第5章 一元一次方程（中等类型）-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版2024新教材）

第5章 一元一次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元一次方程的应用——年龄问题 【解惑】小明和他父亲的年龄之和为，又知父亲年龄是小明年龄的倍少岁，则他父亲的年龄为（    ）岁． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设小明的年龄为岁，则他父亲的年龄为岁，由题意：小明和他父亲年龄的和为岁，列出一元一次方程，解方程即可．解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【详解】解：设小明的年龄为岁，则他父亲的年龄为岁， 由题意得：， 解得：， ∴（岁）， ∴他父亲的年龄为岁． 故选：C． 【融会贯通】 1．今年儿子8岁，父亲32岁，年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，根据题意可得方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解本题的关键在理清题意，找出等量关系，正确列出方程． 根据题意，分别得出a年后父亲的年龄为岁，a年后儿子的年龄为岁，然后再根据题意：a年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，列出方程，即可得出答案． 【详解】解：a年后父亲的年龄为岁，a年后儿子的年龄为岁， ∵a年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍， ∴． 故选：B． 2．一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已经是113岁的老寿星了！”那么小明爷爷的年龄为 岁． 【答案】62 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设小明的年龄为x岁，则小明爷爷比小明大岁，小明爷爷的年龄为岁，根据“小明到爷爷的年龄时，爷爷已经113岁了”，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，进一步计算即可求出结论． 【详解】解：设小明的年龄为x岁，则小明爷爷比小明大岁，小明爷爷的年龄为岁， 根据题意得：， 解得：， ∴（岁）， ∴小明爷爷的年龄为62岁． 故答案为：62． 3．兄弟俩比年龄，哥哥说：“当我是你今年岁数的那一年，你刚5岁”，弟弟说：“当我长到你今年的岁数时，你就17岁了”，哥哥今年 岁． 【答案】13 【分析】此题重点考查一元一次方程的应用，正确地用代数式表示哥哥现在的年龄是解题的关键． 设兄弟两人的年龄差是岁，则哥哥现在的年龄是岁，当弟弟长到哥哥今年的岁数时，哥哥的年龄为岁，于是列方程得，解方程求出的值，再求出代数式的值即得到问题的答案． 【详解】解：设兄弟两人的年龄差是岁，则哥现在的年龄是岁， 根据题意得， 解得， ， 哥哥今年13岁， 故答案为：13． 类型二、一元一次方程的应用——数字问题 【解惑】一个两位数，个位数字与十位数字的和为，如果将个位数字与十位数字对调后所得新数比原数大，设原两位数的十位数字是，则可列方程（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设原两位数的十位数字是，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设原两位数的十位数字是， 由题意得，， 故选：． 【融会贯通】 1．我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”，它是中国重要的文化遗产．其中洛书（如图1）可以用三阶幻方表示（如图2），就是将已知9个数填入的方格中，使每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有与图2相同的数字之和的规律，给定、、、中一个字母的值不能补全图3的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，一元一次方程的应用，分别给定、、、中一个字母的值，利用方程分别求解图3中未知的数据，从而可得答案． 【详解】解：如图，当， ， ∴②， ∴每一行的和， ∵， ∴，， ∵， ∴③， ∴， ∴，， ∴每一行的和为：， ∴，①， 如图， ∴A不符合题意； 如图，当时，则②， ∴②， ∵， ∴， ∵②， ∴②， ∴每一行的和为：， ∴，， ∴①， ③， 如图， ∴C不符合题意； 如图，当时，则， ∴， ∵， ∴， ∴每一行的和为：， ∴， ①， ③， ， ②， 如图， ∴D不符合题意； 如图，当时，则每一行的和为：， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴给定的值不能补全图3． 故选：B 2．一个两位数，个位数字比十位数字大，交换两数位置得到新的两位数与原两位数之和等于，这个两位数是 ． 【答案】 【分析】本题考查是一元二次方程的应用—数字问题，设十位数字是，个位数字是，根据“交换两数位置得到新的两位数与原两位数之和等于”列方程求解．正解理解题意，找出等量关系并列出方程是解题的关键． 【详解】解：设十位数字是， 依题意，得：， 解得：， ∴， ∴这个两位数是． 故答案为：． 3．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则图中的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设每个三角形的三个顶点上的数字之和为x，列方程求出的值x，再根据题意得出的值即可． 【详解】解：设每个三角形的三个顶点上的数字之和为x， 根据题意列方程得，， 解得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 类型三、一元一次方程的应用——比赛积分问题 【解惑】英语竞赛共20道试题，每道题有4个选项，只有一个正确选项，选对得5分，不选或错选倒扣1分，已知小华得了76分，设小华选对了道题，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，得到等量关系． 根据小华得了76分，每道题选对得5分，不选或错选倒扣1分，可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】解 ：设小华选对了x道题，则不选或错选道题， 由题意可得：， 故选：A． 【融会贯通】 1．一次足球比赛，每队均赛15场，胜一场记2分，平一场记1分，负一场记0分，某队所胜场数是所负场数的2倍，得了19分，则负的场数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设某队负的场数为场，则所胜场数为场，平场数为场，根据该队得了19分列出方程求解即可． 【详解】解：设某队负的场数为场，则所胜场数为场，平场数为场，即场， 根据题意得，， 解得， 答：负的场数为4场． 故选：D． 2．学校组织了一次知识竞赛，共有25道题，每一道题答对得5分，答错或不答都扣3分，小明得了85分，那么他答对的题数是 道． 【答案】20 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设小明答对了道题，则答错或不答道题，利用总分答对题目数答错或不答题目数，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设小明答对了道题，则答错或不答道题， 根据题意得：， 解得：， 小明答对了20道题． 故答案为：20． 3．一份选择题训练共25道题，规定每对一题得4分，不选或错选扣1分，如果一个学生得80分，则他选对了 题． 【答案】21 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设他选对题，则选错题，根据“对一题得4分，不选或选错扣1分，学生得80分”列出方程，解方程即可，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：设他对题，则错题， 由题意得：， 解得：， 故答案为：21． 类型四、一元一次方程的应用——古代问题 【解惑】《算法统宗》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一个问题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则剩下7人无房可住；若每间住9人，则剩下一间无人住．设店中共有间房，根据题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理清题中的等量关系是解题的关键． 根据“每间住7人，则剩下7人无房可住；若每间住9人，则剩下一间无人住”．设店中共有间房，以人数不变为等量关系，列出方程即可． 【详解】解：设店中共有间房，根据题意，得 ． 故选：C． 【融会贯通】 1．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有这样一个问题，大意为：今有墙高9尺，瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长7寸；葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长1尺，问经过几天两蔓相遇？（1尺寸）若设经过x天两蔓相遇，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．根据等量关系“墙高9尺，瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长7寸；葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长1尺”列出方程即可． 【详解】解：由题意可得， ， 即， 故选：C． 2．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个数学问题，其大意是：现有一根竹竿和一条绳索，用绳索去量竹竿，绳索比竹竿长5尺；若将绳索对折去量竹竿，绳索就比竹竿短5尺，若设竹竿长为x尺，则所列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据绳索和竹竿之间的关系，可得出绳索长为尺，根据“将绳索对折去量竹竿，绳索就比竹竿短5尺”，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：∵用索去量竿，索比竿长5尺， ∴索长为尺， 又∵将绳索对折去量竹竿，绳索就比竹竿短5尺， ∴． 故答案为：． 3．《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺：如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？假设井深为尺，则列方程为 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．根据题意，利用绳子的长度固定不变，即可得出关于的一元一次方程． 【详解】解：设井深为尺， 根据题意得： 故答案为：． 类型五、一元一次方程的应用——和差倍分问题 【解惑】某班同学参加搬花瓶劳动，搬大花瓶人数比搬小花瓶人数的一半多3人，若从搬小花瓶人员中抽出6人搬大花瓶，则搬小花瓶和搬大花瓶的人数相等，则原来搬小花瓶有（　　）人． A．18 B．21 C．30 D．36 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键的找到等量关系，列出方程并解答． 设原来搬小花瓶人数是人，根据从搬小花瓶人员中抽出6人运土，则搬小花瓶和搬大花瓶的人数相等列出方程，进而求出即可． 【详解】解：设原来搬小花瓶人数是人，则搬大花瓶人数是人， 由题意，得， 解得． 则 故选：A 【融会贯通】 1．某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车辆，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出题目中的数量关系是解题关键．设该车企去年5月交付新车辆，根据“今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆”列出方程即可． 【详解】解：设该车企去年5月交付新车辆， 根据题意得：， 故选：A． 2．已知七年级某班50位学生种树127棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树．设男生有人，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了从实际问题抽象出一元一次方程，根据共种树127棵列方程即可． 【详解】解：设男生有人，则女生有人，由题意，得 ． 故答案为：． 3．学位举动的美术展览中，水彩画和蜡笔画有96幅，蜡笔画数量比水彩画的3倍还多12幅．蜡笔画和水彩画各多少幅？（用方程解） 【答案】蜡笔画有75幅，水彩画有21幅． 【分析】本题考查了含有两个未知数的应用题，这类题用方程解答比较容易，关键是找准数量间的相等关系，设一个未知数为x，另一个未知数用含x的式子来表示，进而列并解方程即可．设水彩画有x幅，则蜡笔画有幅，根据等量关系：水彩画的幅数+蜡笔画的幅数幅，列方程解答即可． 【详解】解：设水彩画有x幅． ， ， ， 解得：， （幅） 答：蜡笔画有75幅，水彩画有21幅． 类型六、一元一次方程的应用——日历问题 【解惑】如图是2025年1月的月历，用形如“工”字型框在月历任意框出7个数（如阴影部分所示），这7个数的和可能是（   ） A．35 B．46 C．70 D．84 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据图中的数，找出规律，再计算求解，依次判断即可． 【详解】解：设最中间的数为x， 则， ∴这7个数的和为7的倍数， A、，结合图形得，不符合题意； B、，不是整数，不符合题意； C、，结合图形得，符合题意； D、，结合图形得，不符合题意； 故选：C． 【融会贯通】 1．在如图的年月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设竖列上中间的数为，其它的两个数分别为，，表示出三数之和，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，结合月份月历表中数的特点可知、的值要在之内，即可得出结论． 【详解】解：设竖列上中间的数为，其它的两个数为，， 三个数之和为， A、当时，解得：，则，，符合月历表中数的特点，故A选项不符合题意； B、当时，解得：，则，，符合月历表中数的特点，故B选项不符合题意； C、当时，解得：，则，，符合月历表中数的特点，故C选项不符合题意； D、当时，解得：，则，，，不符合月历表中数的特点，故D选项符合题意 故选：D． 2．如图，在日历中，用的九宫方格取9个数，这9个数的和是135，那么这9个数中最小的数是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设最小的数为x，根据日历的特点，分别用x表示出其他8个数，进而根据这9个数的和是135建立方程求解即可． 【详解】解：设最小的数为x，则其他8个数分别为， 由题意得，， 解得， ∴这9个数中最小的数是7， 故答案为：7． 3．把1，2，3，4，5，…按如图所示的方式排列成一个表，用一个正方形框在表中任意框4个数，记左上角的一个数为． (1)另外三个数分别用含的式子表示出来，从小到大依次是_____，_____，_____． (2)当被框住的4个数之和等于416时，的值是多少？ (3)能否框住这样的4个数，使它们的和等于324？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；；； (2)x的值为100 (3)不能框住4个数，使它们的和等于324，理由见解析 【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用； （1）左右相邻两个数差1，上下相邻的两个数相差为7，据此表示其他三个数； （2）根据题意列出，解一元一次方程求出x的值； （3）令，求出x的值，进而作出判断． 【详解】（1）解：由图表可知：左右相邻两个数差1，上下相邻的两个数相差为7，左上角的一个数为x， 则另外三个数用含x的式子从小到大依次表示；；； （2）解：根据题意可得：， ， 解得， 答：x的值为100； （3）解：假设， 解得，77在第7列，但78在第1列 答：不能框住4个数，使它们的和等于324． 类型七、一元一次方程的应用——配套问题 【解惑】如图，“官渡粑粑”和“官渡饵块”是两种独具特色的云南小吃．某食品加工厂制作两种特色小吃成套售卖，每个套装含2个粑粑和3个饵块，该食品加工厂每天可制作400个粑粑或者600个饵块，因保质期较短，规定每6天为一个制作周期，请问在一个周期内，应如何安排制作时间，才能保证两种小吃正好成套？设制作“官渡粑粑”的时间为天，则根据题意可列出一元一次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设制作“官渡粑粑”的时间为天，则制作“官渡饵块”为天，可得“官渡粑粑”的数量为个，“官渡饵块”的数量为个，再结合每个套装含2个粑粑和3个饵块可得答案． 【详解】解：设制作“官渡粑粑”的时间为天，则制作“官渡饵块”为天， ∴， 故选：D． 【融会贯通】 1．用的原材料可制作5个甲产品或13个乙产品，4个甲产品和7个乙产品组成一套商品出售，现有原材料用以生产两种产品，应如何分配原材料，才能使产成的产品恰好配套成商品？根据题意设制作甲产品所用的原材料体积为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程．根据题意表示出甲产品与乙产品，再利用4个甲产品和7个乙产品组成一套商品得出等式即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：C． 2．用铝片做饮料瓶，每张铝片可制瓶身16个或制瓶底43个，一个瓶身与两个瓶底配成一套，现有150张铝片，用 张制瓶身， 张制瓶底可以正好制成整套的饮料瓶． 【答案】 86 64 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设用张制瓶身，则用张制瓶底，根据一个瓶身与两个瓶底配成一套，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设用张铝片制瓶身，则用张铝片制瓶底，由题意得， ，解得， 则， 即用86张制瓶身，64张制瓶底可以正好制成整套的饮料瓶． 故答案为：86，64 3．七年级一班共有学生45人，其中男生人数比女生人数的2倍少15人． 劳动课上，老师组织同学们动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身10个或盒底30个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)每个盒身匹配2个盒底，问怎样分配人数，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套？ 【答案】(1)七年级一班有男生25人，女生20人 (2)需要人做盒身，则人做盒底，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用， （1）设七年级一班有女生人，则有男生人，根据七年级一班共有学生人，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设需要人做盒身，则人做盒底，根据制作盒底的总数量是制作盒身总数量的2倍，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设七年级一班有女生人，则有男生人，根据题意得， 解得 ∴ 答：七年级一班有男生25人，女生20人； （2）解：设需要人做盒身，则人做盒底，根据题意得， 答： （人） 答：需要人做盒身，则人做盒底，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 类型八、一元一次方程的应用——工程问题 【解惑】一项工程，甲队单独做需要天完成，乙队单独做需要天完成，两队同时工作天后，乙队采用新技术，工作效率提高了，自乙队采用新技术后，两队还需要同时工作多少天才能完成这项工程？ 【答案】两队还需同时工作天才可完成这项工程． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，设两队还需同时工作天才可完成这项工程，根据题意可得 ，然后解方程即可，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设两队还需同时工作天才可完成这项工程， 根据题意可得：， 解得：， 答：两队还需同时工作天才可完成这项工程． 【融会贯通】 1．整理一批图书，由一个人整理需要完成．现计划由一部分人先整理，然后增加5人与他们一起整理，完成这项工作． (1)假设这些人的工作效率相同，每人每小时可以完成此项工作的 ； (2)在（1）的条件下，应先安排多少人进行整理？（要求∶列方程解答） 【答案】(1) (2)应先安排4个人进行整理 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程． （1）把总工作量设为1，则人均效率（一个人完成的工作量）为． （2）设先安排x个人进行整理，依题意列出方程 ，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解： 则每人每小时可以完成此项工作的， 故答案为：． （2）解：设先安排x个人进行整理，依题意列方程得： 答：应先安排4个人进行整理． 2．某项工程，若由甲工程队单独施工需要3周，每周耗资8万元，若由乙工程队单独施工需要6周，每周耗资3万元．若甲、乙两工程队全程合作施工，需要几周完成？共需耗资多少万元？ 【答案】甲、乙两工程队合作施工，需要2周完成，共耗资22万元 【分析】本题考查一元一次方程的应用．关键是得到符合题意的相等关系．用到的知识点为：工作效率工作时间工作总量．根据题意可得甲的工作效率为，乙的工作效率为，根据甲、乙合作的工作效率工作时间列出方程求解后即可得到甲、乙合作的工作时间；甲、乙每天耗资之和乘以天数即为所求的费用． 【详解】解：设甲、乙两工程队合作施工，需要周完成． 根据题意，得：． 解这个方程得：． （万元）． 答：甲、乙两工程队合作施工，需要2周完成，共耗资22万元． 3．徒骇河开展清淤工程．计划租用甲、乙两车队清理淤泥，已知甲车队单独运完需要20天，乙车队单独运完需要30天．乙车队先运了5天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的淤泥．甲、乙两车队合作还需要多少天运完？ 【答案】10天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设甲、乙两车合作还需要x天运完，根据甲车完成的工作量+乙车完成的工作量=总工程量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲、乙两车合作还需要x天运完， ， 解得：， 答：甲、乙两车合作还需要10天运完． 类型九、一元一次方程的应用——行程问题 【解惑】如图，港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥，从香港口岸到珠海及澳门口岸，全程，小张驾车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为，在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为和，从香港口岸行驶到东人工岛的时间是通过海底隧道时间的1．25倍，通过海底隧道的时间比通过主桥的时间少． 港珠澳大桥主体工程示意图 根据以上信息回答下列问题： (1)设小张驾车通过海底隧道的时间是，补全下列表格（用含x的代数式表示）： 香港口岸→东人工岛 东人工岛→西人工岛 （通过海底隧道） 港珠澳大桥主桥 速度 96 71 90 时间 x 路程 (2)在（1）的条件下，求小张驾车通过海底隧道的时间； (3)港珠澳大桥通车前，小张从香港到珠海、澳门，走陆路途经东莞虎门大桥，车程，走水路乘高速客轮．通车后，小张驾车经港珠澳大桥从香港口岸到珠海及澳门口岸所用时间，比通车前走水路乘高速客轮从香港到珠海、澳门节省了多少分钟？ 【答案】(1)， (2) (3)节省了 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式． （1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出小张驾车通过港珠澳大桥主桥的时间及路程； （2）找准等量关系，正确列出一元一次方程； （3）根据各数量之间的关系，列式计算． 【详解】（1）∵小张驾车通过海底隧道的时间是xh，通过海底隧道的时间比通过主桥的时间少0.15h， ∴小张驾车通过主桥的时间是， ∵在港珠澳大桥主桥上行驶的平均速度为， ∴港珠澳大桥主桥的长度为． 故答案为：，； （2）根据题意得： 解得：． 答：小张驾车通过海底隧道的时间是0.1h； （3）根据题意得： ． 答：节省了31.5min． 【融会贯通】 1．一艘轮船从甲码头顺流而行到达乙码头，用了，再从乙码头逆流而行到达甲码头，用了，已知该轮船在静水中的速度为30km/，水流的速度是多少？甲、乙码头相距多少千米？ 【答案】水流的速度为千米/时，甲、乙码头相距千米 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设水流的速度为千米/时，则顺流的速度为千米/时，逆流的速度为千米/时，根据顺流、逆流时行驶路程相等列方程，解方程即可．根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设水流的速度为千米/时，根据题意得， ． 解得：． 甲、乙码头距离为． 答：水流的速度为千米/时，甲、乙码头相距千米． 2．小明从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路．假设他始终保持上坡每分钟走，平路每分钟走，下坡路每分钟走，则他从家里到学校需，从学校到家里需，解答下列问题： ①小明家离学校有多远？ ②请根据题中情境，提出一个问题，不要求解答 【答案】①小明家离学校米；②小明从家到学校，再由学校到家，平均速度是多少？（可以改变速度，也可以改变时间，还可以改变路程的大小与性质等等） 【分析】本题考查二元一次方程组在实际生活中的应用，解题的关键是根据题意抽象出二元一次方程组； ① 分析题意，设小明家到学校的上坡路长为x米，平路为y米，根据题意列方程求解即可； ②根据题中情境，提出一个问题即可； 【详解】解：①设小明家到学校的上坡路长为x米，平路为y米，由题意得： 解得 答：小明家离学校米． ②小明从家到学校，再由学校到家，平均速度是多少？ （可以改变速度，也可以改变时间，还可以改变路程的大小与性质等等，符合题中情境，有理即可）． 3．列方程解应用题：A站和B站相距，一列慢车从A站开出，速度为，一列快车从B站开出，速度为． (1)若两车相向而行，同时出发，行驶几小时后两车相遇？ (2)若两车同向而行，慢车在前，慢车开出后快车再出发，快车开出几小时后追上慢车？ 【答案】(1)10小时 (2)2小时 【分析】本题主要查了一元一次方程的实际应用： （1）设后两车相遇，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设快车开出后追上慢车，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设后两车相遇，根据题意得：     ， 解得， 答：行驶10小时后两车相遇； （2）解：设快车开出后追上慢车，根据题意得： ， 解得： 答：快车开出2小时后追上慢车． 类型十、一元一次方程的应用——销售问题 【解惑】小海家在斗南花卉市场经营一家鲜花商店，他统计了元旦期间玫瑰花和百合花的销售情况，如下表： 统计日期 玫瑰花（束） 百合花（束） 总售价（元） 12月29日 20 0 400 12月30日 30 10 900 12月31日 60 40 2400 请你结合所学知识，解决下列问题： (1)一束玫瑰花和一束百合花的售价各是多少元？ (2)元旦节当天小海家在价格不变的情况下共售出玫瑰花和百合花130束，总售价为3100元，请问他家元旦节售出玫瑰花多少束？（列方程解答） 【答案】(1)一束玫瑰花的售价为元，一束百合花的售价为元． (2)他家元旦节售出玫瑰花束． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用， （1）由12月29日销售情况可知，一束玫瑰花的售价为元，由12月30日销售情况可知，一束百合花的售价为元； （2）设他家元旦节售出玫瑰花束，则销售百合花束．可得．再解方程即可． 【详解】（1）解：由12月29日销售情况可知，一束玫瑰花的售价为元， 由12月30日销售情况可知，一束百合花的售价为（元）， ∴一束玫瑰花的售价为元，一束百合花的售价为元． （2）解：设他家元旦节售出玫瑰花束，则销售百合花束． 根据题意，得． 解得． 答：他家元旦节售出玫瑰花束． 【融会贯通】 1．列方程解应用题：某水果店计划购进A、B两种水果下表是A、B这两种水果的进货价格： 水果品种 A B 进货价格（元） 10 15 (1)若该水果店要花费600元同时购进两种水果共，则购进A、B两种水果各为多少？ (2)若水果店将A种水果的售价定为14元，要使购进的这批水果在完全售出后达到的利润率，B种水果的售价应该定为多少？ 【答案】(1)购进A水果30千克，购进B水果20千克 (2)24元千克 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设购进A水果x千克，则购进B水果千克，根据等量关系：一共花费600元列出方程求解即可； （2）设B种水果的售价应该定为y元千克，根据等量关系：购进的这批水果在完全售出后达到的利润率，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设购进A水果x千克，则购进B水果千克，依题意得： ， 解得：， ． 答：购进A水果30千克，购进B水果20千克； （2）解：设B种水果的售价应该定为y元千克，依题意有 ， 解得：． 答：B种水果的售价应该定为24元千克． 2．百花商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价50元，售价70元；乙种商品每件进价40元，盈利． (1)甲种商品每件的利润为_________元，乙种商品每件的售价为_________元； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好总进价为元，求购进甲种商品多少件； (3)在（2）的条件下，该商场对甲种商品按售价打9折促销，乙种商品售价不变．若两种商品全部销售完，可获利润多少元． 【答案】(1)， (2)购进甲种商品60件 (3)元． 【分析】本题考查的是有理数的混合运算的实际应用，一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键； （1）根据利润等于售价减去进价可得甲种商品的利润，再利用进价乘以可得乙种商品的售价； （2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，利用总进价为元，再建立方程求解即可； （3）由甲种商品与乙种商品的利润之和可得答案． 【详解】（1）解：甲种商品每件的利润为元，乙种商品每件的售价为元； 故答案为：， （2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件， 由题意得，， 解得：． 答：购进甲种商品60件． （3） ； 答：若两种商品全部销售完，可获利润元． 3．某超市在“元旦”活动期间，推出如下购物优惠方案：①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠；②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠；③一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受八折优惠；小敏在该超市两次购物分别付了60元和288元，如果小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏需付款多少元？ 【答案】小敏需付款304元或336元 【分析】分别求出第一次和第二次消费金额，即可求解． 本题考查了一元一次方程的应用，求出第二次消费金额是解题的关键． 【详解】解：第一次购物显然没有超过100元， 即在第一次消费60元的情况下，他的实质购物价值只能是60元． 第二次购物消费288元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）： 第一种情况：他消费超过100元但不足350元，这时候他是按照9折付款的． 设第二次实质购物价值为x元，那么依题意有， 解得：． 第二种情况：他消费不低于350元，这时候他是按照8折付款的． 设第二次实质购物价值为a元，那么依题意有， 解得：． 即在第二次消费288元的情况下，他的实际购物价值可能是320元或360元． 综上所述，他两次购物的实质价值为或，均超过了350元． 因此均可以按照8折付款：（元）或（元）， 答：小敏需付款304元或336元． 【一览众山小】 1．某工程甲独做需6天完成，乙独做需8天完成，现在由甲先做2天，然后甲和乙合作共同完成．若设完成此项工程共需x天，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，先求得甲乙两人的工作效率分别为、，然后根据题意列方程求解即可． 【详解】解：∵工程甲独做需6天完成，乙独做需8天完成， ∴甲的工作效率为，乙的工作效率为， 设完成此项工程共需x天， 根据题意，得， 故选：A． 2．《九章算术》被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”，其中有一题为“今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安，问凡何日相逢？“其大意如下：甲从长安出发，用5天时间可到达齐国；乙从齐国出发，用7天时间可到达长安．若乙先从齐国出发2天，甲才从长安出发，问甲经过多少天与乙相遇？设甲经过x天后与乙相遇，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查一元一次方程和实际应用，设甲经过x天后与乙相遇，根据题意列出方程即可，解题关键是读懂题意，根据数量关系列出方程． 【详解】解：设甲经过x天后与乙相遇， 根据题意得：， 故选D． 3．如图，星期日下午点，小红开始练习跳绳，结束时，她看到时钟上的分针与时针刚好重合．假设小红跳绳时间不超过一个小时，则她跳绳时间（分钟）约为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了钟面角，一元一次方程的应用，设她跳绳时间为分钟，根据分针每分钟转，时针每分钟转，列出方程解答即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设她跳绳时间为分钟， ∵分针每分钟转，时针每分钟转， ∴， 解得， ∴她跳绳时间（分钟）约为分钟， 故选：． 4．为迎接学校举办的传统文化节，初一年级某班计划做一批“中国结”，若每人做6个，则比计划多做9个，若每人做4个，则比计划少7个．设班级共有x个学生，可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用（其他问题），读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键． 根据计划量相等列方程即可． 【详解】解：设班级共有x个学生，根据题意得： ， 故答案为：． 5．一商店在某一时间以100元的价格卖出一件衣服，盈利25%，则这件衣服原价是 元． 【答案】80 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设这件衣服原价是x元，根据售价原价利润率原价列方程求解即可． 【详解】解：设这件衣服原价是x元， 根据题意，得， 解得， 即这件衣服原价是80元． 故答案为：80． 6．已知，，，且点A、B、C在同一直线上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何图中角度的计算、一元一次方程的应用，由题意可得，从而得出关于的方程，解方程即可得解． 【详解】解：∵点A、B、C在同一直线上， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 7．甲、乙两队相约沿相同的路线徒步，徒步的路程为，甲队步行速度为，乙队步行速度为，甲队出发后，乙队才出发．问乙队需要多长时间可以追上甲队？ 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练根据题意列方程求解是解题的关键． 设x小时后乙队可以追上甲队，根据路程相等列方程求解即可． 【详解】解∶设小时后乙队可以追上甲队，根据题意得，， 解得． 答∶2小时后乙队可以追上甲队． 8．甲队的8名工人一月份完成的总工作量比此月人均定额工作量的5倍少30件，乙队的10名工人一月份完成的总工作量比此月人均定额工作量的2倍多36件，若两队工人此月完成的总工作量相等． (1)此月人均定额工作量是多少件？ (2)甲乙两队人均实际工作量各为多少件？ 【答案】(1)件 (2)此月人均定额工作量是22件，甲队人均实际工作量是10件，乙队人均实际工作量是8件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系列出方程是解答本题的关键． （1）设此月人均定额工作量是x件，根据两队工人此月完成的总工作量相等列方程求解即可； （2）根据平均数的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：设此月人均定额工作量是x件        解得 答：此月人均定额工作量是22件 （2）解：总工作量为（件） 甲队人均实际工作量为（件） 乙队人均实际工作量为（件） 答：甲队人均实际工作量是10件，乙队人均实际工作量是8件 9．某市对居民生活用水实行阶梯水价，每年收费标准如下表： 阶梯 家庭每年用水量 水价（元/立方米） 第一阶梯 不超过x立方米的部分 a 第二阶梯 超过x立方米但不超过300立方米的部分 4.4 第三阶梯 超过300立方米的部分 7.1 已知小明家2024年共用水190立方米，处于第一阶梯，共交水费646元；小丽家2024年共用水241立方米，处于第二阶梯，共交水费元． (1)填空：__________，__________； (2)2024年小慧家共交水费1246元，求小慧家2024年的用水量． 【答案】(1)，216 (2)小慧家2024年的用水量为320立方米． 【分析】此题重点考查一元一次方程的应用，正确地用代数式表示用水190立方米应付的水费并且求出a的值是解题的关键． （1）由用水190立方米，处于第一阶梯，共交水费646元，得，求得；而用水241立方米，处于第二阶梯，共交水费元，据此列方程，求得，于是得到问题的答案； （2）设小慧家2024年的用水量为y立方米，由算式求得用水300立方米时的水费为1104元，可知小慧家2024年的用水量超过300立方米，则列方程，解方程求出y的值即可． 【详解】（1）解：∵小明家2024年共用水190立方米，处于第一阶梯，共交水费646元， ∴， 解得， ∴第一阶梯的水价为元/立方米， ∵小丽家2024年共用水241立方米，处于第二阶梯，共交水费元， ∴， 解得， 故答案为：，216； （2）解：设小慧家2024年的用水量为y立方米， ∵（元）， ∴用水300立方米时，水费为1104元， ∵2024年小慧家共交水费1246元，且1246元>1104元， ∴小慧家2024年的用水量超过300立方米， 根据题意得， 解得， 答：小慧家2024年的用水量为320立方米． 10．旅行社组织了甲、乙两个旅游团到游乐场游玩，两团总报名人数为120人，其中甲团人数不少于70人，游乐场规定一次性购票50人以上可享受团队票．门票价格如下： 门票类别 散客票 团队票A 团队票B 购票要求 超过50人但不超过100人 超过100人 票价 80元人 70元人 60元人 旅行社经过计算后发现，如果甲、乙两团合并成一个团队购票比分开购票节约300元． (1)求甲、乙两团的报名人数； (2)当天到达游乐场后发现团队票价格作了临时调整，团队票A每张降价a元，团队票B每张降价元，同时甲团队因故缺席了30人，甲、乙两团合并成一个团队购票比分开购票节约300元．求a的值． 【答案】(1)甲团105人，乙团15人 (2)10 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，分类讨论，根据题目中的数量关系列方程是解题的关键； （1）设甲团x人，则乙团人，由甲团人数不少于70人，可知乙团人数不超过50人，分两种情况讨论，，，再根据甲、乙两团合并成一个团队购票比分开购票节约300元列方程求解即可； （2）根据甲团队因故缺席了30人，可知甲团队人数为人，总人数为人，再根据甲、乙两团合并成一个团队购票比分开购票节约300元列方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲团x人，则乙团人， 甲团人数不少于70人，两团总报名人数为120人， 乙团人数不超过50人， 当时， 由题意，得， 解得：（舍去）， 当时， 由题意，得， 解得：， 人， 答：甲团105人，乙团15人； （2）解：甲团队因故缺席了30人， 甲团队人数为人，总人数为人， 由题意得：， 解得：， 答：a的值为10． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 一元一次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元一次方程的应用——年龄问题 【解惑】小明和他父亲的年龄之和为，又知父亲年龄是小明年龄的倍少岁，则他父亲的年龄为（    ）岁． A． B． C． D． 【融会贯通】 1．今年儿子8岁，父亲32岁，年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，根据题意可得方程为（    ） A． B． C． D． 2．一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已经是113岁的老寿星了！”那么小明爷爷的年龄为 岁． 3．兄弟俩比年龄，哥哥说：“当我是你今年岁数的那一年，你刚5岁”，弟弟说：“当我长到你今年的岁数时，你就17岁了”，哥哥今年 岁． 类型二、一元一次方程的应用——数字问题 【解惑】一个两位数，个位数字与十位数字的和为，如果将个位数字与十位数字对调后所得新数比原数大，设原两位数的十位数字是，则可列方程（ ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”，它是中国重要的文化遗产．其中洛书（如图1）可以用三阶幻方表示（如图2），就是将已知9个数填入的方格中，使每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有与图2相同的数字之和的规律，给定、、、中一个字母的值不能补全图3的是（   ） A． B． C． D． 2．一个两位数，个位数字比十位数字大，交换两数位置得到新的两位数与原两位数之和等于，这个两位数是 ． 3．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则图中的值为 ． 类型三、一元一次方程的应用——比赛积分问题 【解惑】英语竞赛共20道试题，每道题有4个选项，只有一个正确选项，选对得5分，不选或错选倒扣1分，已知小华得了76分，设小华选对了道题，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．一次足球比赛，每队均赛15场，胜一场记2分，平一场记1分，负一场记0分，某队所胜场数是所负场数的2倍，得了19分，则负的场数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．学校组织了一次知识竞赛，共有25道题，每一道题答对得5分，答错或不答都扣3分，小明得了85分，那么他答对的题数是 道． 3．一份选择题训练共25道题，规定每对一题得4分，不选或错选扣1分，如果一个学生得80分，则他选对了 题． 类型四、一元一次方程的应用——古代问题 【解惑】《算法统宗》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一个问题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则剩下7人无房可住；若每间住9人，则剩下一间无人住．设店中共有间房，根据题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有这样一个问题，大意为：今有墙高9尺，瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长7寸；葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长1尺，问经过几天两蔓相遇？（1尺寸）若设经过x天两蔓相遇，可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个数学问题，其大意是：现有一根竹竿和一条绳索，用绳索去量竹竿，绳索比竹竿长5尺；若将绳索对折去量竹竿，绳索就比竹竿短5尺，若设竹竿长为x尺，则所列方程为 ． 3．《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺：如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？假设井深为尺，则列方程为 类型五、一元一次方程的应用——和差倍分问题 【解惑】某班同学参加搬花瓶劳动，搬大花瓶人数比搬小花瓶人数的一半多3人，若从搬小花瓶人员中抽出6人搬大花瓶，则搬小花瓶和搬大花瓶的人数相等，则原来搬小花瓶有（　　）人． A．18 B．21 C．30 D．36 【融会贯通】 1．某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车辆，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知七年级某班50位学生种树127棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树．设男生有人，则可列方程为 ． 3．学位举动的美术展览中，水彩画和蜡笔画有96幅，蜡笔画数量比水彩画的3倍还多12幅．蜡笔画和水彩画各多少幅？（用方程解） 类型六、一元一次方程的应用——日历问题 【解惑】如图是2025年1月的月历，用形如“工”字型框在月历任意框出7个数（如阴影部分所示），这7个数的和可能是（   ） A．35 B．46 C．70 D．84 【融会贯通】 1．在如图的年月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在日历中，用的九宫方格取9个数，这9个数的和是135，那么这9个数中最小的数是 ． 3．把1，2，3，4，5，…按如图所示的方式排列成一个表，用一个正方形框在表中任意框4个数，记左上角的一个数为． (1)另外三个数分别用含的式子表示出来，从小到大依次是_____，_____，_____． (2)当被框住的4个数之和等于416时，的值是多少？ (3)能否框住这样的4个数，使它们的和等于324？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 类型七、一元一次方程的应用——配套问题 【解惑】如图，“官渡粑粑”和“官渡饵块”是两种独具特色的云南小吃．某食品加工厂制作两种特色小吃成套售卖，每个套装含2个粑粑和3个饵块，该食品加工厂每天可制作400个粑粑或者600个饵块，因保质期较短，规定每6天为一个制作周期，请问在一个周期内，应如何安排制作时间，才能保证两种小吃正好成套？设制作“官渡粑粑”的时间为天，则根据题意可列出一元一次方程为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．用的原材料可制作5个甲产品或13个乙产品，4个甲产品和7个乙产品组成一套商品出售，现有原材料用以生产两种产品，应如何分配原材料，才能使产成的产品恰好配套成商品？根据题意设制作甲产品所用的原材料体积为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．用铝片做饮料瓶，每张铝片可制瓶身16个或制瓶底43个，一个瓶身与两个瓶底配成一套，现有150张铝片，用 张制瓶身， 张制瓶底可以正好制成整套的饮料瓶． 3．七年级一班共有学生45人，其中男生人数比女生人数的2倍少15人． 劳动课上，老师组织同学们动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身10个或盒底30个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)每个盒身匹配2个盒底，问怎样分配人数，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套？ 类型八、一元一次方程的应用——工程问题 【解惑】一项工程，甲队单独做需要天完成，乙队单独做需要天完成，两队同时工作天后，乙队采用新技术，工作效率提高了，自乙队采用新技术后，两队还需要同时工作多少天才能完成这项工程？ 【融会贯通】 1．整理一批图书，由一个人整理需要完成．现计划由一部分人先整理，然后增加5人与他们一起整理，完成这项工作． (1)假设这些人的工作效率相同，每人每小时可以完成此项工作的 ； (2)在（1）的条件下，应先安排多少人进行整理？（要求∶列方程解答） 2．某项工程，若由甲工程队单独施工需要3周，每周耗资8万元，若由乙工程队单独施工需要6周，每周耗资3万元．若甲、乙两工程队全程合作施工，需要几周完成？共需耗资多少万元？ 3．徒骇河开展清淤工程．计划租用甲、乙两车队清理淤泥，已知甲车队单独运完需要20天，乙车队单独运完需要30天．乙车队先运了5天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的淤泥．甲、乙两车队合作还需要多少天运完？ 类型九、一元一次方程的应用——行程问题 【解惑】如图，港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥，从香港口岸到珠海及澳门口岸，全程，小张驾车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为，在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为和，从香港口岸行驶到东人工岛的时间是通过海底隧道时间的1．25倍，通过海底隧道的时间比通过主桥的时间少． 港珠澳大桥主体工程示意图 根据以上信息回答下列问题： (1)设小张驾车通过海底隧道的时间是，补全下列表格（用含x的代数式表示）： 香港口岸→东人工岛 东人工岛→西人工岛 （通过海底隧道） 港珠澳大桥主桥 速度 96 71 90 时间 x 路程 (2)在（1）的条件下，求小张驾车通过海底隧道的时间； (3)港珠澳大桥通车前，小张从香港到珠海、澳门，走陆路途经东莞虎门大桥，车程，走水路乘高速客轮．通车后，小张驾车经港珠澳大桥从香港口岸到珠海及澳门口岸所用时间，比通车前走水路乘高速客轮从香港到珠海、澳门节省了多少分钟？ 【融会贯通】 1．一艘轮船从甲码头顺流而行到达乙码头，用了，再从乙码头逆流而行到达甲码头，用了，已知该轮船在静水中的速度为30km/，水流的速度是多少？甲、乙码头相距多少千米？ 2．小明从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路．假设他始终保持上坡每分钟走，平路每分钟走，下坡路每分钟走，则他从家里到学校需，从学校到家里需，解答下列问题： ①小明家离学校有多远？ ②请根据题中情境，提出一个问题，不要求解答 3．列方程解应用题：A站和B站相距，一列慢车从A站开出，速度为，一列快车从B站开出，速度为． (1)若两车相向而行，同时出发，行驶几小时后两车相遇？ (2)若两车同向而行，慢车在前，慢车开出后快车再出发，快车开出几小时后追上慢车？ 类型十、一元一次方程的应用——销售问题 【解惑】小海家在斗南花卉市场经营一家鲜花商店，他统计了元旦期间玫瑰花和百合花的销售情况，如下表： 统计日期 玫瑰花（束） 百合花（束） 总售价（元） 12月29日 20 0 400 12月30日 30 10 900 12月31日 60 40 2400 请你结合所学知识，解决下列问题： (1)一束玫瑰花和一束百合花的售价各是多少元？ (2)元旦节当天小海家在价格不变的情况下共售出玫瑰花和百合花130束，总售价为3100元，请问他家元旦节售出玫瑰花多少束？（列方程解答） 【融会贯通】 1．列方程解应用题：某水果店计划购进A、B两种水果下表是A、B这两种水果的进货价格： 水果品种 A B 进货价格（元） 10 15 (1)若该水果店要花费600元同时购进两种水果共，则购进A、B两种水果各为多少？ (2)若水果店将A种水果的售价定为14元，要使购进的这批水果在完全售出后达到的利润率，B种水果的售价应该定为多少？ 2．百花商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价50元，售价70元；乙种商品每件进价40元，盈利． (1)甲种商品每件的利润为_________元，乙种商品每件的售价为_________元； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好总进价为元，求购进甲种商品多少件； (3)在（2）的条件下，该商场对甲种商品按售价打9折促销，乙种商品售价不变．若两种商品全部销售完，可获利润多少元． 3．某超市在“元旦”活动期间，推出如下购物优惠方案：①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠；②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠；③一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受八折优惠；小敏在该超市两次购物分别付了60元和288元，如果小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏需付款多少元？ 【一览众山小】 1．某工程甲独做需6天完成，乙独做需8天完成，现在由甲先做2天，然后甲和乙合作共同完成．若设完成此项工程共需x天，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．《九章算术》被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”，其中有一题为“今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安，问凡何日相逢？“其大意如下：甲从长安出发，用5天时间可到达齐国；乙从齐国出发，用7天时间可到达长安．若乙先从齐国出发2天，甲才从长安出发，问甲经过多少天与乙相遇？设甲经过x天后与乙相遇，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，星期日下午点，小红开始练习跳绳，结束时，她看到时钟上的分针与时针刚好重合．假设小红跳绳时间不超过一个小时，则她跳绳时间（分钟）约为（   ） A． B． C． D． 4．为迎接学校举办的传统文化节，初一年级某班计划做一批“中国结”，若每人做6个，则比计划多做9个，若每人做4个，则比计划少7个．设班级共有x个学生，可列方程 ． 5．一商店在某一时间以100元的价格卖出一件衣服，盈利25%，则这件衣服原价是 元． 6．已知，，，且点A、B、C在同一直线上，则 ． 7．甲、乙两队相约沿相同的路线徒步，徒步的路程为，甲队步行速度为，乙队步行速度为，甲队出发后，乙队才出发．问乙队需要多长时间可以追上甲队？ 8．甲队的8名工人一月份完成的总工作量比此月人均定额工作量的5倍少30件，乙队的10名工人一月份完成的总工作量比此月人均定额工作量的2倍多36件，若两队工人此月完成的总工作量相等． (1)此月人均定额工作量是多少件？ (2)甲乙两队人均实际工作量各为多少件？ 9．某市对居民生活用水实行阶梯水价，每年收费标准如下表： 阶梯 家庭每年用水量 水价（元/立方米） 第一阶梯 不超过x立方米的部分 a 第二阶梯 超过x立方米但不超过300立方米的部分 4.4 第三阶梯 超过300立方米的部分 7.1 已知小明家2024年共用水190立方米，处于第一阶梯，共交水费646元；小丽家2024年共用水241立方米，处于第二阶梯，共交水费元． (1)填空：__________，__________； (2)2024年小慧家共交水费1246元，求小慧家2024年的用水量． 10．旅行社组织了甲、乙两个旅游团到游乐场游玩，两团总报名人数为120人，其中甲团人数不少于70人，游乐场规定一次性购票50人以上可享受团队票．门票价格如下： 门票类别 散客票 团队票A 团队票B 购票要求 超过50人但不超过100人 超过100人 票价 80元人 70元人 60元人 旅行社经过计算后发现，如果甲、乙两团合并成一个团队购票比分开购票节约300元． (1)求甲、乙两团的报名人数； (2)当天到达游乐场后发现团队票价格作了临时调整，团队票A每张降价a元，团队票B每张降价元，同时甲团队因故缺席了30人，甲、乙两团合并成一个团队购票比分开购票节约300元．求a的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$