专题01 分式-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

专题01 分式思维导图 核心考点聚焦 1. 分式及其基本性质 2. 分式的运算 3. 可化为一元一次方程的分式方程 4. 零指数幂与负整数指数幂 一、分式的定义及基本性质 1. 分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式。其中，分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用。分母不能为零。 2. 分式有意义、无意义的条件： （1） 分式有意义的条件：分母不等于0。 （2） 分式无意义的条件：分母等于0。 （3） 当分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。 3. 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 二、分式的约分和通分 1. 约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值。在约分时要注意，约分一定要把公因式约完。 2. 通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式。通分的关键是确定几个分式的最简公分母。 三、分式的运算 1. 分式的乘除法： （1） 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 （2） 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。 2. 分式的加减法： （1） 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。 （2） 异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，再加减。 3. 分式的乘方：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把分子、分母分别乘方，然后再相除。 4. 分式的混合运算：先乘方，再乘除，最后算加减。遇到括号时，要先算括号里面的。 四、可化为一元一次方程的分式方程 1. 分式方程的定义：方程中含有分式，并且分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2. 解分式方程的基本思想：化分式方程为整式方程。方法是方程两边都乘以各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程求解。 3. 分式方程的增根：把分式方程化为整式方程后，解出的整式方程的根有时只是这个整式的方程的根而不是原分式方程的根，这种根就是增根。因此，解分式方程必须验根。 五、零指数幂与负整数指数幂 1. 零指数幂：任何不等于零的实数的零次幂都等于1。零的零次幂无意义。 2. 负整数指数幂：任何不等于零的数的负n（n为正整数）次幂，都等于这个数的n次幂的倒数。 难点强化一、分式方程的解为正(负)数 1．已知关于x的分式方程的解为非负数，则所有正整数m的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围为 ． 3．若关于的分式方程的解为正实数，求实数的取值范围． 难点强化二、分式方程的解无解或有增根 1．若分式方程无解，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．1或2 2．已知关于的分式方程． （1）若该方程有增根，则增根是 ； （2）若该方程无解，则的值是 ． 3．若关于的方程无解，求的值． 难点强化三、分式方程的解为整数解 1．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（   ） A．9 B．6 C．2 D． 2．若关于的不等式组有解且最多有4个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的和为 ． 3．关于的方程有整数解，求此时整数的值． 难点强化四、分式(方程)中的规律 1．按一定规律排列的代数式：，，，，……，第9个代数式是（    ） A． B． C． D． 2．按一定规律排列的一列分式依次为：，，，，……（），按此规律排列下去，第n个分式是 ．（n为正整数） 3．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 难点强化五、分式(方程)中的新定义 1．定义：若分式A和分式B满足（n为正整数），则称A是B的“n阶差分式”．例如：，我们称是的“3阶差分式”．解答下列问题： (1)分式是分式的“________阶差分式”． (2)分式A是分式的“2阶差分式”．若x取正整数，且A的值为正整数，求A的值． 2．定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式B：________分式A：的“可存异分式”（填“是”或“不是”；）． (2)分式的“可存异分式”是______； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”．若整数使得分式A的值是正整数，请写出分式A的值； 3．我们定义：若两个分式A与B的和为一个分式C，且分式C的分子为常数，分母为关于x的一次整式，则称A与B是“合分式”，这个常数称为A与B关于C的“合值”.例如：分式，，，则A与B是“合分式”，A与B关于C的“合值”为 解决下列问题： (1)已知分式，，判断E与F是不是“合分式”.若不是，请说明理由；若是，请证明，并求出E与F关于C的“合值”； (2)已知分式其中a是常数，且，，M与N是“合分式”，且M与N关于C的“合值”为1，求常数a的值. 难点强化六、倒数法 1．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：，即 ，． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令则，，， 根据材料回答问题： (1)已知，则______． (2)已知，求的值． (3)解关于，的方程组． 2．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式， 从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解：， ，即， ． 根据材料回答问题： (1)已知，求的值； (2)解分式方程组； (3)已知、、为实数，，，，求分式的值． 3．阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务． 在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来化简式子．从而达到快速解答问题的目的． 比如在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解：∵，∴，∴，∴． 任务： (1)若，则代数式的值为______． (2)已知． ①求的值． ②求的值． 难点强化七、分式方程的解决应用 1．某中学为落实教育部办公厅发布的《关于进一步加强中小学生体质管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知一个篮球的价格比一个足球的价格多30元，花1800元购买的篮球个数和花1350 元购买的足球个数相同． (1)一个篮球和一个足球的价格分别是多少元？ (2)学校计划采购篮球、足球共30个，且总费用不超过3200元，那么需采购篮球最多多少个？ 2．某公司需向甲地紧急运送的货物，决定使用、两种型号的无人机运送．已知每台型无人机的单次最高载货量比每台型无人机的单次最高载货量多；在满载情况下，某次用相同数量的无人机一次性运送货物，型无人机共载货，型无人机共载货． (1)每台型无人机和型无人机的单次最高载货量分别是多少？ (2)该公司决定使用台型无人机（）和台型无人机载货，在每台无人机都满载的情况下，刚好一次性完成的货物运送： ①求满足条件的、值； ②若型无人机单次运费为型无人机单次运费的倍．为了节省成本，该公司应使用两种型号的无人机各多少台？ 3．下面是小轩学习“分式方程的应用”后所作的学习笔记，请认真阅读并解答相应的问题题目：某校准备购买甲、乙两种图书，甲种图书的单价比乙种图书的单价多20元，用2000元购买甲种 图书和用1200元购买乙种图书的数量相同，问甲、乙两种图书的单价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设……等量关系:甲图书数量乙图书数量 解法二 设…等，量关系:甲图书单价乙图书单价 (1)解法一所列方程中的 表示________，解法二所列方程中的表示________（填序号） ①甲种图书的单价；2乙种图书的单价；③甲种图书购买的数量． (2)请选择一种解法，求出甲、乙两种图书的单价． (3)若该校用不超过2500元钱购买甲、乙两种图书共60本，求甲种图书最多能购买的 数量． 难点强化八、真、假分式 1．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：．类比分数，我们可以将假分式写成一个整式与一个真分式的和的形式．例如：． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）； ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：______； (2)当时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，请写出这个数，并说明理由； (3)将一个两位数的十位数字的2倍放到这个两位数的最右边，得到一个三位数，若这个三位数的平方恰好是这个两位数的整数倍，求这个两位数． 2．阅读理解题：先阅读下列材料，再解答后面的问题． 我们知道分式与分数有许多相似之处，因此可以类比分数的概念、基本性质来研究分式的概念、基本性质．我们已经类比分数的基本性质研究了分式的基本性质，下面我们类比分数的有关概念研究分式的有关概念：我们把分子比分母小的分数称为“真分数”；把分子等于或大于分母的分数称为“假分数”；我们可以类比“真分数”和“假分数”的概念定义“真分式”和“假分式”的概念：把分子的次数小于分母次数的分式称为“真分式”，如、…都是真分式；把分子的次数等于或大于分母次数的分式称为“假分式”，如、…都是假分式．我们知道“任何一个假分数都可以化为一个整数与一个真分数之和的形式”，同样“任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式之和的形式”． 如：可以把假分式化为真分式．其方法如下： ①； ②． (1)下列分式中，属于真分式的是______________； ①   ②   ③   ④ (2)将假分式化为真分式； 3．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分 母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如： 再如： 解决下列问题 (1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)把假分式化为带分式的形式； (3)如果分式的值为整数，求整数x的值． 难点强化九、分式中的裂项 1．观察下列各式： 第一式：； 第二式：； 第三式：； …… (1)请你根据观察得到的规律写出这列式子的第n式：_______； (2)求和：； (3)已知与互为相反数，求的值． 2．观察下列各式： ，，，，， (1)由此可推导出____________； (2)请猜想能表示（1）的特点的一般规律，用含字母m的等式表示出来，并证明（m表示整数）； (3)请直接用（2）中的规律计算：的结果． 3．观察下面的变化规律，解答下列问题： ． (1)若为正整数，猜想_______，并且验证你的猜想； (2)解分式方程：； (3)再探索上述规律并计算：． 难点强化十、分式证明 1．已知，且．证明：． 2．数学上常用“作差法”来比较两个式子的大小，即：若，则；若，则；若，则． 【生活观察】人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度，将克糖放入水中，得到克糖水，此时糖水的浓度为． 【数学思考】 （1）再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为_______； （2）请证明（1）中的数学关系式； 【知识迁移】 （3）在中，三条边的长度分别为a，b，c，证明： 3．已知． (1)若，求证：； (2)若，，判断与的大小并证明． 真题感知 1．（2024·海南·中考真题）分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川巴中·中考真题）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川雅安·中考真题）已知．则（    ） A． B．1 C．2 D．3 4．（2024·四川雅安·中考真题）计算的结果是（    ） A． B．0 C．1 D．4 5．（2024·四川广元·中考真题）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程的解为正数，则的取值范围（    ） A． B．且 C． D．且 7．（2024·四川广元·中考真题）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为 秒． 8．（2024·四川眉山·中考真题）已知（且），，则的值为 ． 9．（2024·四川南充·中考真题）计算的结果为 ． 10．（2024·四川达州·中考真题）若关于的方程无解，则的值为 ． 11．（2024·四川资阳·中考真题）先化简，再求值：，其中． 12．（2024·四川遂宁·中考真题）先化简：，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 分式思维导图 核心考点聚焦 1. 分式及其基本性质 2. 分式的运算 3. 可化为一元一次方程的分式方程 4. 零指数幂与负整数指数幂 一、分式的定义及基本性质 1. 分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式。其中，分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用。分母不能为零。 2. 分式有意义、无意义的条件： （1） 分式有意义的条件：分母不等于0。 （2） 分式无意义的条件：分母等于0。 （3） 当分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。 3. 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 二、分式的约分和通分 1. 约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值。在约分时要注意，约分一定要把公因式约完。 2. 通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式。通分的关键是确定几个分式的最简公分母。 三、分式的运算 1. 分式的乘除法： （1） 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 （2） 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。 2. 分式的加减法： （1） 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。 （2） 异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，再加减。 3. 分式的乘方：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把分子、分母分别乘方，然后再相除。 4. 分式的混合运算：先乘方，再乘除，最后算加减。遇到括号时，要先算括号里面的。 四、可化为一元一次方程的分式方程 1. 分式方程的定义：方程中含有分式，并且分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2. 解分式方程的基本思想：化分式方程为整式方程。方法是方程两边都乘以各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程求解。 3. 分式方程的增根：把分式方程化为整式方程后，解出的整式方程的根有时只是这个整式的方程的根而不是原分式方程的根，这种根就是增根。因此，解分式方程必须验根。 五、零指数幂与负整数指数幂 1. 零指数幂：任何不等于零的实数的零次幂都等于1。零的零次幂无意义。 2. 负整数指数幂：任何不等于零的数的负n（n为正整数）次幂，都等于这个数的n次幂的倒数。 难点强化一、分式方程的解为正(负)数 1．已知关于x的分式方程的解为非负数，则所有正整数m的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解的问题求参数．考虑到分式方程有可能产生增根的情形是解题的关键． 利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，由题意得到不等式；分式方程有可能产生使分母为0的增根，所以原方程的解不等于1，由以上两个条件即可得出答案． 【详解】解：去分母，得： ， 移项，合并同类项，系数化1得： ． ∵解为非负数， ∴， ∴． ∵原分式方程有可能产生增根， ∴， ∴， ∴正整数的值为5、4、2、1，故有4个， 故选：A． 2．若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数的取值范围，先解分式方程得出，结合题意可得且，求解即可． 【详解】解：解分式方程可得， ∵关于x的分式方程的解为负数， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 3．若关于的分式方程的解为正实数，求实数的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程，一元一次不等式；利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：， 方程两边同乘得，， 解得，， 由题意得，， 解得，， ， ， 且． 难点强化二、分式方程的解无解或有增根 1．若分式方程无解，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．1或2 【答案】C 【分析】本题主要考查分式方程无解的情况，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 先将分式方程转化为整式方程，再分一元一次方程无解和分式方程有增根进行讨论即可． 【详解】解： 分式方程无解， ， ； ， 当时，，不成立； 当时，，则， ， 综上所述，若分式方程无解，则的值为或， 故答案为：C． 2．已知关于的分式方程． （1）若该方程有增根，则增根是 ； （2）若该方程无解，则的值是 ． 【答案】 2 或 【分析】本题主要考查分式方程的运算，理解增根，无解的含义是关键． （1）根据增根的含义“分母为零”代入计算即可； （2）①根据方程有增根时，原方程无解，代入计算即可；②根据时，原方程无解，代入计算即可． 【详解】解：（1）若该方程有增根，则，即． （2）， 移项得，， ∴， 去分母、整理得， 当方程有增根时，原方程无解，即， 解得； 当时，原方程无解，即； 综合上述得，的值为或． 故答案为：①2；②或． 3．若关于的方程无解，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程的解，掌握“分式方程的解即为能使分式方程左右两边相等的未知数的值，且分式方程分母不为0”是解题的关键； 解分式方程得出，再分两种情况：当整式方程无解时，和增根两种情况求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 当整式方程无解时，，即； 当产生增根时，即时，，解得：； 综上，当方程无解时，或． 难点强化三、分式方程的解为整数解 1．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（   ） A．9 B．6 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解，先解一元一次不等式组，根据不等式组的解集为，求出a的范围，再解分式方程，根据分式方程有非负整数解，确定a的值即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵原不等式组的解集为：， ∴， ， 解得：， ∵分式方程有非负整数解， ∴，y为整数且， ∴，且， ∴符合条件的所有整数a的值为：，7， ∴符合条件的所有整数a的和为：6， 故选：B． 2．若关于的不等式组有解且最多有4个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的和为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，不等式组整理后，表示出解集，由不等式组有解且最多有4个整数解确定出的范围，再由分式方程解为整数，确定出满足题意整数的值，求出之和即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∵关于的不等式组有解， ∴， 不等式组有解且最多有4个整数解， ， 解得：， ∵， 分式方程去分母得：， 解得：，且， 分式方程的解为整数， 或或1或， 则满足题意整数之和为． 故答案为： 3．关于的方程有整数解，求此时整数的值． 【答案】或或 【分析】此题考查了分式方程的解法、整数解问题等知识，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．解方程得到，根据分式方程有整数解得到或且，进一步求解即可得到整数的值． 【详解】解：， 去分母得：（）， 解：， ∵有整数解， ∴或且， 解得：或或或且， ∴此时整数的值为或或． 难点强化四、分式(方程)中的规律 1．按一定规律排列的代数式：，，，，……，第9个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由前面几个代数式归纳可得第个代数式为：，从而可得答案. 【详解】解：∵，，，，…… ∴第个代数式为：， 当是，第9个代数式为：， 故选B 【点睛】本题考查的是分式的规律题，掌握探究的方法并利用归纳得到的规律解题是关键. 2．按一定规律排列的一列分式依次为：，，，，……（），按此规律排列下去，第n个分式是 ．（n为正整数） 【答案】 【分析】本题考查分式的规律性问题，根据前四个分式总结出规律是解题关键．根据题意写出前四个分式的变形分别为，，，，即得出规律，从而得出第n个分式． 【详解】解：第1个数为， 第2个数为， 第3个数为， 第4个数为， ……， ∴第n个数为． 故答案为：． 3．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查分式的混合运算和分式的规律探究问题，熟练的根据题意找出规律是解题的关键， （1）根据前4个等式找出规律即可得到第5个等式； （2）根据（1）中的等式猜想第个等式，等式两边分别进行通分化简，即可得证． 【详解】（1）解：由前4个等式可得规律：左边第一个分数：分子为，分母为，即； 左边第二个分数：分母为，即； 右边第一个分数：分子为，分母为，即； 右边第二个分数：分母为，即； ∴第5个等式为：； （2）解：第个等式为，证明如下： 等式左边：， 等式右边：， ∴左边右边， ∴原等式成立． 难点强化五、分式(方程)中的新定义 1．定义：若分式A和分式B满足（n为正整数），则称A是B的“n阶差分式”．例如：，我们称是的“3阶差分式”．解答下列问题： (1)分式是分式的“________阶差分式”． (2)分式A是分式的“2阶差分式”．若x取正整数，且A的值为正整数，求A的值． 【答案】(1)1 (2)3或6 【分析】本题主要考查了分式的减法计算，正确理解题意是解题的关键； （1）根据题意计算出的结果即可得到答案； （2）根据定义可得，再由x取正整数，且A的值为正整数得到是正整数，据此求解即可． 【详解】（1）解：解：， ∴分式是分式的“1阶差分式”； （2）解：∵分式A是分式的“2阶差分式”， ∴， ∴， ∵A的值为正整数， ∴为正整数， 又∵x取正整数， ∴或， ∴或， 当时，， 当时，， 综上所述，A的值为3或6． 2．定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式B：________分式A：的“可存异分式”（填“是”或“不是”；）． (2)分式的“可存异分式”是______； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”．若整数使得分式A的值是正整数，请写出分式A的值； 【答案】(1)不是 (2) (3)1，3，5； 【分析】本题考查了新定义，分式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别化简，，则，即可作答． （2）设的“可存异分式”为，则，再运算，即可作答． （3）因为分式是分式A的“可存异分式”，得，则，因为整数使得分式A的值是正整数，且，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， ， ， ∴， ∴分式不是分式的“可存异分式”； 故答案为：不是 （2）解：设的“可存异分式”为，则， ∴， ∴ ． 故答案为：． （3）解：∵分式是分式A的“可存异分式”， ∴， ∴， ∴ ； ∵整数使得分式A的值是正整数，， ∴时，， 时，， 时，， ∴分式A的值是1，3，5； 3．我们定义：若两个分式A与B的和为一个分式C，且分式C的分子为常数，分母为关于x的一次整式，则称A与B是“合分式”，这个常数称为A与B关于C的“合值”.例如：分式，，，则A与B是“合分式”，A与B关于C的“合值”为 解决下列问题： (1)已知分式，，判断E与F是不是“合分式”.若不是，请说明理由；若是，请证明，并求出E与F关于C的“合值”； (2)已知分式其中a是常数，且，，M与N是“合分式”，且M与N关于C的“合值”为1，求常数a的值. 【答案】(1)与F是“合分式”，理由见解析，3 (2) 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 将两式相加并计算即可； 将两式相加并计算，根据M与N关于C的“合值”为1求得a的值即可． 【详解】（1）解：与F是“合分式”，理由如下： ， 则E与F关于C的“合值”为3； （2）解： ， 与N是“合分式”，且M与N关于C的“合值”为1， 难点强化六、倒数法 1．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：，即 ，． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令则，，， 根据材料回答问题： (1)已知，则______． (2)已知，求的值． (3)解关于，的方程组． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了用倒数法解决分式问题，解决本题的关键是读懂题目中的解题思路，仿照材料中的思路进行解答． 仿照材料中的思路把取倒数，可得：，化简可得：； 设知，可得：，，，然后代入代数式，可得：原式，化简即可求出结果； 把方程组中的两个方程分别取倒数，可得：，，解方程组分别求出和，即可求出方程组的解． 【详解】（1）解：， ， ， 移项得：， 故答案为：； （2）解：设知， 则，，， ； （3）解：， 由可得：， 整理得：， 由可得：， 整理得：， 可得：， 得：， ， 把代入得：， 解得：， ， 方程组的解为． 2．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式， 从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解：， ，即， ． 根据材料回答问题： (1)已知，求的值； (2)解分式方程组； (3)已知、、为实数，，，，求分式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的求值，解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意求出的值即可得到答案； （2）先把原方程组化为，令，则，解方程组即可得到答案； （3）先由得到，同理可得，据此可得，则可得到的值，进而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ； （2）解：∵， ∴， ∴， 令，则， 解得， ∴， 经检验，是原方程组的解； （3）解：∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务． 在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来化简式子．从而达到快速解答问题的目的． 比如在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解：∵，∴，∴，∴． 任务： (1)若，则代数式的值为______． (2)已知． ①求的值． ②求的值． 【答案】(1) (2)①5；② 【分析】本题考查分式的变形化简求值，解题的关键是运用倒数法将分式变形，再利用分式基本性质进行化简计算。 （1）通过将已知分式取倒数，根据分式性质进行变形，进而求出代数式的值； （2）通过将已知分式取倒数，根据分式性质进行变形，进而求出代数式的值。 【详解】（1） 故答案为：; （2）解：① 解：②∵ 由(1)知, 难点强化七、分式方程的解决应用 1．某中学为落实教育部办公厅发布的《关于进一步加强中小学生体质管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知一个篮球的价格比一个足球的价格多30元，花1800元购买的篮球个数和花1350 元购买的足球个数相同． (1)一个篮球和一个足球的价格分别是多少元？ (2)学校计划采购篮球、足球共30个，且总费用不超过3200元，那么需采购篮球最多多少个？ 【答案】(1)篮球120元，足球90元； (2)16个． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式等应用，理解题意，理清数量关系是解题关键． （1）设篮球的单价为元，足球的单价为元，根据题意列出分式方程并求解即可； （2）设采购篮球个，则采购足球个，根据题意列出一元一次不等式并求解即可获得答案． 【详解】（1）解：设篮球的单价为元，足球的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，符合题意 ∴足球的单价为元 答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元； （2）设采购篮球个，则采购足球个， 根据题意，得，解得， ∵为整数， ∴最大取16． 答：最多采购篮球16个． 2．某公司需向甲地紧急运送的货物，决定使用、两种型号的无人机运送．已知每台型无人机的单次最高载货量比每台型无人机的单次最高载货量多；在满载情况下，某次用相同数量的无人机一次性运送货物，型无人机共载货，型无人机共载货． (1)每台型无人机和型无人机的单次最高载货量分别是多少？ (2)该公司决定使用台型无人机（）和台型无人机载货，在每台无人机都满载的情况下，刚好一次性完成的货物运送： ①求满足条件的、值； ②若型无人机单次运费为型无人机单次运费的倍．为了节省成本，该公司应使用两种型号的无人机各多少台？ 【答案】(1)每台型号无人机单次最高载货量为，每台型号无人机单次最高载货量为； (2)①或；②该公司应使用4台A型号无人机，5台B型号无人机． 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程的应用． （1）设每台A型号无人机的单次最高载货量为，则B型无人机的单次最高载货量为，根据“用相同数量的无人机一次性运送货物，A型无人机共载货，B型无人机共载货”列出分式方程求解即可； （2）①根据题意得，，再根据m的取值范围求解即可； ②根据①的结论，分别求出两种方案的总费用进行比较即可． 【详解】（1）解：设每台A型号无人机的单次最高载货量为，则每台B型号无人机的单次最高载货量为， 根据题意得， 解得， 经检验，是所列方程的根，且符合题意， ∴， 答：每台A型号无人机单次最高载货量为，每台B型号无人机单次最高载货量为； （2）解：①∵， ∴， ∵，m、n为整数， ∴或； ②设B型无人机单次运费为元，则A型无人机单次运费为元， 当，时，（元）， 当，时，（元）， ∵， ∴该公司应使用4台A型号无人机，5台B型号无人机． 3．下面是小轩学习“分式方程的应用”后所作的学习笔记，请认真阅读并解答相应的问题题目：某校准备购买甲、乙两种图书，甲种图书的单价比乙种图书的单价多20元，用2000元购买甲种 图书和用1200元购买乙种图书的数量相同，问甲、乙两种图书的单价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设……等量关系:甲图书数量乙图书数量 解法二 设…等，量关系:甲图书单价乙图书单价 (1)解法一所列方程中的 表示________，解法二所列方程中的表示________（填序号） ①甲种图书的单价；2乙种图书的单价；③甲种图书购买的数量． (2)请选择一种解法，求出甲、乙两种图书的单价． (3)若该校用不超过2500元钱购买甲、乙两种图书共60本，求甲种图书最多能购买的 数量． 【答案】(1)①；③ (2)甲、乙两种图书的单价分别为50元、30元 (3)35本 【分析】本题考查的是分式方程的应用，分式方程的解法，一元一次不等式的应用． （1）根据等量关系中代数式的含义可得答案； （2）分别选择两个方程求解即可得到答案； （3）设甲种图书购买的数量为本，则乙种图书购买的数量为本，该校用不超过2500元钱的资金购进甲、乙两种图书，求解的范围，可得答案． 【详解】（1）解：由甲商品数量乙商品数量，可得：中的x表示甲种商品每件进价x元， 由甲商品进价乙商品进价可得：中的x表示甲种商品购进x件； 故答案为：①，③； （2）解：解法一：， 方程两边同乘，得， 解得， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲、乙两种图书的单价分别为50元、30元； 解法二：， 方程两边同乘，得， 解得， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲、乙两种图书的单价分别为50元、30元； （3）解：设甲种图书购买的数量为本，则乙种图书购买的数量为本， 根据题意得， 解得 答：甲种图书最多能购买35本． 难点强化八、真、假分式 1．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：．类比分数，我们可以将假分式写成一个整式与一个真分式的和的形式．例如：． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）； ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：______； (2)当时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，请写出这个数，并说明理由； (3)将一个两位数的十位数字的2倍放到这个两位数的最右边，得到一个三位数，若这个三位数的平方恰好是这个两位数的整数倍，求这个两位数． 【答案】(1)①真；② (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算，读懂题目信息，理解真分式，假分式的定义及分式混合运算法则正确计算是解题的关键． （1）①根据真分式的定义求解即可； ②根据分式的减法写成一个整式与一个真分式的和的形式． （2）根据当时，随着x的增大，分式的值无限趋近于，即可求解． （3）这个两位数为，是整数，，根据题意得出，为整数， 求得的式子，化为一个整式与一个真分式的和的形式，分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：①分式是真分式， 故答案为：真； ② 故答案为：． （2）解：∵ ∵当时，随着x的增大，分式的值无限趋近于， ∴当时，随着x的增大，的值无限趋近于 （3）解：设这个两位数为，是整数，，根据题意得， ，为整数， ∴ ∴是正数， ∵， ∴ 当时，，为两位数，不合题意， 当时，，则无解， 当时，，则 ∴时，，符合题意， 当时，，而，无解 综上所述，这个两位数为： 2．阅读理解题：先阅读下列材料，再解答后面的问题． 我们知道分式与分数有许多相似之处，因此可以类比分数的概念、基本性质来研究分式的概念、基本性质．我们已经类比分数的基本性质研究了分式的基本性质，下面我们类比分数的有关概念研究分式的有关概念：我们把分子比分母小的分数称为“真分数”；把分子等于或大于分母的分数称为“假分数”；我们可以类比“真分数”和“假分数”的概念定义“真分式”和“假分式”的概念：把分子的次数小于分母次数的分式称为“真分式”，如、…都是真分式；把分子的次数等于或大于分母次数的分式称为“假分式”，如、…都是假分式．我们知道“任何一个假分数都可以化为一个整数与一个真分数之和的形式”，同样“任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式之和的形式”． 如：可以把假分式化为真分式．其方法如下： ①； ②． (1)下列分式中，属于真分式的是______________； ①   ②   ③   ④ (2)将假分式化为真分式； 【答案】(1)③④ (2) 【分析】（1）根据真分式和假分式的定义判断即可得； （2）将分子化为，再进一步计算可得． 【详解】（1）①的分子的次数大于分母次数，不是真分式；    ②的分子的次数等于分母次数，不是真分式；    ③的分子的次数小于分母次数，是真分式；    ④的分子的次数小于分母次数，是真分式； 故答案为：③④； （2）． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及新定义的理解和运用． 3．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分 母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如： 再如： 解决下列问题 (1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)把假分式化为带分式的形式； (3)如果分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】(1)真 (2) (3)，，，． 【分析】本题考查了分式和新定义，解题的关键是正确理解新定义和分式的运算． （1）根据题中阅读材料中的真假分式定义即可判断； （2）根据题中阅读材料中的方法把假分式化为带分式即可； （3）把假分式化为带分式，然后根据的值为整数即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式； 故答案为：真． （2）解：∵， 故答案为：． （3）解：， ∵的值为整数，的值也是整数， 故的值为：，，，， ∴的值为：，，，． 故答案为：，，，． 难点强化九、分式中的裂项 1．观察下列各式： 第一式：； 第二式：； 第三式：； …… (1)请你根据观察得到的规律写出这列式子的第n式：_______； (2)求和：； (3)已知与互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是分式的化简求值、数字类规律探究； （1）直接根据给出的例子找出规律即可； （2）根据（1）中的规律直接计算即可； （3）先根据相反数的定义求出、的值，代入代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：第一式：， 第二式：， 第三式：， 第式：． 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：与互为相反数， ，即， ，， 原式 ． 2．观察下列各式： ，，，，， (1)由此可推导出____________； (2)请猜想能表示（1）的特点的一般规律，用含字母m的等式表示出来，并证明（m表示整数）； (3)请直接用（2）中的规律计算：的结果． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)0 【分析】本题考查了分式的加减，关键是观察已知条件中的分式的特点，总结规律是解题的关键． （1）根据例子可以得到42可以分解成两个相邻的整数6和7的乘积，即可写出； （2）分母是两个相邻的整数的积，因而是，分子是1，根据（1）即可写出最后的结果； （3）第一个和第二个分式符和（2）的特点，可以验证，代入即可得到结果． 【详解】（1） 故答案为：， （2）一般规律为： 证明：右边 左边， 左边右边， 猜想成立； （3）原式 ． 3．观察下面的变化规律，解答下列问题： ． (1)若为正整数，猜想_______，并且验证你的猜想； (2)解分式方程：； (3)再探索上述规律并计算：． 【答案】(1)，证明见解析； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，解分式方程； （1）猜想，再根据异分母分式相加减计算，即可求解； （2）根据（1）中的规律把原方程变形为，可化为，解出即可； （3）根据（1）中的规律把原式变形，可得到，即可求解． 【详解】（1）解： 验证：右边 左边， ∴猜想成立； （2）解： ， ∴， 去分母得：， 解得：． 经检验：是原方程的根， ∴原方程的根为； （3）解： ． 难点强化十、分式证明 1．已知，且．证明：． 【答案】证明见解析 【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练学握运算法则是解本题的关键． 等式左边去括号结合后，将已知等式变形后代入计算得到结果为 ，与右边相等，即可得证． 【详解】证明 ， ，， ， 从而得证． 2．数学上常用“作差法”来比较两个式子的大小，即：若，则；若，则；若，则． 【生活观察】人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度，将克糖放入水中，得到克糖水，此时糖水的浓度为． 【数学思考】 （1）再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为_______； （2）请证明（1）中的数学关系式； 【知识迁移】 （3）在中，三条边的长度分别为a，b，c，证明： 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查分式的运算及大小比较，理解不等式并能够利用糖水不等式以及三角形三边关系证明是解决本题的关键． （1）根据浓度公式代入以及变甜了判断所得分式大小即可； （2）利用作差法，并化简通过判断结果的正负即可； （3）利用三角形的三边关系得到，，，即，，，在通过本题糖水不等式变形求证即可． 【详解】解：（1）由题意得：加入克糖后糖水浓度为：， 由糖水变甜可知：， 故答案为：； （2）利用作差法比较大小： ． ∵，， ∴，，即， ∴，即； （3）在中，，，，且，，， ∴，，． 由糖水不等式得，，，， ∴， ∴． 3．已知． (1)若，求证：； (2)若，，判断与的大小并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了分式的加减计算，不等式的性质，证明是解题的关键． （1）利用作差法得到，再判断出的符号即可证明结论； （2）利用分式的加法计算法则得到，根据（1）可证明，据此可得结论． 【详解】（1）证明： ， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 真题感知 1．（2024·海南·中考真题）分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把分式方程去分母化为整式方程，再解方程，最后检验即可． 【详解】解： 去分得：， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解， 故选：A． 2．（2024·四川巴中·中考真题）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设慢车的速度为，则快车的速度是，再根据题意列出方程即可． 【详解】解：设慢车的速度为，则快车的速度为，根据题意可得： ． 故选：A． 3．（2024·四川雅安·中考真题）已知．则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是条件分式的求值，由条件可得，再整体代入求值即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故选C 4．（2024·四川雅安·中考真题）计算的结果是（    ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】C 【分析】本题考查零指数幂，掌握“任何不为零的零次幂等于1”是正确解答的关键． 根据零指数幂的运算性质进行计算即可． 【详解】解：原式． 故选：C． 5．（2024·四川广元·中考真题）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设B种绿植单价是x元，则A种绿植单价是元，根据用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株，列出方程即可． 【详解】解：设B种绿植单价是x元，则A种绿植单价是元，根据题意得： ， 故选：C． 6．（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程的解为正数，则的取值范围（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键． 【详解】解：方程两边同时乘以得，， 解得， ∵分式方程的解为正数， ∴， ∴， 又∵， 即， ∴， ∴的取值范围为且， 故选：． 7．（2024·四川广元·中考真题）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为 秒． 【答案】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，解题的关键是熟知．根据题意可知，43阿秒秒，再根据科学记数法的表示方法表示出来即可． 【详解】解：根据题意1阿秒是秒可知， 43阿秒秒， 故答案为：． 8．（2024·四川眉山·中考真题）已知（且），，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的混合运算，利用分式的运算法则计算得到每三个为一个循环，分别为，，，进一步即可求出． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ……， 由上可得，每三个为一个循环， ， ． 故答案为：． 9．（2024·四川南充·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了同分母分式减法运算，按照同分母减法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 10．（2024·四川达州·中考真题）若关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】或2 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，先解分式方程得到，再根据分式方程无解得到或，解关于k的方程即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 解得：， ∵关于的方程无解， ∴当或时，分式方程无解， 解得：或（经检验是原方程的解）， 即或，无解． 故答案为：或2． 11．（2024·四川资阳·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】；1 【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 12．（2024·四川遂宁·中考真题）先化简：，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】； 【分析】本题考查了分式化简求值；先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件，将字母的值代入求解． 【详解】解： ∵ ∴当时，原式 2 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $$