第5章 一元一次方程（优质类型）-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版2024新教材）

第5章 一元一次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元一次方程的整体代入 【解惑】已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 2．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 3．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 类型二、一元一次方程的整数解 【解惑】若关于的方程有整数解，则所有符合条件的整数的和为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若关于的方程的解是整数，则整数的取值个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．若关于 的方程的解为整数，则整数 ． 3．若关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值为 ． 类型三、一元一次方程的新定义运算 【解惑】对于有理数、定义运算“▣”：▣，已知▣，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【融会贯通】 1．定义一种新运算：，例如：，．若，则b的值是（    ） A．9 B．-9 C．9或-9 D．无法确定 2．定义一种新的运算“”，它的运算法则为：当a、b为有理数时，，比如：，则方程的解为 ． 3．定义运算如下：，如. 若，则x＝ . 类型四、一元一次方程的应用——电费与水费问题 【解惑】为鼓励居民节约用电，某地对居民用户用电收费标准作如下规定：每户每月用电不超过100度，那么每度按0.50元收费；如果超过100度不超过200度，那么超过的部分每度按0.65元收费；如果超过200度，那么超过的部分每度按0.75元收费． (1)若居民甲在10月份用电80度，则他这个月应缴纳电费______元；若居民乙在10月份用电180度，则他这个月应缴纳电费______元． (2)若某户居民丙在12月份缴纳电费310元，那么他这个月用电多少度？ 【融会贯通】 1．列方程解决问题： 为响应国家节水政策，北京居民生活用水实行阶梯价格制度，按年度用水量计算，将人（含）以下居民家庭全年用水量划分为三档，年阶梯水价收费标准如下： 阶梯 户年用水量（单位：立方米） 水价（单位：元/立方米） 第一阶梯 0—180（含） 5 第二阶梯 181—260（含） 7 第三阶梯 260以上 9 按照以上阶梯水价标准，回答下列问题： (1)若小明家年用水量为立方米，则该家庭全年缴费金额为______元； (2)若小华家年全年缴费金额为元，小华家年用水量是多少立方米？ 2．为了倡导节约用水，某小区计划采用如下的水费收取方式：家庭用水每月不超过，每立方米收费元；超过的部分每立方米收费上涨． (1)当家庭用水量不超过时，应交水费为_____元；当家庭用水量超过时，应交水费_____元（用含、的代数式表示）； (2)如果已知，该家庭上月交水费95元，求该家庭上月用水量． 3．列方程解应用题： 某市居民用水的收费标准是按阶梯计价的，若每月每户用水不超过，则每立方米按元收费；若每月每户用水超过，则超过部分每立方米按元收费． (1)小雅家12月用水，她家12月应交水费多少元？ (2)若每月用水量为，请用含x的代数式表示每月所付水费金额； (3)若小浩家12月份所交水费的平均价为每立方米元，则小浩家12月份用水多少立方米？ 类型五、一元一次方程的应用——方案问题 【解惑】（用一元一次方程解决问题）甲、乙两家超市新年期间推出优惠活动，推出如下表所示的购物优惠方案： 甲超市 乙超市 消费金额（元）     优惠活动 消费金额（元） 优惠活动 （包含100） 无优惠 （包含200） 无优惠 （包含350） 一律享受九折优惠 大于200 超过200元的部分享受八折优惠 大于350 一律享受八折优惠 (1)小王需要购买价格为220元的商品，去______家超市更划算； (2)小李带了234元去购物，为了买到原价最多的商品，应选择哪家超市并说明理由． 【融会贯通】 1．下表是中国移动两种“优惠套餐”的计费方式． 套餐A 套餐B 每月基本服务费 38元（包含通话时间100分钟，上网流量） 59元（包含通话时间300分钟，上网流量） 套餐外通话 0.15元/分 0.1元/分 不足一分钟按一分钟计算 套餐外流量 5元，不足时按计算 (1)若小丽的妈妈某月通话时间为320分钟，上网流量为，则她的妈妈按套餐A计费需付__________元，按套餐B计费需付__________元； (2)小丽某月上网流量不超过，通话时间不超过300分钟，当通话时间为__________分钟时，按套餐A和套餐B的费用相同； (3)若小丽每月通话时间不超过100分钟，上网流量为，那么小丽选择哪种套餐更优惠？ 2．用纸在甲复印店复印文件，复印页数不超过20页时，每页收费0.12元，复印页数超过20页时，超过部分每页收费降为0.09元．在乙复印店复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费都是0.1元． (1)若复印的页数为页，在甲复印店用纸复印，需交费__________元（用含的式子表示）；在乙复印店用纸复印，需交费__________元（用含的式子表示）； (2)当复印的页数为70页时，到哪个店复印便宜？试说明理由． (3)当用纸复印多少页时，两店的收费相同？ 3．某商场正在热销两种苹果，精品苹果每千克定价元，普通苹果每千克定价元，店庆期间商场决定开展促销活动，活动方案如下： 方案一 方案二 顾客购买千克精品苹果送千克普通苹果 顾客购买精品苹果和普通苹果都按定价的付款 现某公司为回馈员工，要到该商场购买精品苹果千克，普通苹果千克（，且只能选择一种方案购买）． (1)用含的代数式分别表示该公司选择方案一和方案二购买时所需的钱数；（结果化成最简形式） (2)若该公司选择方案一和方案二购买时的付款相同，求该公司购买了多少千克普通苹果？ 类型六、一元一次方程的应用——三角板旋转求t问题 【解惑】如图1，在直线上摆放一副直角三角板，两三角板顶点重合于点，，，将三角板绕点以每秒的速度顺时针方向转动，设转动时间为秒． (1)如图，若平分，则的最小值为 ；此时 度；（直接写答案） (2)当三角板转动如图的位置，此时同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由；（数量关系中不含） (3)若当三角板开始转动的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针转动，当旋转至射线上时，两三角板同时停止运动： 当为何值时，； 在转动过程中，请写出与的数量关系，并说明理由．（数量关系中不含） 【融会贯通】 1．如图1，O为直线上一点，过点O作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周． 　 (1)几秒后与重合？ (2)如图2，经过t秒后，，求此时t的值； (3)若三角板在转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间与重合？ (4)在（3）的条件下，当射线，射线，射线三条中的一条是另外两条组成的夹角的平分线时，请直接写出t的值． 2．如图1，点是直线上一点，三角板（其中的边与射线重合，将它绕点以每秒顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕点以每秒逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为秒． (1)若，，秒时，________°； (2)如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出　　秒；（写出一个即可） ②当在的左侧，且与始终互余，求与之间的数量关系． 3．如图，有一副直角三角板如图1放置（其中，），与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点P旋转．    (1)在图1中，______； (2)①如图2，若三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转，旋转角度为，当等于多少度时，两个三角形的边与边互相垂直； ②如图3，在图1基础上，若三角板的边从处开始绕点P逆时针旋转，转速为/秒，同时三角板的边从处开始绕点P顺时针旋转，转速为/秒，当转到与重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，求旋转的时间是多少？ 类型七、一元一次方程的应用——数轴动点求t问题 【解惑】如图，O，A，B三点在数轴上，点O对应的数为0，点A，B对应的数分别是a和b，且a，b满足．P，Q为数轴上的两动点． (1)请完成以下填空： ①_______，_______； ②若点P到A，B两点的距离之和最小，则此最小值为_______； ③若点Q到A，B两点的距离之和为14，此时点Q对应的数为_______； (2)若点P从A点处出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，与此同时，点Q从B点处出发，以每秒2个单位长度的速度也向左运动，设运动时间为． ①若，求t的值； ②若在P，Q两点出发时，动点M同时从O点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，当点M与点Q相遇后，点M立即以原速度与P，Q两点一起向左运动．在点M的整个运动过程中，当点M恰好是线段的中点时，请直接写出t的值． 【融会贯通】 1．如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，满足． (1)填空：_______，_______； (2)现有一只电子蚂蚁P从点A出发，在数轴上以3个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发，在数轴上以2个单位长度/秒的速度向左运动． ①运动t秒时，电子蚂蚁P表示的数是_______，Q表示的数是_______（用含t的式子表示）； ②设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，求出点C对应的数是多少？ ③出发多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距10个单位长度？ 2．通过研究发现，数轴上的点A和点B分别表示有理数a和b，那么线段的中点表示的数为，点A、B之间的距离．如图，A，B两点在数轴上分别表示有理数，9，点O为原点，点C在数轴上O，B两点之间，且． (1)直接写出线段的中点表示的数为 ，线段 ； (2)动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒： ①若，求t的值； ②若动点M同时从A点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，与点Q相遇后，动点M立即以同样的速度返回．在此过程中，当t为何值时，点M恰好是线段的中点？ 3． 如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上位于点A左侧一点，且 ，动点P从A点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为（）秒． (1)数轴上点B表示的是 ； 点P表示的数是 ；（用含的代数式表示） (2)动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？ (3)若 M 为 的中点，N 为的中点，在点 P 运动的过程中，线段的长度 是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，求出线段 的长． 类型八、一元一次方程的规律 【解惑】如图，下列图案均由长度相同的小棒按一定的规律拼搭而成：第1个图案需要7根小棒，第2个图案需要13根小棒，第3个图案需要18根小棒，第4个图案需要23根小棒，…，依此规律摆放． (1)则第5个图案需要 根小棒； (2)用含的代数式表示第（且为整数）个图案中小棒的数量；（结果化为最简形式） (3)如果小明共有688根小棒，按上面的规律摆出一个图案，那么他可以摆出第几个图案． 【融会贯通】 1．小丽在用等长的木棒设计图案探索规律： 图案标号 ① ② ③ ④ 所需木棒根数 (1)先填表，再请你帮她用含的代数式表示第个图案所需木棒的根数　　　　　　； (2)如果要摆出第个图案，所需木棒的根数是多少？ (3)小丽说她按这种方式搭出来的一个图形用了根木棒，你认为可能呢？如果可能，那么是第几个图形？如果不可能，请说明理由． 2．用火柴棒按如图的方式搭图形．    (1)按图示规律完成如表： 图形 1 2 3 4 5 火柴棒根数 5 9 13                                     (2)按照这种方式搭下去，搭第个图形需要 根火柴棒．（用含的代数式表示） (3)小静同学说她按这种方式搭出来的一个图形用了2001根火柴棒，你认为可能吗？如果可能，那么是第几个图形？如果不可能，请说明理由． 3．如图，用相同的黑色棋子摆成一组图案，图1中有6颗黑色棋子，图2中有9颗黑色棋子，图3中有颗黑色棋子，…，按此规律摆下去． (1)则第4个图中有________颗黑色棋子； (2)用含n的代数式表示第n个图中黑色棋子的颗数； (3)若第n个图中有颗黑色棋子，求n的值． 类型九、一元一次方程的新定义方程 【解惑】中考新趋势·新定义 定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，则_______； (2)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数d的值； (3)已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为_______．（请直接写出答案） 【融会贯通】 1．我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“差解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： (1)已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； (2)已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，并且它的解是，求m，n的值． 2．定义：已知，分别是关于，的方程的解，若满足：（为正数），则称前者是后者的“属方程”．例如：方程的解是，方程的解是，且满足，则称方程是方程的“属方程”． (1)下列方程是方程的“属方程”的是______（请填写正确的序号）； ①；②；③ (2)若关于的方程是关于的方程的“2属方程”，求整数的值； (3)若对于任何正数，关于的方程都是关于的方程的“属方程”，求的值． 3．已知一个关于的一元一次方程（，为常数），若这个方程的解恰好为或，则称这个方程为“幸福方程”．例如：的解为，而，则方程是“幸福方程”． (1)下列方程是“幸福方程”的打“”，不是“幸福方程”的打“”； ①（   ）        ②（   ）    ③（   ） (2)若关于的方程是“幸福方程”，求的值； (3)若关于的方程是“幸福方程”，求关于的方程的解． 类型十、无限循环小数化为分数 【解惑】我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例： 例：将0.4化为分数形式． 由于， 设，① 则，② 得，解得，于是． 同理可得：． 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） 【基础训练】 （1）_______，________； （2）将化为分数形式，写出推导过程； 【能力提升】 （3）______，_______；（注：） 【探索发现】 （4）①试比较与1的大小：_______1（填“>”“<”或“=”）； ②若已知，则_______．（注：） 【融会贯通】 1．我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例： 例：将化为分数形式， 由于，设，① 得，② ②－①得，解得，于是得． 同理可得，． 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） (1)______； (2)将化成分数形式，并写出推理过程． (3)若则______． 2．探究问题 （1）阅读操作，在小学阶段我们学过，任何有限位小数都可以转化成分数的形式． 请你将下列各数化成分数形式： ① ② （2）发现问题，我们小学阶段的小数，除有限位小数外，还有无限位的小数，那就是 ． （3）提出问题，对于 ？ （4）分析问题：例如：如何将化成分数的形式？ 分析：假设，由等式的基本性质得，， 即，也就是， 解这个关于的一元一次方程，得，所以 ． 说明可以将化成分数的形式． （5）解决问题．请你类比上面的做法，将下列的无限循环小数化成整数或分数的形式： ① ，② ，③ ． （6）归纳结论： ． 3．阅读理解：你知道如何将无限循环小数写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你方法．例题：利用一元一次方程0.7化成分数，设，由于，可知，于是，可解得，即． 请你仿照上述方法完成下列问题： (1)将化成分数形式； (2)将化成分数形式． 【一览众山小】 1．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有本，不知长短，引绳度之，余绳三尺寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余3尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，求木头的长为（   ） A．3尺 B．4尺 C．5尺 D．6尺 2．古书中有一道题，原文是：今有四人共车，三车空；三人共车，九人步，问人与车共几何？译文是：今有若干人乘车，每4人共乘一辆车，剩下三辆车；若每3人共乘一辆车，剩下9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有人，可列方程（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向航行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的3倍，则它们第2025次相遇在边（  ）． A． B． C． D． 4．如图，有8个正方体，每个正方体的棱长为或者，它们的表面积和为，则它们的体积和为 ． 5．小澄下午6点多外出时，看手表上两指针的夹角为，下午7点前回家时发现两指针的夹角仍为，那么小澄外出的时间总计有 分钟． 6．在课题学习中，老师要求用长为24厘米，宽为16厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒，三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒．          甲：如图1，盒子底面的四边形是正方形，折成纸盒的容积为； 乙：如图2，盒子底面的四边形是正方形，折成纸盒的容积为； 丙：如图3，盒子底面的四边形是长方形，，折成纸盒的容积为； 将这三位同学折成的无盖纸盒的容积、、按从大到小的顺序排列为 ． 7．【问题背景】数轴上A、B两点表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离，线段的中点M表示的数为． 【情境应用】已知数轴上有A、B两点，点A、B表示的数分别为和1． （1）填空：线段两点之间的距离为 ；线段的中点M表示的数为 ； （2）若数轴上点C表示的数是9，将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 表示的点重合； 【情境拓展】在数轴上A点表示数，B点表示数1，C点表示数9，若点A、点B和点C分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动． （1）若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值； （2）当点C在B点右侧时，是否存在常数m，使的值为定值，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 8．定义：如果两个一元一次方程的解的绝对值相同，我们就称这两个方程为互为“友好方程”．例如：方程和为互为“友好方程”． (1)若关于的方程与方程互为“友好方程”，求的值； (2)若互为“友好方程”的两个方程的两个解的差为10，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（、为常数）与关于的方程都互为“友好方程”，求的值． 9．如图1，点是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将它绕点以每秒顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕点以每秒逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为秒． (1)若，，秒时，________； (2)若，，当射线与三角板重合时，所经历的时间是多少秒？ (3)如图2，在运动过程中，射线始终平分．若，，当射线中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，求出此时的值． 10．已知：是关于的二次三项式，且、、满足．、、所对应的点分别为、、． (1)则，_____． (2)若点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．设运动时间为秒，请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)如图，若将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们把在折线数轴上线段、、三段距离的和称为，两点间的路程．动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在上坡段运动期间速度变为原来的一半．点从点出发的同时，点从点出发，以个单位长度秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在下坡段运动期间速度变为原来的倍，之后在段又以个单位长度秒的速度运动．当点到达点时，点，均停止运动．设运动的时间为秒．在某一时刻，、两点在“折线数轴”上的路程为个单位．求出此时的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 一元一次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元一次方程的整体代入 【解惑】已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，根据已知条件得出方程，求出方程的解即可，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程的解为， 解得：， 故选：． 【融会贯通】 1．已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】D 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．先把方程转化为．由题意，可知，再由求y即可． 【详解】解：把方程转化为， 对比一元一次方程可知， ∵关于x的一元一次方程的解是， ∴， ∴， 故选：D 2．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，方程两边同时乘以：，将看作，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：方程两边同时乘以：， ∴ ∵方程的解为， ∴，即 解得： 故答案为：． 3．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的解，掌握一元一次方程的解法是关键．根据关于的一元一次方程的解为得出，再代入关于的一元一次方程中，再求出即可． 【详解】解：关于的一元一次方程的解为， ， 解得：， 关于的一元一次方程为：， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 类型二、一元一次方程的整数解 【解惑】若关于的方程有整数解，则所有符合条件的整数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的整数解，先求出方程的解是，根据方程有整数解和a为整数得出或或1或，求出a的值，再求和即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 关于的方程有整数解，且a为整数， 或或1或， 或或或， 所有符合条件的整数的和为， 故选：D． 【融会贯通】 1．若关于的方程的解是整数，则整数的取值个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，原方程依次去括号，移项，合并同类项，系数化为，得到关于的的值，根据“该方程的解是整数”，得到几个关于的一元一次方程，解之即可，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 由关于的方程的解是整数解， 则整数或或，共个， 故选：． 2．若关于 的方程的解为整数，则整数 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查了根据一元一次方程的解求参数，先解一元一次方程，得到，根据一元一次方程的解为整数且为整数，可得或或或，据此即可求解，掌握求出一元一次方程的解是解题的关键． 【详解】解：移项得，， 合并同类项得，， ∴， ∵关于 的方程的解为整数，且为整数， ∴或或或， ∴或或或， 故答案为：或或或． 3．若关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值为 ． 【答案】，0和1 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解题的关键．将原方程化为关于的一元一次方程，然后根据，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 要为的倍数， 或或． 故答案为：，0和1． 类型三、一元一次方程的新定义运算 【解惑】对于有理数、定义运算“▣”：▣，已知▣，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】分和两种情况，根据新定义列出方程，求解即可． 【详解】解：①若，则， 解得，不符合题意； ②若，则， 解得，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，根据新定义进行运算． 【融会贯通】 1．定义一种新运算：，例如：，．若，则b的值是（    ） A．9 B．-9 C．9或-9 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴①当时，则有-2+2b=16，解得，； ②当时，，解得， 综上所述，b的值是9或-9 故选：C 【点睛】本题考查了一元一次方程，解题的关键是明确新定义，会用解一元一次方程． 2．定义一种新的运算“”，它的运算法则为：当a、b为有理数时，，比如：，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，理解新运算，正确建立方程是解题关键．根据新运算的定义建立方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， 故答案为：． 3．定义运算如下：，如. 若，则x＝ . 【答案】4 【分析】本题考查了新定义下的有理数混合运算及一元一次方程的解法，利用新定义计算正确列出方程是解题关键．先利用题中的新定义计算求出，将方程化为，再利用新定义计算化简为，最后解这个一元一次方程，即得答案． 【详解】， ， ， 解得． 故答案为：4． 类型四、一元一次方程的应用——电费与水费问题 【解惑】为鼓励居民节约用电，某地对居民用户用电收费标准作如下规定：每户每月用电不超过100度，那么每度按0.50元收费；如果超过100度不超过200度，那么超过的部分每度按0.65元收费；如果超过200度，那么超过的部分每度按0.75元收费． (1)若居民甲在10月份用电80度，则他这个月应缴纳电费______元；若居民乙在10月份用电180度，则他这个月应缴纳电费______元． (2)若某户居民丙在12月份缴纳电费310元，那么他这个月用电多少度？ 【答案】(1)40，102 (2)居民丙12月用电460度 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，一元一次方程的应用； （1）根据题意列出算式进行计算即可求解． （2）先判断出居民丙在月份用电范围，再列方程即可解决问题． 【详解】（1）解：， 居民甲月份应缴纳电费：（元）， ， 居民乙月份应缴纳电费：（）（元）， 故答案为：，； （2）解：用电为度时，电费为 居民丙在月份缴纳电费元，则该月用电超过度， 设居民丙这个月用电度，依题意 得：， 解得， 答：居民丙月用电度． 【融会贯通】 1．列方程解决问题： 为响应国家节水政策，北京居民生活用水实行阶梯价格制度，按年度用水量计算，将人（含）以下居民家庭全年用水量划分为三档，年阶梯水价收费标准如下： 阶梯 户年用水量（单位：立方米） 水价（单位：元/立方米） 第一阶梯 0—180（含） 5 第二阶梯 181—260（含） 7 第三阶梯 260以上 9 按照以上阶梯水价标准，回答下列问题： (1)若小明家年用水量为立方米，则该家庭全年缴费金额为______元； (2)若小华家年全年缴费金额为元，小华家年用水量是多少立方米？ 【答案】(1) (2)立方米 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据题中的收费标准计算； （2）根据“小华家年水费为元”列方程求解． 【详解】（1）解：（元）， 故答案为：1040； （2）解：设小华家年用水量为x立方米， ∵， ∴， 则：， 解得：， 答：小华家年用水量为302立方米． 2．为了倡导节约用水，某小区计划采用如下的水费收取方式：家庭用水每月不超过，每立方米收费元；超过的部分每立方米收费上涨． (1)当家庭用水量不超过时，应交水费为_____元；当家庭用水量超过时，应交水费_____元（用含、的代数式表示）； (2)如果已知，该家庭上月交水费95元，求该家庭上月用水量． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查列代数式，实际问题与一元一次方程，理解题意，正确列代数式是解答的关键． （1）根据题意分别列出代数式即可； （2）根据题意判断出此时用数量超过，再列出关于的一元一次方程并求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 当时，应交水费为元； 当时，应交水费为元； 故答案为：；； （2）解：当时，，所以用水量超过， ∴， 解得：， ∴该家庭上月用水量为． 3．列方程解应用题： 某市居民用水的收费标准是按阶梯计价的，若每月每户用水不超过，则每立方米按元收费；若每月每户用水超过，则超过部分每立方米按元收费． (1)小雅家12月用水，她家12月应交水费多少元？ (2)若每月用水量为，请用含x的代数式表示每月所付水费金额； (3)若小浩家12月份所交水费的平均价为每立方米元，则小浩家12月份用水多少立方米？ 【答案】(1)70元 (2)当时，每月所付水费金额为元；当时，每月所付水费金额为元 (3)35立方米 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用等知识，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据不超过，列式求解即可得； （2）分两种情况：和，根据收费标准列出代数式即可得； （3）设小浩家12月份用水量为立方米，判断出，再建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：因为， 所以她家12月应交水费为（元）， 答：她家12月应交水费为70元． （2）解：当时，每月所付水费金额为元， 当时，每月所付水费金额为（元）， 答：当时，每月所付水费金额为元；当时，每月所付水费金额为元． （3）解：设小浩家12月份用水量为立方米， 因为， 所以， 由题意得：， 解得， 答：小浩家12月份用水量为35立方米． 类型五、一元一次方程的应用——方案问题 【解惑】（用一元一次方程解决问题）甲、乙两家超市新年期间推出优惠活动，推出如下表所示的购物优惠方案： 甲超市 乙超市 消费金额（元）     优惠活动 消费金额（元） 优惠活动 （包含100） 无优惠 （包含200） 无优惠 （包含350） 一律享受九折优惠 大于200 超过200元的部分享受八折优惠 大于350 一律享受八折优惠 (1)小王需要购买价格为220元的商品，去______家超市更划算； (2)小李带了234元去购物，为了买到原价最多的商品，应选择哪家超市并说明理由． 【答案】(1)甲 (2)应选择甲超市，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，理解题意，找准等量关系列出一元一次方程是解题的关键． （1）计算在甲、乙超市购物分别所付的费用，再比较大小即可得出结论； （2）先求出234元在甲超市能购买的商品原价，再通过列一元一次方程求出在乙超市能购买的商品原价，比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：在甲超市购物所付的费用为：（元）， 在乙超市购物所付的费用为：（元）， ， 去甲超市更划算． 故答案为：甲． （2）解：应选择甲超市，理由如下： 在甲超市能购买的商品原价为：（元）， 设在乙超市能购买的商品原价为元， 由题意得，， 解得：， ， 为了买到原价最多的商品，应选择甲超市． 【融会贯通】 1．下表是中国移动两种“优惠套餐”的计费方式． 套餐A 套餐B 每月基本服务费 38元（包含通话时间100分钟，上网流量） 59元（包含通话时间300分钟，上网流量） 套餐外通话 0.15元/分 0.1元/分 不足一分钟按一分钟计算 套餐外流量 5元，不足时按计算 (1)若小丽的妈妈某月通话时间为320分钟，上网流量为，则她的妈妈按套餐A计费需付__________元，按套餐B计费需付__________元； (2)小丽某月上网流量不超过，通话时间不超过300分钟，当通话时间为__________分钟时，按套餐A和套餐B的费用相同； (3)若小丽每月通话时间不超过100分钟，上网流量为，那么小丽选择哪种套餐更优惠？ 【答案】(1)71，61 (2)240 (3)小丽选择A套餐更优惠 【分析】本题考查一元一次方程的应用． （1）分别按套餐A计费、套餐B计费计算出费用即可； （2）小丽某月上网流量不超过，故流量不额外收费，设当通话时间为x分钟时，套餐A和套餐B的费用相同，列方程求解即可； （3）分别计算套餐A、B的花费，进行比较． 【详解】（1）解：套餐A计费：（元）， 套餐B计费：（元）， 故答案为：71，61； （2）解：设当通话时间为x分钟时，套餐A和套餐B的费用相同，则 ， 解得， 即当通话时间为240分钟时，按套餐A和套餐B的费用相同， 故答案为：240； （3）解：套餐A计费：， ∵， ∴， 套餐B计费：时，59元， 时，（元）， ∵， ∴小丽选择A套餐更优惠． 2．用纸在甲复印店复印文件，复印页数不超过20页时，每页收费0.12元，复印页数超过20页时，超过部分每页收费降为0.09元．在乙复印店复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费都是0.1元． (1)若复印的页数为页，在甲复印店用纸复印，需交费__________元（用含的式子表示）；在乙复印店用纸复印，需交费__________元（用含的式子表示）； (2)当复印的页数为70页时，到哪个店复印便宜？试说明理由． (3)当用纸复印多少页时，两店的收费相同？ 【答案】(1)； (2)到甲复印店复印便宜，理由见解析 (3)60页 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用的代数式表示出在甲、乙两店用纸复印所需费用；（2）代入，求出到甲、乙两家店用纸复印所需费用；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）利用总价单价数量，结合甲、乙两店给出的收费标准，即可用含的代数式表示出在甲、乙两店用纸复印所需费用； （2）代入，可求出到甲、乙两家店用纸复印所需费用，比较后即可得出结论； （3）根据两店的收费相同，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：在甲复印店用纸复印所需费用为元； 在甲复印店用纸复印所需费用为元． 故答案为：，； （2）解：到甲复印店复印便宜，理由如下： 甲：当时，（元； 乙：当时，（元． ， 到甲复印店复印便宜； （3）解：根据题意得：， 解得：． 答：当用纸复印60页时，两店的收费相同． 3．某商场正在热销两种苹果，精品苹果每千克定价元，普通苹果每千克定价元，店庆期间商场决定开展促销活动，活动方案如下： 方案一 方案二 顾客购买千克精品苹果送千克普通苹果 顾客购买精品苹果和普通苹果都按定价的付款 现某公司为回馈员工，要到该商场购买精品苹果千克，普通苹果千克（，且只能选择一种方案购买）． (1)用含的代数式分别表示该公司选择方案一和方案二购买时所需的钱数；（结果化成最简形式） (2)若该公司选择方案一和方案二购买时的付款相同，求该公司购买了多少千克普通苹果？ 【答案】(1)方案一所需钱数：（元），方案二所需钱数：（元） (2)千克 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用，正确列出代数式是解题的关键． （1）根据“顾客购买千克精品苹果送千克普通苹果”得出方案一共买千克普通苹果，利用数量乘以单价等于总价分别列式即可； （2）选择方案一和方案二购买时的付款相同即，求解即可． 【详解】（1）解：选择方案一所需的钱数：（元）．     选择方案二所需的钱数：（元）； （2）解：由题意可得：，     解得：． 所以该公司购买了千克普通苹果． 类型六、一元一次方程的应用——三角板旋转求t问题 【解惑】如图1，在直线上摆放一副直角三角板，两三角板顶点重合于点，，，将三角板绕点以每秒的速度顺时针方向转动，设转动时间为秒． (1)如图，若平分，则的最小值为 ；此时 度；（直接写答案） (2)当三角板转动如图的位置，此时同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由；（数量关系中不含） (3)若当三角板开始转动的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针转动，当旋转至射线上时，两三角板同时停止运动： 当为何值时，； 在转动过程中，请写出与的数量关系，并说明理由．（数量关系中不含） 【答案】(1)；； (2)，理由见解析； (3)或；，理由见解析． 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． （）的最小值即第一次平分时的值；求出的度数即可求出的值； （）用含的代数式分别表示出和，然后相减即可； （）分在的左侧时和在的右侧时两种情况求解； 由题意得，，，，从而，，进而可得； 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∴， 此时， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴； （3）解：如图4，    当在内部时， ∵，，， ∴， ∴， 如图5，        当在外部时， ∵，，， ∴， ∴， 综上所述：或； 如图6，       ∵，， ∴． 【融会贯通】 1．如图1，O为直线上一点，过点O作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周． 　 (1)几秒后与重合？ (2)如图2，经过t秒后，，求此时t的值； (3)若三角板在转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间与重合？ (4)在（3）的条件下，当射线，射线，射线三条中的一条是另外两条组成的夹角的平分线时，请直接写出t的值． 【答案】(1)10秒后与重合 (2)经过秒或80秒后， (3)经过20秒时间与重合 (4)的值为或 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，角的计算以及方程的应用，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键． （1）用角的度数除以转动速度即可得； （2）求出，结合旋转速度可得时间； （3）设，则，由题意列出方程，解方程即可； （4）分四种情况讨论：平分时（都在上方），平分平分时（上方、下方各一个角)，平分，根据转动速度关系列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴秒后与重合； （2）解：分两种情况： 在上方时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴经过20秒后，； 在下方时，如图2.2， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴经过20秒或80秒后，； （3）解：如图3所示： 则， ∵三角板绕点以每秒的速度，射线也绕点以每秒的速度旋转， 设，则， ∵与重合， 则， 可得：， 解得：秒； 即经过20秒时间与重合； （4）解：分三种情况： ①平分时，此时在上方，如图4所示： ， ∴，无解； ②平分，此时在上方，如图5所示： ， ， 解得：秒； ③当平分时，如图6， ， ， 解得：； ④当平分时，如图7， ， ，无解； 故的值为或． 2．如图1，点是直线上一点，三角板（其中的边与射线重合，将它绕点以每秒顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕点以每秒逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为秒． (1)若，，秒时，________°； (2)如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出　　秒；（写出一个即可） ②当在的左侧，且与始终互余，求与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①或或；② 【分析】（1）根据，即可求解； （2）①当是的角平分线，当是的角平分线时，当是的角平分线时，分三种情况进行计算即可； ②由与始终互余，得出，进而可求解． 【详解】（1）解：当，，秒时， ，， ， ； 故答案为：； （2）解：①当是的角平分线时，如图所示： ， ， 又始终平分， ， ， ，解得； 当是的角平分线时，如图所示： ， 又始终平分， ，此时射线与重合， ， ，解得； 当是的角平分线时，如图所示： ， 又始终平分， ， ， 又， ，解得； 故答案为：或或； ②当在的左侧时，如图所示： ， 又始终平分， ， 与始终互余， ， ， ， ， ，化简得． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义、平角的定义、互余、解一元一次方程及角的和差倍分关系等你知识，采用数形结合的思想和分类讨论的思想，准确表示出各个相关角度的和差倍分关系是解题的关键． 3．如图，有一副直角三角板如图1放置（其中，），与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点P旋转．    (1)在图1中，______； (2)①如图2，若三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转，旋转角度为，当等于多少度时，两个三角形的边与边互相垂直； ②如图3，在图1基础上，若三角板的边从处开始绕点P逆时针旋转，转速为/秒，同时三角板的边从处开始绕点P顺时针旋转，转速为/秒，当转到与重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，求旋转的时间是多少？ 【答案】(1) (2)①当等于165度时，两个三角形的边与边互相垂直②旋转的时间是或秒 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，识别图形是解题的关键． （1）根据三角板的角度进行计算即可得到结论； （2）①如图，根据，，求出结论即可； ②设旋转的时间为秒，由题知，，分两种情况：当转到与重合前和当转到与重合后，分别列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）①如图，此时，，    ∴， ∴， ∴当等于165度时，两个三角形的边与边互相垂直； ②设旋转的时间为t秒，由题知，， 当转到与重合时，秒， 分两种情况： 当转到与重合前，时， ∴ 当，即， 解得：秒； 当转到与重合后，时， ∴ 当，即， 解得：秒； ∴当，旋转的时间是或秒． 类型七、一元一次方程的应用——数轴动点求t问题 【解惑】如图，O，A，B三点在数轴上，点O对应的数为0，点A，B对应的数分别是a和b，且a，b满足．P，Q为数轴上的两动点． (1)请完成以下填空： ①_______，_______； ②若点P到A，B两点的距离之和最小，则此最小值为_______； ③若点Q到A，B两点的距离之和为14，此时点Q对应的数为_______； (2)若点P从A点处出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，与此同时，点Q从B点处出发，以每秒2个单位长度的速度也向左运动，设运动时间为． ①若，求t的值； ②若在P，Q两点出发时，动点M同时从O点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，当点M与点Q相遇后，点M立即以原速度与P，Q两点一起向左运动．在点M的整个运动过程中，当点M恰好是线段的中点时，请直接写出t的值． 【答案】(1)①，9；②12；③或10 (2)①和；② 【分析】（1）①根据绝对值的非负性，两个非负的数相加为0，则这两个数分别为0，从而求出答案；②利用数轴上两点之间线段最短的原理即可解答；③分情况讨论点Q在A左侧、A和B之间、B右侧三种情况； （1）①先确定点P和点Q在t时刻相对于A点的位置，再利用条件，和建立方程，求解即可；②点M是线段PQ中点的情况，根据中点的性质列出方程求解． 【详解】（1）①∵， ∴，， ， 解得，； 故答案为：3，9； ②∵数轴上两点之间线段最短， 当点P在A、B之间时，最小， 最小值为的长度； 故答案为：12； ③当点Q在点的左侧时，即 此时，． ， 解得； 当点Q在点和点9之间时，即， 此时，， ， 不符， 因此，点Q不能在点和点9之间． 当点Q在点9的右侧时，即， 此时，， ， 解得， 综上所述点Q对应的数为或10； （2）①∵点P从A点出发，向左移动t秒，每秒1个单位长度，点Q从B点出发，向左移动t秒，每秒2个单位长度， ∴P的位置为，Q的位置为， ∴点P到A点的距离是， 点Q到A点的距离是， ∵，即， 当和时，即， ， 解得， 当和时，即∶ 解得； 因此，满足条件的t的值有两个∶和． ②点M从O点出发，速度为每秒4个单位长度，向右运动，点Q 从 B点出发，速度为每秒2个单位长度，向左运动； 设运动时间为m秒时，M 与 Q 相遇，则解得秒 ． M对应的数为 P从A点处出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，与此同时，点Q从B点处出发，以每秒2个单位长度的速度也向左运动，设运动时间为， 向左运动 t 秒后，P对应的数为； 点Q从B点出发，速度为每秒2个单位长度 ，向左运动t秒后，Q对应的数为， 当时 ，M对应的数为 点M恰好是线段的中点时， 解得：． 【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，非负数的性质，一元一次方程的应用，绝对值方程的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【融会贯通】 1．如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，满足． (1)填空：_______，_______； (2)现有一只电子蚂蚁P从点A出发，在数轴上以3个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发，在数轴上以2个单位长度/秒的速度向左运动． ①运动t秒时，电子蚂蚁P表示的数是_______，Q表示的数是_______（用含t的式子表示）； ②设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，求出点C对应的数是多少？ ③出发多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距10个单位长度？ 【答案】(1)；15 (2)①；；②，③2秒或6秒 【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答． （1）根据题意可得，根据可得b的值，本题得以解决； （2）①根据题意及点A和B表示的数即可求解；②根据题意可列方程，求解得到t的值，即可求得C点坐标；③分为相遇前和相遇后两种情况讨论列方程求解． 【详解】（1）解：， ， ，点A在点B的左边， ， ， ； （2）解：①根据题意：电子蚂蚁P表示的数是； Q表示的数是：． ②根据题意，可列方程为， 解得． 由可知，相遇点C对应的数是7． ③若P，Q相遇前相距10个单位长度，有， 解得； 若P，Q相遇后相距10个单位长度，有， 解得． 即出发2秒或6秒两只电子蚂蚁在数轴上相距10个单位长度． 2．通过研究发现，数轴上的点A和点B分别表示有理数a和b，那么线段的中点表示的数为，点A、B之间的距离．如图，A，B两点在数轴上分别表示有理数，9，点O为原点，点C在数轴上O，B两点之间，且． (1)直接写出线段的中点表示的数为 ，线段 ； (2)动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒： ①若，求t的值； ②若动点M同时从A点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，与点Q相遇后，动点M立即以同样的速度返回．在此过程中，当t为何值时，点M恰好是线段的中点？ 【答案】(1)3，7 (2)3或；3或 【分析】本题考查数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，以及一元一次方程的实际应用： （1）根据数轴上两点间的距离，中点公式，求解线段的中点对应的数以及点C所对应的数即可得到答案； （2）①根据两点间的距离公式，结合，列出绝对值方程进行求解即可；②分点跟点相遇前和相遇后，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵A，B两点在数轴上分别表示有理数，9， ∴， ∴线段的中点表示的数为， ∵点C在数轴上O，B两点之间，且， ∴点表示的数为：2； ∴； （2）解：①由题意得：点表示的数为：，点表示的数为：， 由题意，得：， 解得：或； ②当点M恰好是线段的中点时，未相遇， 当点与点相遇时所用时间为：秒， ∵点表示的数为：，点表示的数为：， ∴当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上：或时，点M恰好是线段的中点． 3． 如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上位于点A左侧一点，且 ，动点P从A点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为（）秒． (1)数轴上点B表示的是 ； 点P表示的数是 ；（用含的代数式表示） (2)动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？ (3)若 M 为 的中点，N 为的中点，在点 P 运动的过程中，线段的长度 是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，求出线段 的长． 【答案】(1)；； (2) (3)不变化； 【分析】本题考查了数轴、一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，用数轴上点表示有理数，用到的知识点是数轴上两点之间的距离关键是根据题意画出图形，注意分情况进行讨论． （1）根据已知可得点表示的数为；点表示的数为； （2）设点运动秒时追上，根据题意可列出方程，解方程可得出的值； （3）分①当点在点A、两点之间运动时，②当点运动到点的左侧时，③当点运动到点时，利用中点的定义和线段的和差求出的长即可． 【详解】（1）解：点A表示的数为在A点左边，， 点表示的数是， 动点从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒， 点表示的数是， 故答案为：；； （2）解：如图，设点运动t秒时，在点处追上点， 则， ， ， 解得：， 点运动7秒时追上点； （3）解：线段的长度不发生变化，都等于；理由如下： 由题意可知：为的中点，为的中点，， 故， 故①当点在线段上运动时： ， ②当点运动到点的左侧时： ， ③当点运动到点时： ， 线段的长度不发生变化，其值为． 类型八、一元一次方程的规律 【解惑】如图，下列图案均由长度相同的小棒按一定的规律拼搭而成：第1个图案需要7根小棒，第2个图案需要13根小棒，第3个图案需要18根小棒，第4个图案需要23根小棒，…，依此规律摆放． (1)则第5个图案需要 根小棒； (2)用含的代数式表示第（且为整数）个图案中小棒的数量；（结果化为最简形式） (3)如果小明共有688根小棒，按上面的规律摆出一个图案，那么他可以摆出第几个图案． 【答案】(1)28 (2)第个图案所需小棒的根数为（且为正整数）根 (3)他可以摆出第137个图案 【分析】本题考查了规律题——图形的变化类，关键是根据题目中给出的图形，通过观察思考，归纳总结规律． 根据已知的前四个图案即可得到第五个图案需要根小棒； 根据前四个图案所需小棒的根数变式，即可得到个图案所需小棒的根数； 将已知的688根小棒代入第（2）求解即可． 【详解】（1）解：第1个图案需要7根小棒，第2个图案需要13根小棒， 第3个图案需要根小棒， 第4个图案需要根小棒， 则第5个图案需要根小棒， 故答案为：28； （2）解：由所给图形可知，第1个图案所需小棒的根数为：7； 第2个图案所需小棒的根数为：； 第3个图案所需小棒的根数为：； 第4个图案所需小棒的根数为：； …， 由此可见，从第2个图案开始，所需小棒的根数依次增加5， 所以第个图案所需小棒的根数为（且为正整数）根． （3）解：由（2）可得， 解得， 所以他可以摆出第137个图案． 【融会贯通】 1．小丽在用等长的木棒设计图案探索规律： 图案标号 ① ② ③ ④ 所需木棒根数 (1)先填表，再请你帮她用含的代数式表示第个图案所需木棒的根数　　　　　　； (2)如果要摆出第个图案，所需木棒的根数是多少？ (3)小丽说她按这种方式搭出来的一个图形用了根木棒，你认为可能呢？如果可能，那么是第几个图形？如果不可能，请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)302 (3)不可能；理由见解析 【分析】本题考查了根据图形找规律的问题，解题的关键是结合图形找出规律进而求解． （1）由图可以看出，图①火柴棒根数为，图②火柴棒根数为，图③火柴棒根数为，由此可以得出图④火柴棒根数，根据图示规律可得，第个图形需要根火柴棒； （2）把代入求出第个图案需要的木棒根数即可； （3）用求解，可得，因为为正整数，故不可能． 【详解】（1）解：由图可以看出， 图①中火柴棒根数为：； 图②中火柴棒根数为：； 图③中火柴棒根数为：； 图④中火柴棒根数为：； 图案标号 ① ② ③ ④ 所需木棒根数 20 26 根据以上规律可知：第个图形需要根火柴棒； （2）解：根据（1）中的规律可得， 第50个图形中火柴棒根数为：（根）； （3）解：不可能，理由如下： 设第个图形用了100根火柴棒，其中为正整数， 则， 解得：，不符合题意舍去， 故不可能用了100根火柴棒按这种方式搭出来的一个图形． 2．用火柴棒按如图的方式搭图形．    (1)按图示规律完成如表： 图形 1 2 3 4 5 火柴棒根数 5 9 13                                     (2)按照这种方式搭下去，搭第个图形需要 根火柴棒．（用含的代数式表示） (3)小静同学说她按这种方式搭出来的一个图形用了2001根火柴棒，你认为可能吗？如果可能，那么是第几个图形？如果不可能，请说明理由． 【答案】(1)17；21 (2) (3)可能，是第500个图形 【分析】本题考查了根据图形找规律的问题，一元一次方程的应用，结合图形找出规律是解题的关键． （1）由图可以看出，图1火柴棒根数为5，图2火柴棒根数为，图3火柴棒根数为，由此可以得出图4，图5中火柴棒根数； （2）根据图示规律可得，第个图形需要，即根火柴棒； （3）用求解，可得，因为为正整数，故可能． 【详解】（1）解：由图可以看出， 图1中火柴棒根数为：5； 图2中火柴棒根数为：； 图3中火柴棒根数为：； 图4中火柴棒根数为：； 图5中火柴棒根数为：． 填表如下： 图形 1 2 3 4 5 火柴棒根数 5 9 13 17                21                 （2）解：根据（1）中的规律可得， 第个图形中火柴棒根数为：； （3）解：可能，是第500个图形，理由如下： 设第个图形用了2001根火柴棒，其中为正整数， 则， 解得，符合题意， 所以可能，是第500个图形． 3．如图，用相同的黑色棋子摆成一组图案，图1中有6颗黑色棋子，图2中有9颗黑色棋子，图3中有颗黑色棋子，…，按此规律摆下去． (1)则第4个图中有________颗黑色棋子； (2)用含n的代数式表示第n个图中黑色棋子的颗数； (3)若第n个图中有颗黑色棋子，求n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了图形规律问题 ，旨在考查学生的抽象概括能力，涉及了列代数式、一元一次方程的求解，根据图示确定一般规律即可求解． （1）由图即可求解； （2）根据图1中有颗黑色棋子，图2中有颗黑色棋子，图3中有颗黑色棋子，图4中有颗黑色棋子，即可求解； （3）令，即可求解 【详解】（1）解：由图可知：第4个图中有颗黑色棋子， 故答案为：； （2）解：图1中有颗黑色棋子， 图2中有颗黑色棋子， 图3中有颗黑色棋子， 图4中有颗黑色棋子， … ∴第n个图中黑色棋子的颗数为：； （3）解：令， 解得： 类型九、一元一次方程的新定义方程 【解惑】中考新趋势·新定义 定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，则_______； (2)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数d的值； (3)已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为_______．（请直接写出答案） 【答案】(1)2 (2)d的值为或 (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的解，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据“反对方程”的定义，进行求解即可； （2）求出两个方程的解，根据解为整数，进行求解即可； （3）根据互为“反对方程”的解互为倒数，根据换元法，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程与方程互为“反对方程”， ∴； 故答案为：2； （2）变形为， 由题意可知方程的“反对方程”为． 解，得． 解，得． 因为与的解都是整数， 所以与都是整数，且d为整数， 所以当或时，与都是整数， 故整数d的值为或； （3）由题可知的解为． 由题意得，互为“反对方程”的两个方程的解互为倒数， 所以的解为， 将变形为， 所以， 所以关于y的一元一次方程的解为． 【融会贯通】 1．我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“差解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： (1)已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； (2)已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，并且它的解是，求m，n的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了新定义——“差解方程”，熟练掌握新定义，一元一次方程解的定义，解一元一次方程，代数式求值，是解决问题的关键． （1）根据一元一次方程是“差解方程”，得到，代回原方程求解即得； （2）根据一元一次方程是“差解方程”，且，得到，再把代回原方程即可求出m与n的值． 【详解】（1）∵一元一次方程是“差解方程”， ∴， ∴， 解得：； （2）∵一元一次方程是“差解方程”， ∴， 又， ∴， ∴， 把，代回原方程得：， ∴， 将代入中，得． 2．定义：已知，分别是关于，的方程的解，若满足：（为正数），则称前者是后者的“属方程”．例如：方程的解是，方程的解是，且满足，则称方程是方程的“属方程”． (1)下列方程是方程的“属方程”的是______（请填写正确的序号）； ①；②；③ (2)若关于的方程是关于的方程的“2属方程”，求整数的值； (3)若对于任何正数，关于的方程都是关于的方程的“属方程”，求的值． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，解题的关键是理解题目中定义的“属方程”，通过解一元一次方程的方法求解． （1）先求出的解，再分别求出①，②，③三个方程的解，然后代入（为正数）进行逐一验证，即可得到答案； （2）先分别求出方程和方程的解，然后代入（为正数），即可求解的值； （3）先分别求出方程和方程的解，后代入（为正数），然后根据取任意正数方程都成立，即可求解的值； 【详解】（1）解：求得方程的解为， ①，求得，将，代入：（为正数），求得，属于“属方程”，即①正确； ②，求得，将，代入：（为正数），求得，不属于“属方程”，即②不正确； ③，求得，将，代入：（为正数），求得，属于“属方程”，即③正确； 故答案为：①③； （2）解：方程的解是， 方程的解是， 方程是方程的“2属方程”， ∴， 方程化简，得：， 解得：或， 为整数， ∴； （3）解：方程的解是， 方程的解是， 方程是方程的“属方程”， ∴， ， 即，或， 取任意正数方程都成立， ∴，或， 即，或， 经验证，当时，一个方程有唯一解，另一个方程无解，不满足题意， ∴． 3．已知一个关于的一元一次方程（，为常数），若这个方程的解恰好为或，则称这个方程为“幸福方程”．例如：的解为，而，则方程是“幸福方程”． (1)下列方程是“幸福方程”的打“”，不是“幸福方程”的打“”； ①（   ）        ②（   ）    ③（   ） (2)若关于的方程是“幸福方程”，求的值； (3)若关于的方程是“幸福方程”，求关于的方程的解． 【答案】(1)；； (2)或 (3)当时，；当且时，无解；当且时， 【分析】本题考查了新概念的理解，一元一次方程，正确理解题中的新概念，利用分类讨论的思想解题是关键． （1）根据“幸福方程”的概念，逐一判断即可； （2）根据“幸福方程”的概念，分类列方程，逐一解出即可； （3）根据“幸福方程”的概念，列出式子，分类讨论，即可解答． 【详解】（1）解：①解，可得，，故方程是“幸福方程”； ②解，可得，，，，，故方程不是“幸福方程”； ③解，可得，将变形可得，，故方程是“幸福方程”， 故答案为：；；； （2）解：解，可得， 关于的方程是“幸福方程”， 或， 解得或； （3）解：解，可得， 关于的方程是“幸福方程”， 或， ①当时， 可化简为， 则， ②当， 可化简为， 变形可得， 当时，等式左边等于0，等式右边等于5，故该方程无解； 当时，； 综上可得，当时，；当且时，无解；当且时，． 类型十、无限循环小数化为分数 【解惑】我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例： 例：将0.4化为分数形式． 由于， 设，① 则，② 得，解得，于是． 同理可得：． 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） 【基础训练】 （1）_______，________； （2）将化为分数形式，写出推导过程； 【能力提升】 （3）______，_______；（注：） 【探索发现】 （4）①试比较与1的大小：_______1（填“>”“<”或“=”）； ②若已知，则_______．（注：） 【答案】（1）  （2）  （3）   （4）①  ② 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解新方法是解题的关键. （1）根据题中的方法求解； （2）根据题中的方法求解； （3）根据题中的方法求解； （4）①根据题中的方法求出的值，再比较大小；②根据题中的方法求解. 【详解】（1）解：由于， 设① 则②， ②①得，解得， 于是， 同理：， 故答案为：； （2）由于，设① 则② ②①得， 解得：， ； 故答案为：； （3）设①则， ②①得，解得：； 同理：， 故答案为： ； (4)①设则 ， 解得： 故答案为：； ②， 设， 则 ， 故答案为：． 【融会贯通】 1．我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例： 例：将化为分数形式， 由于，设，① 得，② ②－①得，解得，于是得． 同理可得，． 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） (1)______； (2)将化成分数形式，并写出推理过程． (3)若则______． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查解一元一次方程． （1）将代入中计算即可； （2）设，则，两式相减求出的值即可； （3）将代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：设，则， ， 解得， 即化成分数形式为； （3）解：， ． 故答案为：． 2．探究问题 （1）阅读操作，在小学阶段我们学过，任何有限位小数都可以转化成分数的形式． 请你将下列各数化成分数形式： ① ② （2）发现问题，我们小学阶段的小数，除有限位小数外，还有无限位的小数，那就是 ． （3）提出问题，对于 ？ （4）分析问题：例如：如何将化成分数的形式？ 分析：假设，由等式的基本性质得，， 即，也就是， 解这个关于的一元一次方程，得，所以 ． 说明可以将化成分数的形式． （5）解决问题．请你类比上面的做法，将下列的无限循环小数化成整数或分数的形式： ① ，② ，③ ． （6）归纳结论： ． 【答案】（1），；（2）无限循环小数；（3）无限循环小数如何将其化成分数的形式；（4）；（5）①1；②；③；（6）整数部分为0的无限循环小数 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是找出其中的规律，即通过方程形式，把无限小数化成整数形式． （1）根据进行计算即可， （2）根据（1）可得出还有无限循环小数， （3）根据（1）（2）提出问题，对于无限循环小数如何将其化成分数的形式， （4）根据例题可直接得出， （5）根据（4）的计算方法，设出未知数，进行计算即可， （6）根据（5）的计算过程即可得出归纳结论． 【详解】解：（1）①②， 故答案为：，； （2）我们小学阶段的小数，除有限位小数外，还有无限位的小数，那就是无限循环小数， 故答案为：无限循环小数； （3）提出问题，对于无限循环小数如何将其化成分数的形式， 故答案为：无限循环小数如何将其化成分数的形式； （4）， 故答案为：； （5）①假设，由等式的基本性质得，， 即，也就是， 解这个关于的一元一次方程，得，则， ②假设，由等式的基本性质得，， 即，也就是， 解这个关于的一元一次方程，得，则， ③假设，由等式的基本性质得，， 即，也就是， 解这个关于的一元一次方程，得，则， 故答案为：1，，； （6）归纳结论：整数部分为0的无限循环小数， 故答案为：整数部分为0的无限循环小数． 3．阅读理解：你知道如何将无限循环小数写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你方法．例题：利用一元一次方程0.7化成分数，设，由于，可知，于是，可解得，即． 请你仿照上述方法完成下列问题： (1)将化成分数形式； (2)将化成分数形式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程和有理数，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）设，根据例题的解法，列出关于x的一元一次方程，解之即可， （2）设，根据例题的解法，列出关于x的一元一次方程，解之即可． 【详解】（1）解：设， 则， ， ， 解得：， 即； （2）解：设， 则， ， ， 解得：， 即． 【一览众山小】 1．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有本，不知长短，引绳度之，余绳三尺寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余3尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，求木头的长为（   ） A．3尺 B．4尺 C．5尺 D．6尺 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设木头长x尺，则绳子长尺，根据“将绳子对折再量木条，木头剩余1尺”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设木头长x尺，则绳子长尺， 根据题意得：， 解得， 即，木头长5尺． 故选：C． 2．古书中有一道题，原文是：今有四人共车，三车空；三人共车，九人步，问人与车共几何？译文是：今有若干人乘车，每4人共乘一辆车，剩下三辆车；若每3人共乘一辆车，剩下9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有人，可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据实际问题列方程，根据车的数量一定，列出方程即可． 【详解】解：依题意，可列方程：． 故选：B 3．如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向航行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的3倍，则它们第2025次相遇在边（  ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设它们第2025次相遇时甲运动的路程为x，则乙的运动路程为，利用甲、乙的路程之和为，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再结合，即可得出它们第2025次相遇在边上． 【详解】解：设它们第2025次相遇时甲运动的路程为x，则乙的运动路程为， 根据题意，得， 解方程，得， ∵， ∴它们第2025次相遇在边上． 故选：D． 4．如图，有8个正方体，每个正方体的棱长为或者，它们的表面积和为，则它们的体积和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方体、一元一次方程的应用等知识点，根据题意求得大、小正方体的个数是解题的关键． 由每个正方体的棱长为或者，可知每个正方体的表面积和体积，然后根据它们的表面积和为列一元一次方程求得正方体个数，最后再求总体积即可． 【详解】解：∵每个正方体的棱长为或者， ∴每个正方体的表面积为或者，每个正方体的体积为或者， 设小正方体的个数为x，则大正方形的个数为， 由题意可得：，解得：， 则， 所以它们的体积和为． 故答案为：． 5．小澄下午6点多外出时，看手表上两指针的夹角为，下午7点前回家时发现两指针的夹角仍为，那么小澄外出的时间总计有 分钟． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角、一元一次方程的应用，时针每分钟走，分针每分钟走，设小澄外出了分钟，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】解：∵时针1小时走，分针1小时走， ∴时针每分钟走，分针每分钟走， 设小澄外出了分钟， 由题意可得：， 解得：， ∴小澄外出的时间总计有分钟， 故答案为：． 6．在课题学习中，老师要求用长为24厘米，宽为16厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒，三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒．          甲：如图1，盒子底面的四边形是正方形，折成纸盒的容积为； 乙：如图2，盒子底面的四边形是正方形，折成纸盒的容积为； 丙：如图3，盒子底面的四边形是长方形，，折成纸盒的容积为； 将这三位同学折成的无盖纸盒的容积、、按从大到小的顺序排列为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，长方体的展开图，掌握长方体的展开图，根据题意列方程是解题的关键． 根据长方体的展开图的特点可直接求出甲，乙的长，宽，高，进而求出容积，设丙长方体的高，根据及长方体的展开图的特点可列出方程，即可求出丙的长，宽，高，进而求出丙的容积，再根据大小排序即可． 【详解】解：由题意知：甲长方体的宽为，高为，长为， 折成纸盒的容积为， 乙长方体的宽为，高为，长为， 折成纸盒的容积为， 设丙长方体的高， ， 宽， 由题意得， 解得：， 丙长方体的高为，宽为，长为， 折成纸盒的容积为， ， 将这三位同学折成的无盖纸盒的容积、、按从大到小的顺序排列为， 故答案为：． 7．【问题背景】数轴上A、B两点表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离，线段的中点M表示的数为． 【情境应用】已知数轴上有A、B两点，点A、B表示的数分别为和1． （1）填空：线段两点之间的距离为 ；线段的中点M表示的数为 ； （2）若数轴上点C表示的数是9，将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 表示的点重合； 【情境拓展】在数轴上A点表示数，B点表示数1，C点表示数9，若点A、点B和点C分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动． （1）若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值； （2）当点C在B点右侧时，是否存在常数m，使的值为定值，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】[情境应用]（1）4，；（2）5；[情境拓展]（1）1或4或16；（2）存在， 【分析】本题考查了数轴，非负数的性质，整式的加减、一元一次方程的性质；利用分类讨论的思想解决问题是解题关键． [情境应用]（1）根据绝对值和有理数运算的性质求解，即可得到线段的中点M表示的数； （2）根据折叠和数轴的性质，首先计算得折痕表示的数，再结合绝对值的性质计算，即可得到答案； [情境拓展]（1）结合题意，根据数轴和一元一次方程的性质计算即可； （2）首先假设存在，首先得到关于的表达式，根据含的项的系数为0列式求解，即可得到答案． 【详解】[情境应用]（1）, 线段的中点M表示的数， 故答案为：4，； （2）∵点C表示的数是9，将数轴折叠，使得A点与C点重合， ∴折痕为中点，表示的数为：， ∴B点与折痕距离 ∴与点B的点表示的数 故答案为：5 [情境拓展]（1）t秒时，A点所在的数为： B点所在的数为： C点所在的数为： 当B点为的中点时，即 ∴ 当C点为的中点时，即 ∴ 当A点为的中点时，即 ∴ ∴或4或16时，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点； （2）假设存在， ∵点C在B点右侧 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 当，即时， ∴存在常数m，使的值为定值，． 8．定义：如果两个一元一次方程的解的绝对值相同，我们就称这两个方程为互为“友好方程”．例如：方程和为互为“友好方程”． (1)若关于的方程与方程互为“友好方程”，求的值； (2)若互为“友好方程”的两个方程的两个解的差为10，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（、为常数）与关于的方程都互为“友好方程”，求的值． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是根据“友好方程”的定义，一元一次方程的解，进行解答即可． （1）分别求出表示出方程与方程的解，再结合“友好方程”的定义得到，进而求解，即可解题； （2）结合“友好方程”的定义，得到互为“友好方程”的两个方程的两个解互为相反数，且一个为，另一个为，再根据情况建立等式求解，即可解题． （3）先解出的解，再根据“友好方程”的定义可得或，结合题意进而得到，的值，即可列式求解和的值． 【详解】（1）解：因为关于的方程与方程互为“友好方程”， 且方程的解为，方程的解为， 所以， 所以有或， 解得或， 所以的值为或； （2）解：因为互为“友好方程”的两个方程的两个解的差为10， 又互为“友好方程”的两个方程的两个解的绝对值相同， 所以互为“友好方程”的两个方程的两个解互为相反数，且一个为，另一个为， 因为其中一个解为， 所以有或， 解得或， 综上所述，的值为或； （3）解：方程解得， 因为关于的方程（、为常数）与关于的方程都互为“友好方程”， 所以当时，有， 整理得， 因为取任何有理数， 所以，， 解得，， 所以； 当时，有， 整理得， 因为取任何有理数， 所以，， 解得，， 所以； 综上所述，的值为或． 9．如图1，点是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将它绕点以每秒顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕点以每秒逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为秒． (1)若，，秒时，________； (2)若，，当射线与三角板重合时，所经历的时间是多少秒？ (3)如图2，在运动过程中，射线始终平分．若，，当射线中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，求出此时的值． 【答案】(1)60 (2)6秒 (3)12或30或48 【分析】（1）根据题意，当，，秒时，由代值求解即可得到答案； （2）根据题意，当，时，分两种情况：当与边重合时为秒；当与边重合时为秒；分别由平角定义列方程求解即可得到重合时间，从而得到当射线与三角板重合时，所经历的时间； （3）根据题意，分三种情况：当是的角平分线时；当是的角平分线时；当是的角平分线时；作出图形，数形结合由角度之间的关系列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当，，秒时， ， ， ； 故答案为：60； （2）解：当，时，射线与三角板重合分两种情况： 当与边重合时为秒时， ， ， ； 当与边重合时为秒时， ， ； ， 当射线与三角板重合时经历6秒； （3）解：根据题意，分三种情况： 当是的角平分线时，如图所示： ， ， 又始终平分， ， ， ，解得； 当是的角平分线时，如图所示： ， 又始终平分， ， 此时射线与重合， ， ，解得； 当是的角平分线时，如图所示： ， 又始终平分， ， ， 又， ，解得； 故答案为：12或30或48． 【点睛】本题考查旋转性质、角平分线定义、平角定义、角的和差倍分关系及一元一次方程的应用等知识，根据题意，由旋转性质及角平分线、平角定义列出方程求解是解决问题的关键． 10．已知：是关于的二次三项式，且、、满足．、、所对应的点分别为、、． (1)则，_____． (2)若点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．设运动时间为秒，请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)如图，若将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们把在折线数轴上线段、、三段距离的和称为，两点间的路程．动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在上坡段运动期间速度变为原来的一半．点从点出发的同时，点从点出发，以个单位长度秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在下坡段运动期间速度变为原来的倍，之后在段又以个单位长度秒的速度运动．当点到达点时，点，均停止运动．设运动的时间为秒．在某一时刻，、两点在“折线数轴”上的路程为个单位．求出此时的值． 【答案】(1)，； (2)的值不会随着时间t的变化而改变，理由见解析； (3)当或时，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位． 【分析】（1）根据多项式的定义求得，再根据非负数的性质即可求得； （2）根据数轴表示数的意义，用含有的代数式表示，再根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （3）设点运动的路程为，根据题意得：当时，，此时点表示的数为，当时，，此时点表示的数为，设点运动的路程为，根据题意得：当时，，此时点表示的数为，当时，，此时点表示的数为，当时，，此时点表示的数为，分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵是关于x的二次三项式， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：由（1）可得： ， ， 设运动时间为秒，由题意可得：秒后， ， ， ∴， ∴的值不会随着时间t的变化而改变； （3）解：由（1）可知，，，， ∴， 设点运动的路程为，根据题意得： 当时，，此时点表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， 设点运动的路程为，根据题意得： 当时，，此时点表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， ∵P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位， 当点与点相遇前，即点在点的左侧， 时，，，则， 时，，，则， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， 当点与点相遇后，即点在点的右侧， 当时，， 整理得：， 解得：， 当时，，即， ∴此种情况不存在， 综上，当或时，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位． 【点睛】本题综合考查了多项式的定义，非负数的性质，数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，掌握相关知识是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$