精品解析：浙江省杭州市西湖区之江高级中学2024-2025学年高一上学期期中数学试题

杭州之江高级中学2024学年第一学期 高一年级数学期中考试试题卷 考生须知： 1.本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间120分. 2.答题前，在答题卷密封区内填写班级和姓名. 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效. 4.考试结束，上交答题卷. 第一部分（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“存在实数x,，使x > 1”的否定是（ ） A. 对任意实数x, 都有x > 1 B. 不存在实数x，使x1 C. 对任意实数x, 都有x1 D. 存在实数x，使x1 2. 设全集，则（ ） A. B. C. D. 3. 对于实数，“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 函数为定义在上的减函数，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在上是单调递减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如果，那么下列不等式不正确的是( ) A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. “”是“”的充分不必要条件 C. 设，则“”是“”的必要不充分条件 D. “”是“”的既不充分也不必要条件 11. 若，，，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是__． 13. 函数的值域为__________． 14. 设， ，则不等式的解集为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 已知全集，集合或. （1）求； （2）求. 16. 解下列方程和不等式： （1） （2） （3） 17. 设函数． （1）判断函数奇偶性并证明； （2）用单调性定义证明：函数在上单调递增． 18. 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为7500，深为3m．如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为150元． （1）若底部长为xm，总造价为y元，写出总造价y与x的关系式． （2）当底部长为x为多少m时，总造价最低？最低总造价是多少？ 19. （1）已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围. （2）已知，且，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州之江高级中学2024学年第一学期 高一年级数学期中考试试题卷 考生须知： 1.本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间120分. 2.答题前，在答题卷密封区内填写班级和姓名. 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效. 4.考试结束，上交答题卷. 第一部分（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“存在实数x,，使x > 1”的否定是（ ） A. 对任意实数x, 都有x > 1 B. 不存在实数x，使x1 C. 对任意实数x, 都有x1 D. 存在实数x，使x1 【答案】C 【解析】 【详解】解：特称命题的否定是全称命题，否定结论的同时需要改变量词． ∵命题“存在实数x，使x＞1”的否定是 “对任意实数x，都有x≤1” 故选C． 2. 设全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的并集与补集运算求解即可. 【详解】因为， 所以，所以. 故选：D 3. 对于实数，“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由于不等式的基本性质，“a＞b”⇒“ac＞bc”必须有c＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B 考点：不等式的性质 点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件． 4. 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知，分别分析汽车在加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车各个阶段路程与时间的增长关系，即可确定选项. 【详解】由已知，汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车， 由汽车经过启动后的加速行驶阶段，路程随时间上升速度越来越快，故图像的前边部分为凹升形状； 在汽车匀速行驶阶段，路程随时间上升的速度保持不变，故图像的中间部分为平升的形状，故排除选项C、选项D； 在汽车减速行驶之后停车阶段，路程随时间上升的速度越来越慢，故图像的后面部分为凸升的形状，故排除选项B； 故选：A. 5. 函数为定义在上的减函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据是定义域上的减函数，且，然后比较与的大小关系，从而得出选项A错误；比较与的大小即可得出选项B错误；可得出，从而得出选项C正确；比较大小即可判断D. 【详解】是定义在上的减函数，， 与的大小关系不能确定，从而关系不确定，故A错误； ，时，；时，，故的关系不确定，故B错误； ，，，故C正确． ，时，；时，，故关系不确定，D错误， 故选：C． 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据时函数值的特征，利用排除法判断即可. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B； 当时，所以，故排除C. 故选：D. 7. 若函数在上是单调递减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出二次函数的单调递减区间，再由给定条件可得集合的包含关系，列式求解即得. 【详解】函数的单调递减区间是， 依题意得，于是得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式可判断出是定义在上的单调递减函数，且为奇函数，将不等式变形即可求得实数的取值范围. 【详解】易知函数的定义域为，且满足，可知为奇函数， 当时，，此时单调递减， 根据奇函数的对称性可知，是定义在上的单调递减函数， 由可得， 所以，可得，解得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如果，那么下列不等式不正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，结合特殊值法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，可得，所以，所以A正确； 对于B中，例如：若，此时，所以B不正确； 对于C中，例如：若，此时，所以C不正确； 对于D中，例如：若，此时，所以D不正确. 故选：BCD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. “”是“”的充分不必要条件 C. 设，则“”是“”的必要不充分条件 D. “”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用全称命题的否定即可判断；对于BCD，化简不等式即可判断. 【详解】对于A，命题“”的否定是“”，故不正确； 对于B，由，可得或， 所以“”是“”的充分不必要条件，故正确； 对于C，由，解得且， 所以“”是“”的必要不充分条件，故正确； 对于D，由，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件，故错误. 故选：BC 11. 若，，，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据基本不等式判断ABD，举反例可判断C. 【详解】因为，则，当且仅当时取等号，故A错误； 因为，当且仅当时取等号，故B正确； 令，则不成立，故C错误； 因为，当且仅当时取等号，故D正确. 故选：BD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是__． 【答案】 【解析】 【分析】根据分母不等于零及开偶数次方根号里的数大于等于零求解即可. 【详解】由， 得，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13. 函数的值域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数单调性求解值域. 【详解】 开口向上，对称轴为, 函数单调递减，函数单调递增， 当时，, 当时，, 所以. 故答案为： 14. 设， ，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先分别写出和时的表达式，再分别解这两种情况下的不等式，最后将解集合并. 【详解】当时,首先求出的表达式， 因为，根据，而，所以，则. 然后解不等式，即，移项得到. 对于二次函数，其判别式， 且二次项系数，所以恒成立，所以时不等式的解为. 当时,求出的表达式，因为，根据的定义. 解不等式，即，移项得到， 因式分解得.解为，又，所以此时不等式解为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 已知全集，集合或. （1）求； （2）求. 【答案】（1）或， 或； （2）. 【解析】 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用并集、补集、交集的定义直接求解即得. 【小问1详解】 集合，或， 所以或，或， 所以或. 【小问2详解】 由或得， 所以. 16. 解下列方程和不等式： （1） （2） （3） 【答案】（1）4或 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的解法求得正确答案； （2）（3）根据一元二次不等式的解法求得正确答案． 【小问1详解】 依题意，， 解得或． 【小问2详解】 依题意， 解得或， 所以不等式的解集为或． 【小问3详解】 （3）因为，所以，即， 此时有，解得， 所以不等式的解集为 17. 设函数． （1）判断函数奇偶性并证明； （2）用单调性定义证明：函数在上单调递增． 【答案】（1）为奇函数，证明如下. （2）证明如下. 【解析】 【分析】(1)用奇函数的性质证明即可. (2)用定义证明单调性即可. 【小问1详解】 为奇函数； 证明：由题意知的定义域关于原点对称， 且，故得证； 【小问2详解】 证明：设任意的， 则因为， 所以， 故函数在上单调递增 18. 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为7500，深为3m．如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为150元． （1）若底部长为xm，总造价为y元，写出总造价y与x的关系式． （2）当底部长为x为多少m时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【答案】（1） （2）当时，总造价最低，为万元. 【解析】 【分析】（1）分别求出贮水池的底面积和侧面积，得到底面造价和侧面造价，即可得所求函数关系. （2）根据基本不等式，求函数的最小值及对应的值. 【小问1详解】 因为贮水池的体积为，深为3，所以贮水池的底面积为. 则底面造价为：元. 设底部长为，则宽为，贮水池侧面积为：，侧面造价为：. 所以：总造价为：. 【小问2详解】 因为（当且仅当即时取“”）， 此时有最小值，为元. 所以，当时，总造价最低，为万元. 19. （1）已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围. （2）已知，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2）10. 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式结合“乘1法”求出的最小值即可得m的取值范围； （2）将化为的形式，由于，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】（1）由得， 则. 当且仅当即时取到最小值9. 所以若恒成立，则. （2）由，得， 所以， 所以， 当且仅当，结合即时，等号成立. 故的最小值为10. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $