精品解析：北京市第二中学2024－2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

北京二中教育集团2024-2025学年度第一学期 初二数学期末考试试卷 考查目标 1．知识：人教版八年级上册《三角形》、《全等三角形》、《轴对称》、《整式的乘法与因式分解》、《分式》的全部内容． 2．能力：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分类讨论能力． 考生须知 1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共 16 页：其中第Ⅰ卷 2 页，第Ⅱ卷 8 页，答题卡 8 页．全卷共三大题，28 道小题． 2，本试卷满分100分，考试时间120分钟． 3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号． 4．考试结束，将答题卡交回． 一、选择题（共16分，每题2分，以下每题只有一个正确的选项） 1. 如图所示的是某绿色植物细胞结构图，该绿色植物细胞的直径约为米，将数据米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：米米， 故选：D． 2. 若一个三角形的三条边长分别为，，，则的长可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求出的取值范围，即可求解． 【详解】解：一个三角形的三条边长分别为，，， ，即， 的长可以是， 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．掌握对称点的坐标规律是解决本题的关键． 根据平面直角坐标系中任意一点，关于y轴的对称点的坐标是即可得解答． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是． 故选：A． 4. 若一个多边形的内角和比外角和多，则这个多边形是（ ） A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据多边形的内角和公式与外角和定理列出方程，然后求解即可． 【详解】解：设这个多边形是边形， 根据题意得，， 解得． 故选：C． 5. 图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏酒或食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套器青铜冰鉴．其从上面看到的图形如图②所示，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则放置冰块部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用．正确列出算式，并用因式分解进行简便计算是解题的关键． 根据放置冰块部分的面积可以看作两个正方形的面积差，列出算式，再用平方差公式分解因式，简便计算即可． 【详解】解：根据题意，得 ． 故选：D． 6. 如图，是的角平分线，，垂足为．的面积为，，，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用的面积求解即可． 【详解】解：如图，过点作于， 是的角平分线，， ， 的面积为，，， ， ， 故选：B． 7. 如图，在中，，的面积是6，点是中点，点，分别是，上的动点，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，如图，作关于的对称点，连接，，则，，证明，证明关于的对称点为的中点，过作于，交于，则此时最小，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接，，则， ， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴关于的对称点为的中点， 过作于，交于，则此时最小， ∴， ∴， 即的最小值是； 故选：B 第II卷（非选择题共84分） 二、填空题（共16分，每题2分） 8. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂和零指数幂，根据负整数指数幂和零指数幂求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9. 有一个分式：①当时，分式有意义；②当时，分式的值为0．请写出同时满足以上两个条件的一个分式_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分式的值为0的条件，根据当时，分式有意义；当时，分式的值为0，再构建分式即可． 【详解】解：∵①当时，分式有意义；②当时，分式的值为0． ∴分式可以为， 故答案为： 10. 等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为__________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题给出了一个底角为50°，利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小． 【详解】解：∵等腰三角形底角相等， ∴180°-50°×2=80°， ∴顶角为80°． 故答案为80°． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，即等边对等角．找出角之间的关系利用三角形内角和求角度是解答本题的关键． 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先提取公因式，再用完全平方公式因式分解，即可得答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，在的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则_____． 【答案】##180度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据证明，利用全等三角形的性质与平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：如图，标注字母， 在与中， ， ∴， ∴． ∵由平行线的性质可得， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点和，平分，，_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据垂直平分，得出，从而得，根据平分，得出，即可得，根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】该题主要考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 14. 关于的方程的解为正整数，整数的值为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，先解方程可得，再结合关于的方程的解为正整数，再进一步求解并检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， ∴， 移项合并得：， 当时， 解得：， 由方程的解是正整数，得到为正整数， 即或或， 解得：或或． ∵，， ∴， ∴或， 故答案为：或． 15. 我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．的展开式中的一次项系数是__________． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查了数字规律，找出规律是关键．根据材料提示找出计算规律即可． 【详解】解：根据题意可得， ， ∴ ， ∴的展开式中的一次项系数是， 故答案为：80 ． 三、解答题（共68分，其中第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方，多项式除以单项式，熟练掌握积的乘方，多项式除以单项式法则是解题的关键．先根据积的乘方，多项式除以单项式法则计算，再合并，即可求解． 【详解】解： 17. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的约分，分式的求值，先约分得到结果为，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ； 18. 解方程：． 【答案】无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．根据去分母、合并同类项，化系数为1，即可求解． 【详解】解： 经检验，是原方程的增根， 该方程无解． 19. 先化简，再从的整数解中选取一个数代入求值． 【答案】，时，原式 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，绝对值不等式的含义，先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算得到化简的结果，再结合绝对值不等式与分式有意义的条件把代入计算即可． 【详解】解：∵，为整数， ∴，，， ； ∵分式有意义， ∴，，， ∴， 原式． 20. 小亮同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，摆动过程中绳子的伸长不考虑且绳子始终是绷直的．如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，过点作于点，测得，．（图中的、、、在同一平面上），求证此时． 【答案】 证明：∵于D，于E， ∴， 又∵根据题意得：，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质．证明，得出，根据，求出，即可证明结论； 【详解】略 21. 如图，在中，． （1）尺规作图，求作的垂直平分线交于；（保留作图痕迹） （2）尺规作图，求作的平分线交于点；（保留作图痕迹） （3）由（2）可知点到，的距离相等，依据是_____； （4）连接，画出边上的高； （5）若的面积是，，则_____．（直接写出结果） 【答案】（1） 解：如图所示，点即为所求； （2） 解：如图所示，线段即为所求； （3）角平分线的性质 （4） 解：如图所示，线段即为所求； （5） 【解析】 【分析】（1）根据题意作的垂直平分线交于； （2）根据题意作的平分线交于点； （3）根据角平分线的性质，即可求解； （4）根据三角形高的定义，过点作的垂线，交的延长线与点，则即为所求； （5）根据三角形中线的性质可得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵是的角平分线，，即， ∴点到，的距离相等，依据是角平分线的性质； 【小问4详解】 略 【小问5详解】 解：∵是，边上的中线，的面积是， ∴， ∵边上的高；， ∴， 故答案为：． 22. 列分式方程解应用题： 为更好地开展党史教育，激发中学生爱党爱国的深厚情感，我校组织初二年级同学参观中国共产党历史展览馆，师生统一坐大巴车前往，从我校到展览馆计划行驶12千米，活动当天由于天气原因，下雨造成道路湿滑，大巴车平均行驶速度降为原计划的，途中又遇到交通管制，临时改变了行车路线，最终全程行驶了18千米，比计划行驶时间多用20分钟．请问原计划大巴车平均每小时行驶多少千米？ 【答案】原计划大巴车平均每小时行驶45千米． 【解析】 【分析】本题考查分式方程解决实际应用问题，设原计划大巴车平均每小时行驶千米，则实际平均每小时行驶千米，根据时间关系列方程求解即可得到答案； 【详解】解：设原计划大巴车平均每小时行驶千米，则 ， 解得：， 经检验符合题意； 答：原计划大巴车平均每小时行驶45千米． 23. 如图，在中，点是边上一点，且，过点作于点，过点作于点，与交于点． （1）若，求的度数； （2）当时，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：是等腰三角形，理由如下： 设与交于点， ，， ，， ， ，， ， ，， ， 又， ， ， ， 是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出，由，得，即可求解； （2）设与交于点，由，，可得，，进而得到，根据等腰三角形的性质和垂直的定义可推出，即可判断． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 24. 在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解释某些法则． （1）观察图①的面积关系，写出一个数学公式_____； （2）请写出图②中的几何图形所表示的代数恒等式_____； （3）画出一个几何图形，使它的面积表示，其中． 【答案】（1） （2） （3）解：如图所示， 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式、多项式乘以多项式与几何图形的面积关系； 【小问1详解】 解：根据图1可得， 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据图形可得， 故答案为：． 【小问3详解】 略 25. 已知，，，，，， 当为大于的奇数时，； 当为大于的偶数时，； （1）求；（用含的式子表示） （2）_____；（用含的式子表示） （3）计算． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出的值，每个一循环是解题的关键． （1）根据，即可求解； （2）根据题意可得规律：每个一循环，即可求解； （3）求出，由，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ， ， ， 每个一循环， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 ， ． 26. 在等边中，点是线段上一点（不与点，重合），作射线，点关于射线的对称点为点，直线交射线于点． （1）如图1，补全图形，若，求的度数； （2）如图2，用等式表示线段，，之间的数量关系并证明． 【答案】（1）解：补全的图形如图所示： 的度数为 （2） 解：线段、、之间的数量关系为，理由如下： 如图，在上截取使得， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又根据对称性得到， ∴， ∴， ∴， 故． 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的基本作图画图即可．连接，由，则，利用等边三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理解答即可． （2） 如图，在上截取使得，判定是等边三角形，证明，根据对称性得到，代换证明即可． 【小问1详解】 解：如图，作于点G，延长到点E，使得，连接延长，交射线于点F． 连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，则， ∵点B关于射线的对称点为E， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，轴对称性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，轴对称性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京二中教育集团2024-2025学年度第一学期 初二数学期末考试试卷 考查目标 1．知识：人教版八年级上册《三角形》、《全等三角形》、《轴对称》、《整式的乘法与因式分解》、《分式》的全部内容． 2．能力：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分类讨论能力． 考生须知 1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共 16 页：其中第Ⅰ卷 2 页，第Ⅱ卷 8 页，答题卡 8 页．全卷共三大题，28 道小题． 2，本试卷满分100分，考试时间120分钟． 3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号． 4．考试结束，将答题卡交回． 一、选择题（共16分，每题2分，以下每题只有一个正确的选项） 1. 如图所示的是某绿色植物细胞结构图，该绿色植物细胞的直径约为米，将数据米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 2. 若一个三角形的三条边长分别为，，，则的长可以是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 若一个多边形的内角和比外角和多，则这个多边形是（ ） A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 5. 图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏酒或食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套器青铜冰鉴．其从上面看到的图形如图②所示，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则放置冰块部分的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的角平分线，，垂足为．的面积为，，，的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，的面积是6，点是中点，点，分别是，上的动点，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 第II卷（非选择题共84分） 二、填空题（共16分，每题2分） 8. 计算：_____． 9. 有一个分式：①当时，分式有意义；②当时，分式的值为0．请写出同时满足以上两个条件的一个分式_____． 10. 等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为__________． 11. 分解因式：_____． 12. 如图，在的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则_____． 13. 如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点和，平分，，_____． 14. 关于的方程的解为正整数，整数的值为_____． 15. 我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．的展开式中的一次项系数是__________． 三、解答题（共68分，其中第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分） 16. 计算：． 17. 已知，求代数式的值． 18. 解方程：． 19. 先化简，再从的整数解中选取一个数代入求值． 20. 小亮同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，摆动过程中绳子的伸长不考虑且绳子始终是绷直的．如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，过点作于点，测得，．（图中的、、、在同一平面上），求证此时． 21. 如图，在中，． （1）尺规作图，求作的垂直平分线交于；（保留作图痕迹） （2）尺规作图，求作的平分线交于点；（保留作图痕迹） （3）由（2）可知点到，的距离相等，依据是_____； （4）连接，画出边上的高； （5）若的面积是，，则_____．（直接写出结果） 22. 列分式方程解应用题： 为更好地开展党史教育，激发中学生爱党爱国的深厚情感，我校组织初二年级同学参观中国共产党历史展览馆，师生统一坐大巴车前往，从我校到展览馆计划行驶12千米，活动当天由于天气原因，下雨造成道路湿滑，大巴车平均行驶速度降为原计划的，途中又遇到交通管制，临时改变了行车路线，最终全程行驶了18千米，比计划行驶时间多用20分钟．请问原计划大巴车平均每小时行驶多少千米？ 23. 如图，在中，点是边上一点，且，过点作于点，过点作于点，与交于点． （1）若，求的度数； （2）当时，判断的形状，并说明理由． 24. 在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解释某些法则． （1）观察图①的面积关系，写出一个数学公式_____； （2）请写出图②中的几何图形所表示的代数恒等式_____； （3）画出一个几何图形，使它的面积表示，其中． 25. 已知，，，，，， 当为大于的奇数时，； 当为大于的偶数时，； （1）求；（用含的式子表示） （2）_____；（用含的式子表示） （3）计算． 26. 在等边中，点是线段上一点（不与点，重合），作射线，点关于射线的对称点为点，直线交射线于点． （1）如图1，补全图形，若，求的度数； （2）如图2，用等式表示线段，，之间的数量关系并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $