精品解析：吉林省通榆县第一中学2024-2025学年高一上学期第四次质量检测数学试题

通榆一中2024级高一上学期第四次质量检测 数学试卷 命题人：王雪 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，监考人员将答题卡收回，考生自己保管好试题卷. 4.本试卷主要考试内容：人教版必修第一册第一章到第四章. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别求出集合，再根据交集的定义即可得解. 【详解】， ，则． 故选：B． 2. 已知为角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先应用任意角三角函数的定义求出正切，再应用同角三角函数把弦化切得出等式的值. 【详解】因为为角终边上一点，所以， 所以. 故选：B. 3. 用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（　　） A. 1.6 B. 1.7 C. 1.8 D. 1.9 【答案】C 【解析】 【分析】根据二分法求方程的的近似解以及零点存在定理得出零点存在区间即可. 【详解】由表格可得，函数的零点在区间内. 结合选项可知，方程的近似解可取为1.8. 故选：C. 4. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式和可得． 【详解】由题意得：，解得：， 由，解得：， 故函数的定义域是， 故选：C. 5. 若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系 【详解】，，， 故. 故选：B 6. 已知（且且），则函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数的运算性质可得，讨论的范围，结合指数函数和对数函数的图象的单调性，即可得到答案. 【详解】由，即为，即有； 当时，， 函数在上为增函数，在为增函数，选项B满足； 当时，， 函数在上为减函数，在为减函数， 四个图象均不满足，在同一坐标系中的图象只能是B． 故选：B 7. 已知函数（且）过定点，点在一次函数，的图象上，则的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数恒过定点可得，代入可得，后由基本不等式可得答案. 【详解】因为且，令可得，， 所以该函数过定点； 又点在一次函数的图象上，所以， 因此， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B 8. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数单调性并结合对数函数和二次函数性质列出不等式组，解出即可. 【详解】由对数函数和二次函数复合可得函数单调递增， 再根据二次函数性质可知，若在上单调递增需满足， 解得， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数的对称中心 B. 函数的定义域为 C. 函数的最小正周期是 D. 函数的解集是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正切函数的对称中心判断A，求出正切型函数定义域判断B，根据正切函数周期判断C，解正切型函数不等式判断D. 【详解】因为正切函数的对称中心为，则,l可知函数的对称中心应为，所以A错误； 由，则定义域为，所以B对； 函数的最小正周期与函数的最小正周期相同，都是，所以C对； 函数等价于，解之可得：，所以D对. 故选：BCD. 10. 已知偶函数对，都有，且时，，下列结论正确的是（ ）． A. 函数的图象关于点中心对称 B. 是周期为4的函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由可推出函数的对称中心即可判断A项，根据为偶函数及可推出函数的周期可判断B项，采用赋值法、偶函数性质、周期性即可判断C项、D项. 【详解】对于A项，由得的图象关于中心对称，故A正确； 对于B项，因为为偶函数，所以， 又因为，所以， 所以， 所以，即是周期为8的函数，故B项错误； 对于C项，因为， 所以令，则，即， 又因为为偶函数，所以，故C项正确； 对于D项，因为时，，的周期为8，为偶函数， 所以，故D项正确． 故选：ACD． 11. 已知函数，若存在不相等的实数满足且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，画出与的图象，数形结合得到，A正确；B选项，由对称性可知，；C选项，求出，，故，得到；D选项，变形得到，结合和对勾函数单调性得到取值范围. 【详解】A选项，画出与的图象如下： 要想满足，则，故A正确； B选项，由对称性可知，，故B错误， C选项，令，解得，故， 由，故，所以，故C正确； D选项，， 其中，而在上单调递减， 所以，则，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的圆心角为，其周长是，则该扇形的面积是______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据扇形的弧长和面积公式，即可求解. 【详解】设扇形半径为，弧长为，因为扇形的圆心角为，其周长是， 所以，解得：，所以该扇形的面积． 故答案为：2 13. 已知，且，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知角与所求角之间的关系，利用诱导公式与同角三角函数关系求值即可. 【详解】. ，， ，则， ． 故答案为：. 14. 我国火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为.已知我国某火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为，现通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：）与处理时间（单位：分钟）满足关系式：，那么从现在起至少经过______分钟才能达到排放标准.（参考数据：，结果取整数） 【答案】16 【解析】 【分析】由题意得到不等式，两边取对数，得到，代入，求出答案. 【详解】由题意得， 即， 故， 因为， 所以， 故， 所以从现在起至少经过16分钟，才能达到排放标准. 故答案为：16 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，且，求 （1）的值； （2）的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由，求得，进而得到，再结合，即可求解； （2）由（1）知，，联立方程组，求得的值，进而求得的值. 【详解】（1）由，可得，解得． 因为，且，所以，可得． 又由，所以. （2）由（1）知，， 联立方程组，求得，所以． 16. 已知． （1）求的最小正周期及单调增区间； （2）当时，求函数的最大值和最小值并求相应的值． 【答案】（1）最小正周期为，单调增区间为 （2）当时，函数取最大值，当时，函数取最小值 【解析】 【分析】（1）由正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期，解不等式可解得函数的增区间； （2）由求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得函数的最大值、最小值及其对应的的值. 【小问1详解】 的最小正周期， 令，得， 所以，函数的单调增区间为． 【小问2详解】 当时，则， 所以，当时，即当时，函数取最大值， 当时，即当时，函数取最小值. 17. 新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召，2020年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售量售价成本） （2）年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1） （2）年产量为90百辆时利润最大，最大利润为2820万元. 【解析】 【分析】（1）根据利润销售量售价成本，表示出利润关于产量的关系式即可，注意单位的统一； （2）分段函数的最值问题，先分别求出两个范围内的最大值，然后比较哪个最大哪个就是整个分段函数的最大值. 【小问1详解】 每辆车售价5万元，年产量（百辆）时销售收入为万元， 总成本为， 所以 . 所以年利润. 【小问2详解】 由（1）当时， （百辆）时（万元）， 当时， 当且仅当（百辆）时，等号成立， 因为2820万元万元, 所以年产量90百辆时利润最大，最大利润为2820万元. 18. 已知函数在区间上有最大值4和最小值1. （1）求的值； （2）设.若时，恒成立，求实数的取值范围； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据的单调性得到在上的最值，然后列方程求解； （2）根据（1）得到，然后将时，转化为，最后利用基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 由题意得的对称轴为， 所以在上单调递增，在时取得最小值，在时取得最大值， 则，解得. 【小问2详解】 由（1）得， 因为时，，， 所以， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以的取值范围为. 19. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”. （1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求实数乘积的取值范围； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”.若存在实数，使得对任意的，有不等式都成立，求实数s的最大值. 【答案】（1）是“依赖函数”，理由如下： 对于函数的定义域R内任意的，取， 则，且由在R上单调递增， 可知的取值唯一， 故是“依赖函数”； （2） ； （3） 【解析】 【分析】（1）由“依赖函数”的定义进行判断即可； （2）先根据题意得到，解得：，再由，解出，根据的范围即可求出的取值范围； （3）根据题意可得到在上单调递增，再根据“依赖函数”的定义即可求得的值，代入，由判别式，即可得到，根据能成立，求出的最大值，即可求出s的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在递增， 故，即， 由，得：， 故， 由，得：， 即在上单调递减， 故. 【小问3详解】 ， 故在上单调递增， 即，即， 即， 解得：或(舍)， 从而，存在，使得对任意的，有不等式都成立， 即恒成立， 由， 得：， 由，可得：， 又在单调递增， 故当时，， 即，解得：， 故实数s的最大值为. 【点睛】结论点睛：不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，. （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 通榆一中2024级高一上学期第四次质量检测 数学试卷 命题人：王雪 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，监考人员将答题卡收回，考生自己保管好试题卷. 4.本试卷主要考试内容：人教版必修第一册第一章到第四章. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 3. 用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（　　） A. 1.6 B. 1.7 C. 1.8 D. 1.9 4. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 5. 若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知（且且），则函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数（且）过定点，点在一次函数，的图象上，则的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 8. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数的对称中心 B. 函数的定义域为 C. 函数的最小正周期是 D. 函数的解集是 10. 已知偶函数对，都有，且时，，下列结论正确的是（ ）． A. 函数的图象关于点中心对称 B. 是周期为4的函数 C. D. 11. 已知函数，若存在不相等的实数满足且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的圆心角为，其周长是，则该扇形的面积是______． 13. 已知，且，则________． 14. 我国火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为.已知我国某火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为，现通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：）与处理时间（单位：分钟）满足关系式：，那么从现在起至少经过______分钟才能达到排放标准.（参考数据：，结果取整数） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，且，求 （1）的值； （2）的值． 16. 已知． （1）求的最小正周期及单调增区间； （2）当时，求函数的最大值和最小值并求相应的值． 17. 新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召，2020年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售量售价成本） （2）年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 18. 已知函数在区间上有最大值4和最小值1. （1）求的值； （2）设.若时，恒成立，求实数的取值范围； 19. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”. （1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求实数乘积的取值范围； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”.若存在实数，使得对任意的，有不等式都成立，求实数s的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $