广东深圳外国语学校2026-2027学年高二上学期学科练习（四）数学试题

深圳外国语学校2025级高二学科练习二答案 ---直线与圆，椭圆 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A D A D B B D ACD BD ACD 8．D【详解】连接，设，，则，因为，所以， 在中，，所以，化简得，则，， 在中，，所以，即，所以离心率. 10【详解】若两直线与平行，需满足， 由得，解得或； 当时，两直线分别为和，平行； 当时，两直线分别为和，平行； 所以和都满足条件，故A选项错误； 将原点代入圆的左边得，右边为， 比较与：，即原点到圆心的距离的平方大于半径的平方，所以原点在圆外，故B选项正确； 点关于轴的对称点为，反射光线过且与圆相切， 设反射光线方程为，即， 由圆心到直线的距离等于半径，得，即， 化简得：，解得或， 反射光线方程为或，故C选项错误； 圆化为标准方程：，圆心，半径； 圆化为标准方程：，圆心，半径， 两圆心距， 因为，两圆相交，公切线有条，故D选项正确. 故选：BD. 11．ACD【详解】在椭圆中，，，， 则、、， 对于A选项，由平面内两点间的距离公式得，A对； 对于B选项，设点，其中，且有，可得， 所以 ，B错； 对于C选项，设点，其中， 故 ， 因为，则， 故当时，即当时，四边形的面积取最大值，C对； 对于D选项，不妨设点，则点，其中，且有，可得， 所以，即直线与直线的斜率之积为定值，D对. 12,. 13最小值为72【详解】设，因为，，三点， 所以，， 因为点P在圆上运动，则，解得，所以， 当时，取的最小值72. 14解：设圆的圆心为，半径为，则点到轴，轴的距离分别为，． 由题设知圆截轴所得劣弧对的圆心角为，知圆截轴所得的弦长为，故，又圆截轴所得的弦长为2，所以有．从而得．又点到直线的距离为， 所以， 当且仅当时上式等号成立，此时，从而取得最小值． 由此有解此方程组得或由于知． 于是，所求圆的方程是，或． 解法二：同解法一，得得① 将代入①式，整理得② 把它看作的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即△，得． 有最小值1，从而有最小值．将其代入②式得．解得． 将代入，得．由得．综上，，． 由知，同号．于是，所求圆的方程是，或． 15【答案】(1)或(2) 【详解】（1）由配方得：，可得圆的圆心为，半径为，①当切线斜率不存在时，显然满足要求； ②当切线斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线的方程为， 即：，由圆心到切线的距离等于半径2，可得，解得， 则切线方程为，化简可得； 故切线方程为：或. （2）由配方得：， 可得圆的圆心为，半径为， 设，动圆的半径为，因动圆M与圆内切且与圆外切， 则，，故可得， 则点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设的轨迹方程为：， 则，，所以， 故圆心的轨迹方程为． 16【答案】(1)或(2) 【详解】（1）圆的圆心，半径， 设圆心到直线的距离为，则， ，，解得． 所以直线的方程为或． ∴直线的斜率为，故直线的倾斜角为或． （2）直线，即， 令，解得，所以直线过定点, 因为轴，当为的中点时，则轴， 所以的方程为，显然不符合题意，故不为的中点， 因为与圆交于两点，是的中点，所以， 又因为过定点，所以， 所以中点的轨迹是以为直径端点的圆（除点）. 所以，即.    17【详解】（1）可设直线AB的方程为，从而可知有两个不同 的解，再由中点也在直线上，即可得到关于的不等式，从而求解；（2）令，可 将表示为的函数，从而将问题等价转化为在给定范围上求函数的最值，从而求解. 试题解析：（1）由题意知，可设直线AB的方程为，由， 消去，得，∵直线与椭圆有两 个不同的交点，∴，①，将AB中点代入直线 方程解得，②．由①②得或；（2）令 ，则，且O到直线AB 的距离为，设的面积为， ∴，当且仅当时，等号成立，故 面积的最大值为. 18【答案】(1)；(2)证明见解析，定值为； (3)，此时三角形面积的最大值为1. 【详解】（1）由，则，故，所以离心率； （2）由题设，联立与得，，    设，则， 因为，所以 ； （3）由题设，联立，消元得，设， 当，即时，则， ， 则 ， 当为定值时，即与无关，故，得， 此时， 又点到直线的距离， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 经检验，此时成立，所以面积的最大值为1 19【详解】（1）由的最大值为3，得，由为椭圆上顶点时，为等边三角形， 得，联立解得，则， 所以椭圆的标准方程为． （2）法一：由（1）知，设， 设直线的斜率为，则直线的斜率为， 直线的方程为，直线的方程为， 由，得， 由，得，即， 由，得， 由，得，即， 则， 因此直线的方程为，即， 所以直线过定点． 法二：由（1）知，设， 直线斜率分别为， 则，由，得， 于是，由，得， 设直线的方程为， 由，得， 由，得，解得， 则，， 则，解得， 所以直线过定点. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳外国语学校2025级高二学科练习 ---直线与圆，椭圆 1、 单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的. 1．若直线平分圆的周长，则（   ） A．4 B．2 C．1 D． 2．已知是椭圆的一个焦点，则（　　） A． B． C．2 D．3 3．已知直线l经过点，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若椭圆的弦AB被点平分，则AB所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知圆:及点，．若在圆上有且仅有一个点，使得，则实数的值为（    ）A．0 B．3 C．0或3 D．或3 6．已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线的最大距离为（    ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，已知圆：，点是轴上的一个动点，，分别切圆C于P，Q两点，则线段长的取值范围是（　　）A． B． C． D． 8．已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（   ）A． B． C． D． 二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列说法正确的是(　　) A.若直线垂直于y轴，则该直线的一个方向向量为(1，0) B.若直线的一个方向向量为(a，a+1)，则该直线的斜率k= C.若两条直线互相垂直，其中一条直线的一个方向向量为v=(x0，y0)，则另一条直线的一个方向向量为a=(y0，-x0) D.任何直线一定存在方向向量 10，下列说法正确的是（    ） A．若直线与直线平行，则 B．，都有原点在圆外 C．一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，则反射后光线所在的直线方程为 D．圆与圆的公切线恰有2条 11．设椭圆的右焦点为，右顶点为，上顶点为，为椭圆上异于点的任一点，则下列说法正确的有（    ） A． B．的取值范围为 C．在第一象限时，四边形面积的最大值为 D．若点与关于原点对称，且异于点，则直线与直线的斜率之积为定值 二．填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 _______________ . 13. 已知，，三点，点P在圆上运动，求的最小值为 ． 14．设圆满足：①截轴所得弦长为2；②被轴分成两段圆弧，其弧长的比为，在满足条件①、②的所有圆中，圆心到直线的距离最小的圆的方程是__________________________． 4、 解答题:本题共3小题,共43分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知圆和圆 (1)过点作圆的切线，求此切线的方程； (2)动圆M与圆内切且与圆外切，求动圆圆心M的轨迹方程． 16．已知圆，直线． (1)设与圆交于，两点，若，求的倾斜角； (2)设与圆交于，两点，求中点的轨迹方程． 17．已知椭圆上两个不同的点，关于直线对称． （1）求实数的取值范围； （2）求面积的最大值（为坐标原点）． 18．已知椭圆的左，右焦点分别为、，直线与椭圆交于M、N两点，（点M在点N的上方），与y轴交于点E. (1)求椭圆的离心率e； (2)若直线l过点时，设，，求证：为定值，并求出该值； (3)当k为何值时，恒为定值，并求此时三角形面积的最大值. 19．已知椭圆，，分别是左、右焦点，P是椭圆C上一点，的最大值为3，当P为椭圆上顶点时，为等边三角形. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设A，B分别是椭圆C的左、右顶点，若直线l与C交于点M，N，且，证明：直线l过定点，并求出此定点. 试卷第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $