2025年中考数学二轮专题复习-二次函数的最值问题

2025年中考数学二轮专题复习-二次函数的最值问题 1．如图，已知二次函数与一次函数相交于两点，是线段上一动点，是拋物线上的动点，且平行于轴，求在移动过程中，线段的最大值． 2．（1）计算（π﹣）0+( )﹣1﹣． （2）抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y的轴交于点（0，3），求该二次函数的最大值． 3．学习完二次函数的性质后，某兴趣小组以一组习题为依托，开展了进一步的研究，以下是他们的研究过程． ①，②，③． 【任务一】研究增减性 （1）当时， 随的增大而增大的是 ；（填序号） 【任务二】研究对称性 （2）函数 的对称轴是 ； 【任务三】研究最值 （3）当取何值时，函数 有最小值，并写出最小值； 【任务四】研究复杂问题的最值 （4） 若 ，求的最小值． 4．已知抛物线（为常数）． (1)当抛物线的顶点在第二象限时，求的取值范围． (2)当时，先随的增大而增大，后随的增大而减小，且当时有最小值，求整数的值． 5．已知二次函数的图象为抛物线C． (1)写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 6．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）； (2)点，在抛物线上，其中，． ①若的最大值是2，求的最小值； ②若对于，，都有，直接写出的取值范围． 7．根据以下素材，探索完成任务． 素材1：为响应全民健身号召，某校在校运会上开展“8”字长绳比赛．图1是绳甩到最高处时的示意图，可以近似的看作一条抛物线，正在甩绳的甲、乙两位队员拿绳的手间距6米，到地面的距离均为1米． 素材2：如图2，身高为1.5米的小丽站在距点的水平距离为1米的点处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点． (1)如图3，以点为原点建立平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)某班跳绳成员有男生和女生各5名，男生身高1.70米至1.80米，女生身高1.60米至1.68米，绳子能否顺利从每位跳绳成员头顶越过？请说明理由． (3)身高为1.6米的跳绳成员至少站在离摇绳同学多远的地方，才能让绳子顺利从头上越过？ 8．已知二次函数． （1）求二次函数的最小值； （2）若点、在二次函数的图象上，且，试比较的大小． 9．如图1，在矩形中，，，点是边上的一个动点，连接，点是边上的一点，且满足. (1)在图1中作出点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)当时，则________； (3)随着点的运动，是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由. 10．如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴交于 A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与 y轴交于点 C．直线 l 与抛物线交于 A、D 两点，与 y 轴交于点 E，点D 的坐标为（4，3）． (1)求抛物线的解析式与直线 l 的解析式； (2)若点 P 是抛物线上的点且在直线 l 上方，连接 PA、PD，求△PAD 面积最大值； (3)由（2）并求出点 P 的坐标． 11．已知是关于的函数，若其函数图象经过点，则称点为函数图象上的“郡点”，例如：上存在“郡点”． （1）直线___________（填写直线解析式）上的每一个点都是“郡点”，双曲线上的“郡点”是___________； （2）若抛物线上有“郡点”，且“郡点”、（点和点可以重合）的坐标为、，求的最小值． （3）若函数的图象上存在唯一的一个“郡点”，且当，的最小值，求的值． 12．已知抛物线经过点，，且有最大值4． (1)求抛物线的表达式； (2)若，求函数值y的取值范围． 13．昆明某电商平台以每件20元的价格购进了一批商品进行销售，销售时该商品的售价不低于进价且不超过28元．经市场调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元/件）之间满足如图所示的一次函数关系．    (1)求与之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，销售利润最大？最大利润是多少元？ 14．如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线经过两点． (1)求抛物线的函数表达式 (2)若是直线下方的抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为．用含的代数式表示线段的长，并求线段的长的最大值． 15．如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点． （1）求证：△ABE∽△ECM； （2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由； （3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积． 16．已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表: … 1 0 1 2 3 4 … … 10 5 2 1 2 5 … （1）求该二次函数的解析式; （2）当为何值时，有最小值，最小值是多少? （3）若，两点都在该函数的图像上，试比较与的大小. 17．已知二次函数y＝x2＋ax＋2a（a为常数）． (1)若a＝1， ①求此二次函数图象的对称轴和顶点坐标； ②当x≤n＋2时，函数值y随x的增大而减小时，直接写出n的取值范围； ③当－3≤x≤1时，设此二次函数的最大值为m与最小值为n，求m－n． (2)若点A（－5，2）、点B（1，2），当此二次函数的图象与线段AB有两个交点时，直接写出a的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．2 2．(1)-;(2)4. 3．（1）①③；（2）直线；（3）时，最小值为；（4） 4．(1) (2) 5．(1)抛物线C的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； (2)当时，该二次函数的函数值y的取值范围是． 6．(1) (2)①的最小值是，②或者 7．(1) (2)能． (3)身高为1.6米的跳绳成员至少站在离摇绳同学米的地方，才能让绳子顺利从头上越过． 8．（1）﹣1；（2） 9．(1)略 (2) (3)存在，最大值为 10．(1)（1）y=-x2+x+3，y=x+1 (2) (3)(1,) 11．（1）；或；（2）；（3）的值为或 12．(1) (2) 13．(1)； (2)当销售单价为元时，销售利润最大，最大利润为1120元． 14．(1) (2)，4 15．（1）证明略；（2）能；BE=1或；（3） 16．（1）y=x2-4x+5（2）x=2,1 17．(1)①对称轴为直线，顶点坐标为；②≤；③ (2)≤＜或＜≤ 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$