第16章 分式（基础类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

第16章 分式思维导图 【类型覆盖】 类型一、分式的认识 【解惑】下列各式中是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的定义，一般地，形如（，均为整式，且中含有字母）的式子叫做分式．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是分式，符合题意； B、不是分式，不合题意； C、不是分式，不合题意； D、不是分式，不合题意． 故选：A． 【融会贯通】 1．下列各式中，，，，是分式的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了分式的概念，根据分式的概念，一般的，如果表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，由此问题可求解，熟练掌握分式的概念是解题的关键． 【详解】解：根据分式的概念可知是分式的有，，，，共个， 故选：． 2．下列各式：，，，， 其中是分式的有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了分式的定义，一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．根据分式的定义判断即可． 【详解】解：分式有：，，共2个， 故答案为：2． 3．在式子：，，，，中，分式的个数是 ． 【答案】3 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有未知数，如果含有未知数则是分式，如果不含有未知数则不是分式． 【详解】解：，，，，中， 分式有，，，共3个． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了分式的定义，正确把握分式的定义是解题关键． 类型二、分式有、无意义 【解惑】若分式有意义，则m满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件为分母不为0．根据分式有意义的条件可得，即可求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得， 故选A． 【融会贯通】 1．分式无意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，解题的关键是掌握分式无意义的条件：分母为0．根据分式有意义的条件，即可解答． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得：， 故选：B． 2．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件求出的取值范围即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴ ∴ 故答案为：． 3．若分式无意义，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式无意义的条件，根据分式的分母等于0时，分式无意义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，解得：； 故答案为：． 类型三、分式的值为零 【解惑】若分式的值为零，则x等于（    ） A． B．2 C．3 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查分式值为0的条件，根据分子为0，分母不为0得出即可 【详解】解：∵分式的值为零， ∴ 解得， 故选：A 【融会贯通】 1．若分式的值为0，则a的值为（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．根据分式的值为零的条件解答即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， ∴． 故选：D． 2．当的值为 时，分式的值为零． 【答案】 【分析】本题主要考查的是分式值为零的条件，特别注意分母不为0的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式求解即可． 【详解】解：由题意，得且， 解得且， ∴， 即当x的值为时，分式的值为零， 故答案为： 3．当 时，分式的值为零． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零，根据分子的值等于且分母的值不等于解答即可求解，掌握分式的值为零的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得， 故答案为：． 类型四、分式的变形与最简分式 【解惑】下列式子从左到右变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的性质，根据分式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项不成立，不符合题意； B、，原选项不成立，不符合题意； C、，原选项成立，符合题意； D、，原选项不成立，不符合题意； 故选C． 【融会贯通】 1．下列各式中，属于最简分式的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简分式的识别，解题的关键是掌握最简分式的定义．根据最简分式的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、是整式，不是分式，故选项A不符合题意； B、不能继续化简了，是最简分式，故选项B符合题意； C、，故选项C不符合题意； D、，故选项D不符合题意； 故选：B． 2．分式化成最简分式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查最简分式，根据分式的基本性质进行约分即可. 【详解】解：， 故答案为：． 3．若成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的分子和分母同时乘（或除以）一个不等零的整式，分式的值不变，即可得出，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意得：当时，即时， ， 故答案为：． 类型五、科学记数法 【解惑】随着经济的发展，工作压力不断增大，咖啡也越来越受年轻人的喜爱，由于咖啡中的物质容易影响神经系统的正常发育，给青少年的健康造成不必要的伤害．故专家建议青少年每天的摄入量不得超过，将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值小于1的数，解题的关键是：掌握科学记数法的一般形式，其中，为负整数．确定即可． 【详解】解：， 故选：B 【融会贯通】 1．禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为，该直径用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：B． 2．用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 3．世界上最小的结果植物是澳大利亚的出水浮萍，其果实质量只有克，将用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 类型六、零指数幂 【解惑】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的乘方、同底数幂的乘法、零次幂的运算及完全平方公式，熟知相关运算法则是正确解决本题的关键． 运用积的乘方、同底数幂的乘法、零次幂的运算及完全平方公式的运算法则逐选项判断即可． 【详解】解：A．，此选项不正确，不符合题意； B． ，此选项不正确，不符合题意； C．，此选项正确，符合题意； D．，此选项不正确，不符合题意； 故答案为：C. 【融会贯通】 1．是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查零指数幂运算，熟记是解决问题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及零指数幂、乘方、负整数指数幂、同底数幂除法，掌握相关运算法则是解题关键．先计算零指数幂、乘方、负整数指数幂、同底数幂除法，再计算加减法即可． 【详解】解： ， 故答案为：1． 3．计算：． 【答案】 【分析】根据计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了零指数幂，绝对值，立方根，负整数指数幂，熟练掌握公式和立方根计算是解题的关键． 类型七、负整数指数幂 【解惑】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加法，有理数的乘方运算，负整数指数幂的计算，按照各自的运算法则一一计算并判断即可． 【详解】解：．，计算正确，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； 故选：A． 【融会贯通】 1．当，是正整数时，可以写成（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了负整数指数幂，根据负整数指数幂的定义可得（，是正整数），即可求解． 【详解】解：当，是正整数时，可以写成， 故选：A． 2．计算：（1） ；（2） ． 【答案】 1 【分析】本题考查负整数指数幂和零指数幂，根据负整数指数幂和零指数幂的运算法则计算即可，也是解题关键． 【详解】解：（1）． 故答案为：； （2）． 故答案为：1． 3．计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减． 【详解】解： ． 类型八、分式乘除混合运算 【解惑】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算，分式的乘除混合运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）先计算乘方，再约分即可． （2）先将除法变成乘法，约分即可． （3）先将分子分母因式分解，最后约分即可． （4）先将除法变成乘法，再将分子分母因式分解，最后约分即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ． （3）解：， ， ． （4）解：， ， ． 【融会贯通】 1．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的除法计算，分式的乘除法计算： （1）先把两个分式的分子和分母都分解因式，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案； （2）先把第一个分式的分子分解因式，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘法运算和分式的除法运算，熟记分式的运算法则是解题的关键． （1）根据分式的乘除法则，先将除法转化为乘法，再约分化简即可； （2）先将分子分母因式分解，再约分化简即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再计算分式乘法即可； （）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再计算分式乘法即可； 此题了考查分式的乘除运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型九、分式加减混合运算 【解惑】化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减混合运算，解题的关键是掌握分式的加减混合运算法则．根据分式的加减混合运算法则计算即可． 【详解】解： 【融会贯通】 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了分式的加减混合运算，分式的加减乘除混合运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用分式的加减混合运算法则进行计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式化简，再根据分式的混合运算进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了分式的加减混合运算，熟练掌握运算法则及运算顺序是解题的关键． （1）先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （2）先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （3）括号内先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （4）括号内先通分，分子分母分解因式，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）先对各个分式分子分母因式分解，再通分，利用分式加减运算法则运算后约分即可得到答案； （2）先对各个分式分子分母因式分解，根据分式混合运算顺序，先计算乘除，再利用分式加减运算法则运算后约分即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查分式混合运算，涉及通分、约分、因式分解等知识．掌握分式混合运算法则及运算顺序，熟记因式分解的方法，准确找到最简公分母通分是解决分式混合运算的关键． 类型十、解分式方程 【解惑】解分式方程： 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先化分式方程为整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可． 【详解】解：去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解是． 【融会贯通】 1．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，方程两边同乘以得整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边都乘以得：， 解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 2．解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，注意：解分式方程一定要检验．先去分母，把分式方程化成整式方程，再解整式方程，最后检验即可． 【详解】解：原方程变形为， 去分母得， 整理得， 解得， 检验：时，， ∴为原分式方程的解． 3．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的步骤是解题的关键． （1）按照去分母，移项，合并同类项的步骤解方程，然后检验即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可． 【详解】（1）解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 检验，当时，， ∴原方程的解为； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴原方程的解为． 【一览众山小】 1．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“七贯二百钱，倩人去买几株椽，每株脚钱四文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人去代买一批椽，这批椽的价钱为文，如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株橡？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列分式方程，设这批椽的数量为株，根据“这批椽的价钱为文”、“每株椽的运费为文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出分式方程，即可求解． 【详解】解：设这批椽的数量为株，根据题意得，， 故选A. 2．计算的结果正确的是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同分母分式的加减运算，根据分式的运算法则进行求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 3．关于x的方程有增根，则m的值是（   ） A．0 B．5 C．3 D．3或5 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程得出，再根据分式方程有增根得出，求解即可． 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵关于x的方程有增根， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．若分式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不为零是解题关键． 根据分式有意义的条件进行求解即可得到答案． 【详解】解：若分式有意义， 则，即； 故答案为： 5．若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．直接利用分式的值为零分子为零分母不为零进而得出答案． 【详解】解：分式的值为0， 且， 解得：． 故答案为：． 6．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的加法，根据分式的加法运算法则求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 7．解方程：． 【答案】方程无解 【分析】本题考查解分式方程，将分式方程化为整式方程是解题的关键，注意验根．方程两边同乘，变成整式方程，解整式方程，再检验即可． 【详解】解：方程两边乘，得， ， 解得， 检验：当时，， 因此不是原分式方程的解． 所以，原分式方程无解． 8．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 首先去分母，两边都乘以，将分式方程化为整式方程求解，然后检验即可． 【详解】解：， 去分母，两边都乘以，得： ， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 9．以下是小明同学解分式方程． 解：……第一步 解得……第二步 检验：当时，……第三步 所以，原分式方程的解为……第四步 (1)以上解题过程中，第一步变形的依据是______； A．不等式的基本性质  B．等式的基本性质  C．分式的基本性质 (2)老师批改后说答案错了，请问是从第_____步开始出现错误，请写出该方程的正确求解过程． 【答案】(1)B (2)一，，正确求解过程见解析 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握分式的性质，解分式方程的方法是解题的关键． （1）根据等式的性质判定即可； （2）根据材料提示的解分式方程的方法判定，再根据解分式方程的方法求解即可． 【详解】（1）解：第一步变形的依据是等式的基本性质， 故选：B； （2）解：根据去分母的方法可得，从第一步开始出错，正确的解法如下， ， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为． 10．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则． 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式：，这样的分式就是真分式，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；． 解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是______分式（填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）将假分式化为带分式； 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数x的值，使得分式的值为整数． 【答案】（1）真；（2）；（3）或或0或2． 【分析】本题主要考查了分式的化简运算，正确理解题意中的新定义、掌握分式的化简方法是解题的关键． （1）根据“真分式”和“假分式”定义判断即可； （2）将分子写成，然后进行变形即可解答； （3）先将分式化为带分式，根据为整数，分式的值为整数即可得到x的值． 【详解】解：（1）∵的次数为0，x的次数为1， ∴是真分式． 故答案为：真； （2）； （3） ， ∵与x均为整数， ∴或， ∴或或0或2． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16章 分式思维导图 【类型覆盖】 类型一、分式的认识 【解惑】下列各式中是分式的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列各式中，，，，是分式的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．下列各式：，，，， 其中是分式的有 个． 3．在式子：，，，，中，分式的个数是 ． 类型二、分式有、无意义 【解惑】若分式有意义，则m满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．分式无意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 3．若分式无意义，则的值为 ． 类型三、分式的值为零 【解惑】若分式的值为零，则x等于（    ） A． B．2 C．3 D．0 【融会贯通】 1．若分式的值为0，则a的值为（    ） A．0 B．2 C． D． 2．当的值为 时，分式的值为零． 3．当 时，分式的值为零． 类型四、分式的变形与最简分式 【解惑】下列式子从左到右变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列各式中，属于最简分式的是（） A． B． C． D． 2．分式化成最简分式为 ． 3．若成立，则的取值范围是 ． 类型五、科学记数法 【解惑】随着经济的发展，工作压力不断增大，咖啡也越来越受年轻人的喜爱，由于咖啡中的物质容易影响神经系统的正常发育，给青少年的健康造成不必要的伤害．故专家建议青少年每天的摄入量不得超过，将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为，该直径用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 2．用科学记数法表示为 ． 3．世界上最小的结果植物是澳大利亚的出水浮萍，其果实质量只有克，将用科学记数法表示为 ． 类型六、零指数幂 【解惑】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 2．计算： ． 3．计算：． 类型七、负整数指数幂 【解惑】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．当，是正整数时，可以写成（   ） A． B． C． D． 2．计算：（1） ；（2） ． 3．计算： 类型八、分式乘除混合运算 【解惑】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【融会贯通】 1．计算 (1) (2) 2．计算： (1) (2) 3．计算： (1)； (2)． 类型九、分式加减混合运算 【解惑】化简： 【融会贯通】 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．计算： (1) (2) 类型十、解分式方程 【解惑】解分式方程： 【融会贯通】 1．解方程：． 2．解方程： 3．解分式方程： (1)； (2)． 【一览众山小】 1．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“七贯二百钱，倩人去买几株椽，每株脚钱四文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人去代买一批椽，这批椽的价钱为文，如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株橡？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果正确的是（   ） A．2 B． C． D． 3．关于x的方程有增根，则m的值是（   ） A．0 B．5 C．3 D．3或5 4．若分式有意义，则的取值范围是 ． 5．若分式的值为0，则x的值为 ． 6．计算： ． 7．解方程：． 8．解方程：． 9．以下是小明同学解分式方程． 解：……第一步 解得……第二步 检验：当时，……第三步 所以，原分式方程的解为……第四步 (1)以上解题过程中，第一步变形的依据是______； A．不等式的基本性质  B．等式的基本性质  C．分式的基本性质 (2)老师批改后说答案错了，请问是从第_____步开始出现错误，请写出该方程的正确求解过程． 10．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则． 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式：，这样的分式就是真分式，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；． 解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是______分式（填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）将假分式化为带分式； 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数x的值，使得分式的值为整数． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$