （D） 1 ( ) ( 0)f x x x =  （9）已知函数 ( )=|log |( > 0af x x a 且 1)a  ，那么下列命题中的假命题是 （A）若 (2)=1f ，则 1 2 a = 或 2a = （B）若 0 m n  ，且 ( )= ( )f m f n ，则 1mn = （C）存在正数 k ，使得函数 ( )= ( ) 1g x f x kx− − 恰有1个零点 （D）不存在实数 1a  ，使得函数 ( )= ( ) xg x f x a− 恰有 3个零点 （10）已知函数 1 ( ) 1 x x a f x a − = + ( 0a  且 1)a  ，给出下列四个结论: ①函数 ( )f x 在其定义域内单调递减； ②函数 ( )f x 的值域为 (0,1) ； ③函数 ( )f x 的图象是中心对称图形； ④函数 ( )f x 的图象过定点 (0,0) . 其中正确结论的个数是 （A）1 （B） 2 （C） 3 （D） 4 第二部分（非选择题 共 100 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 B A C D M N 第3页/共7页 （11）函数 1 lg(5 ) 3 ( )f x x x= + − − 的定义域为_______. （12）某单位共有80 名职工，其中 35 岁以下的有 20 人， 35 — 45岁的有 35 人， 45 岁及以上的有 25 人.现 用分层抽样的方法，从中抽取16 名职工进行问卷调查，则抽取的 45岁及以上的职工人数为_______. （13）向量 a， b ， c 在正方形网格中的位置如图所示.若  c = a + b ( , )  R ，则   =_______. （14）若幂函数 ( )f x 同时具有以下三个性质：① ( )f x 的定义域为 ( ,0) (0, )− + ；② ( )f x 是奇函数；③ 当 0x  时， ( ) 0f x  .则 ( )f x 的一个解析式是_______． （16）已知函数 2 2 , 1, ( ) log , 1. x x f x x x >  =   ≤ 若 ( ) 2f x = ，则 x =_______；若 ( )f x m= 有三个不同的实根 1 2 3, ,x x x ， 且满足 1 2 3x x x  ，则 2024 1 2 3( )x x m x+ + 的取值范围是_______． （16）据说古印度国王为了奖赏国际象棋的发明者，让他提一个要求.发明者说：我想在棋盘的第1个格子 里放上1颗麦粒，在第 2 个格子里放上 2 颗麦粒，在第 3个格子里放上 22 颗麦粒，在第 4 个格子里放上 32 颗 麦粒， ，每个格子放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的 2 倍，直到第 64 个格子，国王欣然同意. 通过计算，该发明者所要求的麦粒数为 642 1− .你认为 1010 ， 1510 ， 2010 ， 2510 四个数中与 642 1− 最接近的是 _______．（参考数据： lg2 0.3010 ） 三、解答题共 5 小题，每小题 14 分，共 70 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （17）（本小题14 分） 甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目 概率是 2 3 ，乙解出这道题目的概率是 4 5 . （Ⅰ）求甲、乙两人都解出这道题目的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人恰有一人解出这道题目的概率； （Ⅲ）求这道题目被甲、乙两人解出的概率. （18）（本小题14 分） 已知向量 ( 1,2)= −a ， 1 1 ( , ) 2 4 = −b ． （Ⅰ）求 | 4 |a + b ； （Ⅱ）若向量 c 满足 2 3 8− =a c b ，求向量 c ； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若 2m n− =a c b ，求实数 ,m n 的值. 的 第4页/共7页 （19）（本小题14 分） 已知函数 2 2( ) log ( 2 )f x x x a= − + 的定义域是R ． （Ⅰ）求实数 a的取值范围； （Ⅱ）解关于 x的不等式 3 11 2 1xa a − −  ． （20）（本小题14 分） 随着移动互联网的发展，越来越多的人习惯用手机应用程序（简称 app ）获取新闻资讯，手机应用 程序已经成为人们生活中不可或缺的一部分，它悄无声息的改变着人们的生活习惯，也为人们的生活 提供了极大的便利.为了解用户对某款 app 的满意度，随机调研了 3 000名用户，调研结果如下表（单位： 人）： 青年人 中年人 老年人 满意 600 700 x 一般 550 250 y 不满意 250 50 100 （Ⅰ）从所有参与调研的人中随机选取1人，求此人“不满意”的概率； （Ⅱ）若用频率估计概率，从使用该款 app 的青年人和中年人中各随机选取1人，估计恰有1人“满意”的 概率； （Ⅲ）现需从参与调研的老年人中选择 9 人作进一步访谈，若在“满意”、“一般”、“不满意”的老年人中 各选取 3人，这种抽样是否合理？说明理由． （21）（本小题14 分） 已知函数 ( )f x 的定义域为R ，对任意实数 ,m nR ，都有 ( ) ( ) ( )f m n f m f n+ =  ，且当 0x  时， 0 ( ) 1f x  . （Ⅰ）求 (0)f ； （Ⅱ）证明：当 0x  时， ( ) 1f x  ； （Ⅲ）当 2(lg( 2 3)) 1f a a− −  时，求实数 a的取值范围. 第5页/共7页 参考答案 一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 （D） （B） （C） （D） （C） （A） （A） （B） （D） （B） 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （11） (3,5) （12） 5 （13） 4 （14） 1y x−= （答案不唯一） （15） 2,4− ； (1,2] （16）填写 1010 或 2510 ，得 0 分；填写 2010 得 3分；填写 1510 ，得 5 分. 三、解答题（共 5 小题， 共 70 分） 解：（Ⅰ）设事件 A=“甲、乙两人都解出这道题目”，则 2 4 8 ( ) 3 5 15 P A =  = . ............4 分 （Ⅱ）设事件 B =“甲、乙两人恰有一人解出这道题目”，则 2 1 1 4 6 2 ( ) 3 5 3 5 15 5 P B =  +  = = . ............9 分 （Ⅲ）设事件C =“这道题目被甲、乙两人解出”，则 2 4 2 1 1 4 14 ( ) 3 5 3 5 3 5 15 P C =  +  +  = . ............14 分 （18）（本小题满分14 分） 解：（Ⅰ）因为向量 ( 1,2)= −a ， 1 1 ( , ) 2 4 = −b ， 所以 1 1 4 ( 1,2) 4( , ) (1,1) 2 4 = − + − =a + b . 所以 | 4 | 2=a + b . ............5 分 （Ⅱ）因为 2 3 8− =a c b ，所以 1 1 3 2 8 2( 1,2) 8( , ) ( 6,6) 2 4 = − − − − = −c a b = . 所以 ( 2,2)= −c . ............9 分 （Ⅲ）因为 2m n− =a c b ，由（Ⅱ）知， ( 2,2)= −c . 所以 1 1 ( 1,2) ( 2,2) 2 ( , ) 2 4 m n− − − = − . 所以 2 1 , 2 2 , 2 m n n m − =   − + = −  即 3 , 2 2. m n  =   = ............14 分 （19）（本小题满分14 分） 解：（Ⅰ）因为函数 22( ) log ( 2 )f x x x a= − + 的定义域是R ， 所以 2 2 0x x a− +  恒成立. 第6页/共7页 所以 4 4 0a = −  . 所以 1a  . 所以实数 a的取值范围为 (1, )+ ． ............7 分 （Ⅱ）因为 3 11 2 1xa a − −  ， 所以 3 11 2xa a− − − . 由（Ⅰ）知， 1a  ， 所以 3 11 2x− −  − ，即 3 9x  − ，解得 3x  − . 不等式 3 11 2 1xa a − −  的解集为 ( 3, )− + . ............14 分 (20) （本小题满分14 分） 解:（Ⅰ）所有参与调研的人共有3000 人，不满意的人数是 250 50 100 400+ + = . 记事件 D =“从所有参与调研的人中随机选取1人，此人不满意”，则所求概率为 400 2 ( )= = 3000 15 P D . ............4 分 （Ⅱ）参与调研的青年人共有1400 人，满意的是 600人. 记事件M =“从使用该款 app 的青年人中随机选取1人，此人满意”， 则 ( )P M 的估计值为 600 3 = 1400 7 . 参与调研的中年人共有1000 人，满意的是 700人. 记事件 N =“从使用该款 app 的中年人中随机选取1人，此人满意”， 则 ( )P N 的估计值为 700 7 = 1000 10 . 则从使用该款 app的青年人和中年人中各随机选取1人，恰有1人“满意”的概率估计为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P M N M N P M P N P M P N+ =  +  3 7 3 7 37 = 1 ) 1 ) . 7 10 7 10 70  − + −  =( ( ............9 分 （Ⅲ）这种抽样不合理. 理由：参与调研的 600 名老年人中不满意的人数为100，满意和一般的总人数为 500x y+ = ，说 明满意度之间存在较大差异，所以从三种态度的老年中各选取 3人不合理.合理的抽样方法是采 用分层抽样，根据 x ， y ，100的具体数值来确定抽样数值. ............14 分 (21)（本小题满分14 分） 解:（Ⅰ）因为函数 ( )f x 的定义域为R ,对任意实数 ,m n 都有 ( ) ( ) ( )f m n f m f n+ =  ， 且当 0x  时， 0 ( ) 1f x  . 所以当 1m = ， 0n = 时， (1 0) (1) (0)f f f+ =  ，即 (1) (1) (0)f f f=  . 所以 (0) 1f = . ............4 分 第7页/共7页 （Ⅱ）证明：因为当 0x  时， 0x−  ，所以 ( ) ( ) ( )f x x f x f x− + = −  . 即 ( ) ( ) (0)f x f x f−  = ，由（Ⅰ）知， (0) 1f = . 所以 ( ) ( ) 1f x f x−  = . 所以 1 ( ) ( ) f x f x = − . 因为 0x−  ，所以 0 ( ) 1f x −  . 所以 1 ( ) 1 ( ) f x f x =  − . ............9 分 （Ⅲ）任取 1 2,x x R ，且 1 2x < x ，则 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2( ) ( ) (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x x x f x f x x f x f x− = − + − = − − 1 2 2[ ( ) 1] ( )f x x f x= − − 由已知条件及（Ⅰ），（Ⅱ）可知， 2( ) 0f x  . 又因为 1 2x < x ，所以 1 2 0x x <− .所以 1 2( ) 1f x x−  . 所以 1 2( ) 1 0f x x− −  .所以 1 2 2[ ( ) 1] ( ) 0f x x f x− −  . 所以 1 2( ) ( )f x f x . 所以函数 ( )f x 的是R 上的减函数. 当 2(lg( 2 3)) 1f a a− −  时，不等式转化为 2(lg( 2 3)) (0)f a a f− −  . 因为函数 ( )f x 的是R 上的减函数， 所以不等式 2(lg( 2 3)) (0)f a a f− −  转化为 2 2 lg( 2 3) 0, 2 3 0. a a a a  − −   − −  即 2 2 2 3 1, 2 3 0. a a a a  − −   − −  即 1 5 1 5, 1 3. a a a  −   +   −  或 所以实数 a的取值范围是1 5 1a−   − 或3 1+ 5a  . ............14 分