精品解析：江苏省盐城市鹿鸣路初级中学2024-2025学年七年级上学期期末数学试题

盐城市鹿鸣路初级中学2024-2025学年度第一学期期末考试 初一数学试卷 （卷面总分：100分 考试时间：100分钟） 一、精心选一选：（本大题共有8小题，每小题2分，共16分） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各选项中的两个单项式，不是同类项的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3. 如图，某同学用剪刀沿虚线将三角形剪掉一个角，发现四边形的周长比原三角形的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 经过一点，有无数条直线 C. 垂线段最短 D. 经过两点，有且只有一条直线 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 与互补， 若， 则（ ） A. B. C. D. 6. 若，则代数式的值是（ ） A. B. 8 C. D. 7. 将等式变形错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是一个运算程序，当输入时，输出结果是147；当输入时，输出结果是232．如果输入的x是正整数，输出结果是382，那么满足条件的x的值最多有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、细心填一填：（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 如果把向东走记作，那么向西走记作_______． 10. 2024年5月3日嫦娥六号成功发射，它将在相距约的地月之间完成月壤样品的“空中接力”．数据用科学记数法表示为______． 11. x=1是关于x的方程2x－a=0的解，则a的值是_____． 12. 如图，直线、相交于点，，那么______． 13 已知，则_______． 14. 当__________时，式子与的值互为相反数． 15. 如图是一个正方体的表面展开图，六个面上各有一字，连起来是“拼搏成就未来”，把它折成正方体后，与“来”相对的字是_______． 16. 甲、乙两动点分别从正八边形的顶点A，G同时出发，沿正八边形的边移动．甲点依顺时针环形运动，乙点依逆时针环形运动．若乙的速度是甲的速度的3倍，则它们第2025次相遇在正八边形的边________上．（用字母表示） 三、认真答一答：（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2） 18. 解方程： （1）； （2） 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 某车间原计划9小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，8小时完成任务，问原计划每小时加工多少件零件？ 21. 在如图所示的方格中，每个小正方形的顶点都叫做格点，的三个顶点均在格点处，请利用网格作图． （1）找一个格点， 画直线使；（标出点） （2）找一个格点， 画直线使， 垂足为；（标出点） （3）比较大小： 线段 线段（用“”“”“”号连接）． 22. 已知x，y为有理数， 现规定一种新运算“※”；． （1） ； （2）探索与的关系，并说明理由； （3）若，求x值． 23. 用边长为12 cm的正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子的侧面为长方形，底面为等边三角形． （1）每个盒子需______个长方形，______个等边三角形； （2）硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法． ①用x代数式分别表示裁剪出的侧面个数______和底面的个数______； ②若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子? 24. 线段的计算和角的计算有紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移，下面是某节课的学习片段，请完成探索过程：课上，老师提出问题：如图①，点O是线段上一点，C、D分别是线段的中点，当时，求线段的长度．下面是小明根据老师的要求进行的分析及解答过程： 未知线段 转化 已知线段 …… 因为C，D分别是线段的中点， 所以 因为 所以 线段中点的定义线段的和、差等式的性质 （1）小明举一反三，发现有些角度的计算也可以用类似的方法进行转化，如图②，已知是内部的一条射线，分别是的平分线，探究与的数量关系，请同学们尝试解决该问题． （2）小丽同学很善于思考，她提出新的问题：，，分别是的平分线，则的度数是 ． 25 根据背景素材，探索解决问题． 素材1 数轴是一个非常重要的数学工具， 它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 数轴上点A，B表示的数分别为a，b，A，B两点之间的距离记为． 素材2 已知，可得结论． 已知，可得结论． 素材3 对于由若干不相等的整数组成的数组P和有理数k， 给出如下定义：如果在数轴上存在一条长为1个单位长度的线段，使得将数组P中的每一个数乘以k之后， 计算的结果都能够用线段上的某个点来表示，就称k为数组P的“美好系数”． 例如，对于数组P：1，2，3， 因为 ， ， ，取 A为原点， B为表示数1的点， 那么这三个数都可以用线段上的某个点来表示， 可以判断是P的“美好系数”． 【问题1】 （1）数轴上表示A，B两点的数分别为，2，则两点之间的距离为 ； （2）在数轴上表示数x和数2的两点之间的距离，则方程的解为 ． 【问题2】 （3）对于数组P：，2025，，2024，0，当时，将数组P中的每一个数乘以k之后，最大数是 ．（用含k的代数式表示） 【问题3】 已知k是数组P的“美好系数”． （4）对于数组P：1，2，，在下列各数中： 能成为k的值有 ； （5）对于数组P：1，2，x，若k的最大值为求x的值． 26. 【问题情境】阅读资料：光遇到水面、玻璃以及其它许多物体的表面都会发生反射．如图1，经过入射点O且垂直于反射面的直线叫做法线．入射光线与法线的夹角叫做入射角．反射光线与法线的夹角叫做反射角． 光的反射定律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线、入射光线分居法线两侧；反射角等于入射角，即． （1）探究图1中入射光线与镜面所夹的锐角与反射光线与镜面所夹的锐角的数量关系？并说明理由． 【结论应用】请用【问题情境】（2）中获得结论解决以下问题： 如图2，直线，点A在直线上，点C在直线上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射的光线为，其中点B在直线上． （2）与有怎样的位置关系？并说明理由． （3）如图3，已知，直线绕点C顺时针旋转（）至直线，当为何值时，． （4）直线绕点 C顺时针旋转，直线与直线相交于点E，请直接写出和之间的数量关系 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 盐城市鹿鸣路初级中学2024-2025学年度第一学期期末考试 初一数学试卷 （卷面总分：100分 考试时间：100分钟） 一、精心选一选：（本大题共有8小题，每小题2分，共16分） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 下列各选项中的两个单项式，不是同类项的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查同类项的定义，根据同类项指：字母相同，相同字母的指数也相同的两个单项式来解答即可． 【详解】解：与不是同类项， 其他选项均同类项； 故选：B． 3. 如图，某同学用剪刀沿虚线将三角形剪掉一个角，发现四边形的周长比原三角形的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 经过一点，有无数条直线 C. 垂线段最短 D. 经过两点，有且只有一条直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段的性质；根据两点之间，线段最短进行解答． 【详解】解：某同学用剪刀沿虚线将三角形剪掉一个角，发现四边形的周长比原三角形的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短． 故选：A． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，根据整式的加减运算法则计算即可得出答案，解题的关键是熟记合并同类项的法则． 【详解】、，此选项计算不正确，不符合题意； 、，此选项计算错误，不符合题意； 、与不是同类项，不可以合并，不符合题意； 、，此选项计算正确，符合题意； 故选：． 5. 与互补， 若， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查补角，角度的运算．根据互补的两个角的和为即可求解． 【详解】解：∵与互补， ∴． 故选：A 6. 若，则代数式的值是（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方和绝对值的非负性，代数式求值．根据平方和绝对值的非负性求出m，n的值，代入即可解答． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：D 7. 将等式变形错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等式的性质计算判断即可． 本题考查了等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】A. 如果，那么，故该选项变形正确，不符合题意； B. 如果，那么，故该选项变形正确，不符合题意； C. 如果，那么，故该选项变形正确，不符合题意； D. 如果，那么，故该选项变形错误，符合题意； 故选：D． 8. 如图是一个运算程序，当输入时，输出结果是147；当输入时，输出结果是232．如果输入的x是正整数，输出结果是382，那么满足条件的x的值最多有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查代数式求值及解一元一次方程，根据题意列得方程，解方程求得符合题意的x的值即可． 【详解】解：由题意，令， 解得：； 令， 解得：； 令， 解得：，不符合题意； 综上，满足条件的x的值最多有2个， 故选：C． 二、细心填一填：（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 如果把向东走记作，那么向西走记作_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正负数的表示，根据正数和负数表示相反意义的量，向东记为正，可得向西的表示方法． 【详解】解：如果把向东走记作，那么是把向东记作正方向， 因此向西就应该记作负方向，所以向西走记作记作， 故答案为：． 10. 2024年5月3日嫦娥六号成功发射，它将在相距约的地月之间完成月壤样品的“空中接力”．数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 这里． 【详解】解：； 故答案为：． 11. x=1是关于x的方程2x－a=0的解，则a的值是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】将x=1代入方程即可解出a． 【详解】将x=1代入方程得:2-a=0， 解得a=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查解方程，关键在于掌握解方程的步骤． 12. 如图，直线、相交于点，，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了补角的定义，同角的补角相等，根据补角的定义，同角的补角相等即可解答，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 13. 已知，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查已知式子的值，求代数式的值，由得到，整体代入式子求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为： 14. 当__________时，式子与的值互为相反数． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了含字母式子的求值，关键是利用互为相反数两数之和为列出方程，利用互为相反数两数之和为列出方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：根据题意得： 故答案为：． 15. 如图是一个正方体的表面展开图，六个面上各有一字，连起来是“拼搏成就未来”，把它折成正方体后，与“来”相对的字是_______． 【答案】成 【解析】 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据正方体的表面展开图找相对面的方法：一线隔一个，“Z”字两端是对面，即可解答． 【详解】解：如图是一个正方体的表面展开图，六个面上各有一字，连起来是“拼搏成就未来”，把它折成正方体后，与“来”相对的字是“成”． 故答案为：成． 16. 甲、乙两动点分别从正八边形的顶点A，G同时出发，沿正八边形的边移动．甲点依顺时针环形运动，乙点依逆时针环形运动．若乙的速度是甲的速度的3倍，则它们第2025次相遇在正八边形的边________上．（用字母表示） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了规律性问题，正多边形的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握正多边形的性质，通过做题找出规律是解决问题的关键． 【详解】解：设正八边形的边长为，甲的速度为，则乙的速度为3v，根据题意得： 第一次相遇甲乙走的总路程为，则第一次相遇的时间为：，此时甲走了，即相遇在正八边形的边上； 第二次相遇甲乙走的总路程为，则第二次相遇的时间为： ，此时甲走了，即相遇在正八边形的边上； 第三次相遇甲乙走的总路程为，则第三次相遇的时间为： ，此时甲走了，即相遇在正八边形的边上； 第四次相遇甲乙走的总路程为，则第四次相遇的时间为： ，此时甲走了，即相遇在正八边形的边上； 第五次相遇甲乙走的总路程为，则第五次相遇的时间为： ，此时甲走了，即相遇在正八边形的边上； 依此类推，第五次和第一次相同，所以相遇位置每四次一循环， ∴第2025次相遇与第一次相同，在正八边形的边上． 三、认真答一答：（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算法则． （1）根据有理数的加减运算法则进行计算，即可求解； （2）先计算乘方，再计算乘法与除法，最后计算加减，即可求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）先移项，再化简求解即可． （2）等式两边同时乘以6去分母，合并同类项，求解即可． 【小问1详解】 解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为一得：． 【小问2详解】 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为一得：． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，3 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值．先去括号后再合并同类项，将整式化简后把a，b的值代入即可求解． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 20. 某车间原计划9小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，8小时完成任务，问原计划每小时加工多少件零件？ 【答案】原计划每小时加工80件零件 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 首先设原计划每小时生产x个零件，则实际上每小时生产个零件，根据题意可得等量关系：原计划9小时生产的零件数实际8小时生产的零件数，根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：设原计划每小时加工x件零件， 根据题意可得：， 解得：， 答：原计划每小时加工80件零件． 21. 在如图所示的方格中，每个小正方形的顶点都叫做格点，的三个顶点均在格点处，请利用网格作图． （1）找一个格点， 画直线使；（标出点） （2）找一个格点， 画直线使， 垂足为；（标出点） （3）比较大小： 线段 线段（用“”“”“”号连接）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了画平行线，画垂线，点到直线的距离． （1）根据平行线的判定画出对应的平行线即可得到答案； （2）根据垂直的定义画出对应的图形即可； （3）根据点到直线的距离垂线段最短求解即可． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求 【小问2详解】 解：如图，点，即为所求． 【小问3详解】 由垂线段最短可知，线段＞线段． 故答案为：． 22. 已知x，y为有理数， 现规定一种新运算“※”；． （1） ； （2）探索与的关系，并说明理由； （3）若，求x的值． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算和解方程，理解题意是解答本题的关键． （1）根据新定义运算法则进行计算即可； （2）据新定义运算法则求解即可； （3）据新定义运算法则列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴ 故答案为：； 【小问2详解】 解： ∵，， ∴ 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴ 23. 用边长为12 cm的正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子的侧面为长方形，底面为等边三角形． （1）每个盒子需______个长方形，______个等边三角形； （2）硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法． ①用x的代数式分别表示裁剪出的侧面个数______和底面的个数______； ②若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子? 【答案】（1）3，2；（2）①(2x+76)个，(95-5x)个；②30个 【解析】 【分析】（1）由图可知每个三棱柱盒子需3个长方形，2个等边三角形； （2）①由x张用A方法，就有(19-x)张用B方法，就可以分别表示出侧面个数和底面个数； ②由侧面个数和底面个数比为3：2建立方程求出x的值，求出侧面的总数就可以求出结论． 【详解】解：（1）由图可知每个三棱柱盒子需3个长方形，2个等边三角形； （2）①∵裁剪时x张用A方法， ∴裁剪时(19-x)张用B方法． ∴侧面的个数为：6x+4(19-x)=(2x+76)个， 底面的个数为：5(19-x)=(95-5x)个； ②由题意，得2(2x+76)=3(95-5x)， 解得：x=7， ∴盒子的个数为：． 答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做30个盒子． 【点睛】本题考查了列代数式，以及列一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据裁剪出的侧面和底面个数相等建立方程是关键． 24. 线段的计算和角的计算有紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移，下面是某节课的学习片段，请完成探索过程：课上，老师提出问题：如图①，点O是线段上一点，C、D分别是线段的中点，当时，求线段的长度．下面是小明根据老师的要求进行的分析及解答过程： 未知线段 转化 已知线段 …… 因为C，D分别是线段的中点， 所以 因为 所以 线段中点的定义线段的和、差等式的性质 （1）小明举一反三，发现有些角度的计算也可以用类似的方法进行转化，如图②，已知是内部的一条射线，分别是的平分线，探究与的数量关系，请同学们尝试解决该问题． （2）小丽同学很善于思考，她提出新的问题：，，分别是的平分线，则的度数是 ． 【答案】；；8；（1）；（2）或 【解析】 【分析】本题考查与线段中点有关的计算、角平分线的定义、几何图形中角的运算，利用数形结合思想得到角之间的关系，分类讨论是解答的关键．根据线段中点定义补充题干即可； （1）根据角平分线的定义表示出和，然后根据进行计算即可得解； （2）根据角平分线的定义表示出和，然后分两种情况作出图形，列式计算即可得解． 【详解】解：因为C，D分别是线段的中点， 所以 ， 因为， 所以， 故答案为：；；8； （1）∵分别是的平分线， ∴，， ∴ ； （2）∵，分别是，的平分线，，， ∴，， 当在内部时，如图， 则； 当在外部时，如图， 则； 综上：的度数是或， 故答案为：或． 25. 根据背景素材，探索解决问题． 素材1 数轴是一个非常重要的数学工具， 它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 数轴上点A，B表示的数分别为a，b，A，B两点之间的距离记为． 素材2 已知，可得结论． 已知，可得结论． 素材3 对于由若干不相等的整数组成的数组P和有理数k， 给出如下定义：如果在数轴上存在一条长为1个单位长度的线段，使得将数组P中的每一个数乘以k之后， 计算的结果都能够用线段上的某个点来表示，就称k为数组P的“美好系数”． 例如，对于数组P：1，2，3， 因为 ， ， ，取 A为原点， B为表示数1的点， 那么这三个数都可以用线段上的某个点来表示， 可以判断是P的“美好系数”． 【问题1】 （1）数轴上表示A，B两点的数分别为，2，则两点之间的距离为 ； （2）在数轴上表示数x和数2的两点之间的距离，则方程的解为 ． 【问题2】 （3）对于数组P：，2025，，2024，0，当时，将数组P中的每一个数乘以k之后，最大数是 ．（用含k的代数式表示） 【问题3】 已知k是数组P的“美好系数”． （4）对于数组P：1，2，，在下列各数中： 能成为k的值有 ； （5）对于数组P：1，2，x，若k的最大值为求x的值． 【答案】（1）3；（2）5或；（3）；（4）；；（5）或 【解析】 【分析】本题考查两点间距离，绝对值的意义和“美好系数”，解题的关键是掌握两点间的距离公式，绝对值的意义以及读懂题目中的例子，仿照例子解题． （1）利用两点间的距离公式进行计算即可； （2）利用两点间的距离公式的意义求解即可； （3）根据有理数大小比较方法可得解； （4）根据“美好系数”的定义即可解答； （5）根据已知收纳系数为，得出最大数和最小数，分三种情况进行讨论，即可得出答案； 【详解】解：（1）因为数轴上表示A，B两点的数分别为，2， 所以，, 故答案为：3； （2）因为在数轴上表示数x和数2的两点之间的距离， 所以，方程表示到2的距离是3， 由此可得，或 故答案为：5或； （3）对于数组P：，2025，，2024，0，当时，将数组P中的每一个数乘以k之后，得：，则有： ， 所以，最大的数为：， 故答案为：； （4）∵，，，， ∴k不可能为1； ∵， ∴k不可能为； ∵， ∴k可能． ∵， ∴k可能为； 故答案为：或； （5）取美好系数，将它乘以数组P中的每个数，得： ． 依题意，k的最大值即为， ∴中最大的数与最小的数的差恰好为1． 情况1：当时，最大的数为，最小的数为，，得； 情况2：当时，最大的数为，最小的数为，不合题意； 情况3：当时，最大的数为，最小的数为，，得； 综上，x的值为或4． 26. 【问题情境】阅读资料：光遇到水面、玻璃以及其它许多物体的表面都会发生反射．如图1，经过入射点O且垂直于反射面的直线叫做法线．入射光线与法线的夹角叫做入射角．反射光线与法线的夹角叫做反射角． 光的反射定律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线、入射光线分居法线两侧；反射角等于入射角，即． （1）探究图1中入射光线与镜面所夹的锐角与反射光线与镜面所夹的锐角的数量关系？并说明理由． 【结论应用】请用【问题情境】（2）中获得的结论解决以下问题： 如图2，直线，点A在直线上，点C在直线上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射光线为，其中点B在直线上． （2）与有怎样的位置关系？并说明理由． （3）如图3，已知，直线绕点C顺时针旋转（）至直线，当为何值时，． （4）直线绕点 C顺时针旋转，直线与直线相交于点E，请直接写出和之间的数量关系 ． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）；（4）或 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，根据角的和差得到； （2）由得到，由（1）的结论可得，，从而得证，即可判定； （3）由得到，根据性质可得，这，由（1）的结论可得，因此，进而根据三角形的内角和得到，因此，当时，，即可求解； （4）分两种情况讨论：①当在的左侧，②当在的右侧，画出图形，根据平行线的性质，三角形的内角和定理，外角的性质求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 即． （2），理由如下： ∵， ∴， 由（1）的结论可得，， ∴， ， ∴， ∴． （3）∵， ∴， ∵直线绕点C顺时针旋转（）至直线，即 ∴， 由（1）的结论可得， ∴， ∴， 由（1）的结论可得， ∴， ∵当，即时，， ∴． （4）分两种情况讨论： ①当在的左侧时，直线与相交于点E， ∵， ∴， ∵直线绕点 C顺时针旋转，即， ∴， 由（1）的结论可得， ∴， ∵， ∴， 由（1）结论有， ∴， ∴； ②当在的右侧时，直线与相交于点E， ∵， ∴， ∵直线绕点 C顺时针旋转，即， ∴， ∴， 由（1）结论可得，， 又， ∴， ∵， ∴， 由（1）结论可得， ∴， ∵， ∴ ． 综上所述，或． 【点睛】本题考查角的和差，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，读懂题意，理解光的反射定律，综合运用数学的相关知识，掌握分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $