精品解析：湖北省襄阳市南漳县2024-2025学年上学期八年级期末考试数学试题

南漳县2024-2025学年度上学期期末学业质量监测 八年级数学试题 （满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的，请将所选选项的字母写在题目后面的括号内）． 1. “二十四节气”是中华农耕文明智慧结晶，下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A.   B.   C.   D.   【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟记轴对称图形的概念是做题的关键；“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”，由此逐项判断即可． 【详解】解：、 不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、 不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、 不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、 是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2. 蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料，其厚度约为0.000073米，用科学记数法可表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.000073=7.3×10-5， 故选：B． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3. 将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和，则，据此计算求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， 故选：B． 4. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简分式的定义．根据最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式即可判断． 【详解】A. ，分母，分子与分母没有公因式，不能再约分，所以它是最简分式，故本选项符合题意； B. ，不是最简分式，故本选项不符合题意； C. ，不是最简分式，故本选项不符合题意； D. ，不是最简分式，故本选项不符合题意． 故选：A． 5. 如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． 直接根据“三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”即可解答． 【详解】解：如图：∵， ∴,即， ∴只有D选项符合题意． 故选D． 6. 下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键． 根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的法则计算即可作出判断． 【详解】A．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，故A选项计算正确，符合题意； B．根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，，故B选项计算错误，不符合题意； C．，故C选项计算错误，不符合题意； D．根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，，故D选项计算错误，不符合题意． 故选：A． 7. 下列等式中，从左到右的变化是因式分解的是（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，理解分解因式概念是解题的关键． 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，据此进行判断即可． 【详解】解：A、从左到右的变形属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意； B、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 8. 改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的性质，分子分母同乘或同除一个不为0的数，分式的值不变，掌握性质是关键． 根据分式只有分子系数为小数，只需要把分子扩大倍数化为整数即可解答． 【详解】解∵中只有分子中系数含有小数， ∴，， ∴把它的分子和分母中各项系数都化为整数， 故选：B． 9. 数学之美无处不在，数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，例如，三根弦的长度分别是15，12，10，把它们楜（hú）得一样紧，用同样的力度弹拨，它们分别发出很调和的乐声do，mi，so，研究15，12，10这三个数的倒数发现，我们称15，12，10这三个整数为一组“调和数”，请你找一个整数与12，8组成一组“调和数”，则整数（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了整式的加减，倒数的认识，弄清题中“调和数”的定义是解本题的关键． 根据题意列出方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】根据题意得：或或， 解得：或或， 是一个整数且， 则整数的是 6． 故选：C． 10. 如图，在中，，，平分，于，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，熟练掌握该知识点是解答本题的关键． 过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形面积公式，利用进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作于， 平分，，， ， ， ， ． 故选：A． 二、填空（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请把下列各题的正确答案填写在横线上）． 11. 计算：___________． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，逆用同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 若分式方程的解是，则________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0． 分式方程去分母转化为整式方程，将1代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：分式方程去分母得：， 由分式方程的解为， 代入整式方程得：， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，已知，，添加一个条件，使，你添加的条件是________（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定方法是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．先根据推出，再根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：添加的条件是， 理由：， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，在中，边的垂直平分线交边于点，若的周长为21，，则______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】因为是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等， ， 的周长， 已知的周长为， 故答案为：13． 15. 如图，在中，，，，，，，分别是边和上的点，若和关于直线对称，交于点，则______°，的周长为______． 【答案】 ①. 72 ②. 7 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质和等腰三角形的性质，正确得出对应边相等是解题关键． ①直接利用轴对称的性质得出，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出答案； ②直接利用轴对称的性质得出，再利用的周长计算即可． 【详解】解：①和关于直线对称， ， ， ， ； 故答案为：72； ②和关于直线对称， 所以， 的周长， ， ， ， 的周长． 故答案为：7． 16. 为等边三角形，点E在边上，，在射线上取点D，使，连接并延长交射线于点F，则下列说法正确的是：_______． ①当时，为等腰三角形； ②； ③在边上存在点E，使； ④． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据为等边三角形，得出，根据，，得出，，，当时，求出，可得，可证明①；算出，得出，可证明②；连接，表示出，当时，，列方程求解即可判断③．在上截取，连接，证明，得出，再证明，即可证明④； 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 当时，， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； 连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当时，，故， 解得：（不符合题意），故③错误． ④证明：在上截取，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是证明三角形全等． 三、解答题（本大题共8小题，共72分）． 17. 已知，求与的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式的变形进而求解即可 【详解】， , ， , ． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键． 18. 解分式方程： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母，得 去括号，得 移项，得 并项，得 化系数为 1 ，得 经检验：是原方程的根． 19. 计算：． 【答案】b 【解析】 【分析】本题主要考分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．解题过程是先将括号内的式子通分，然后对分子进行因式分解化简，再将除法转化为乘法进行约分，最后运算得出结果． 【详解】解：原式 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在正方形网格的格点上． （1）请你画出关于轴对称的，并写出点的对应点的坐标； （2）是第三象限夹角的平分线，请你用尺规在直线上找到一点，使得最小（保留作图痕迹）． 【答案】（1）见解析， （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了作图—轴对称变换，轴对称一最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）关于轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，已知点坐标为，则其关于轴对称的点的坐标为，分别找出A，C关于轴的对称点，然后依次连接，即可得到． （2）作A点关于直线的对称点E．连接，与直线的交点即为所求的点． 理由是：因为A与E关于直线对称，所以，那么，根据两点之间线段最短，此时最小． 【小问1详解】 解：关于y轴对称的如图所示， 点B的对应点的坐标为； 【小问2详解】 解：作图如图所示，作图痕点P即为所作． 21. 某商店用20000元购进、两种品品牌的茶叶共150千克，已知购买种品牌茶叶与购种品牌茶叶的费用相同、且种品牌茶叶单价是种品牌茶叶单价的2倍． （1）求、两种品牌茶叶叶单价； （2）若计划用35000元的资金再次购进、两种品牌茶叶共200千克，且、两种品牌的单价不变，求、两种品牌茶叶各购进多少千克． 【答案】（1）A种品牌茶叶的单价为200元/千克，B种品牌茶叶的单价为100元/千克 （2）购进A种品牌茶叶150千克，则购进B种品牌茶叶50千克 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程，分式方程的运用，理解题目数量关系，正确列方程是解题的关键． （1）设种品牌茶叶的单价为元／千克，则种品牌茶叶单价为元／千克，由此列分式方程求解即可； （2）设购进种品牌茶叶千克，则购进种品牌茶叶千克，由此列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设种品牌茶叶的单价为元／千克，则种品牌茶叶单价为元／千克，根据题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：种品牌茶叶的单价为200元／千克，种品牌茶叶的单价为100元／千克． 【小问2详解】 设购进种品牌茶叶千克，则购进种品牌茶叶千克， 依题意，得：， 解得：， ． 答：购进种品牌茶叶150千克，则购进种品牌茶叶50千克． 22. 如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且BD＝DE. （1）若点D是AC的中点，如图1，求证：AD＝CE （2）若点D不是AC的中点，如图2，试判断AD与CE的数量关系，并证明你的结论：（提示：过点D作DF∥BC，交AB于点F） 【答案】（1）证明见解析；（2）AD=CE，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出∠E=∠CDE，推出CD=CE，根据等腰三角形性质求出AD=DC，即可得出答案； （2）过D作DF∥BC，交AB于F，证△BFD≌△DCE，推出DF=CE，证△ADF是等边三角形，推出AD=DF，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC， ∵D为AC中点， ∴∠DBC=30°，AD=DC， ∵BD=DE， ∴∠E=∠DBC=30° ∵∠ACB=∠E+∠CDE， ∴∠CDE=30°=∠E， ∴CD=CE， ∵AD=DC， ∴AD=CE； （2）AD=CE，如图2，过D作DF∥BC，交AB于F， 则∠ADF=∠ACB=60°， ∵∠A=60°，∴△AFD是等边三角形， ∴AD=DF=AF，∠AFD=60°， ∴∠BFD=∠DCE=180°﹣60°=120°， ∵DF∥BC， ∴∠FDB=∠DBE=∠E， 在△BFD和△DCE中， ∴△BFD≌△DCE， ∴CE=DF=AD， 即AD=CE． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形． 23. 【提出问题】 已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？ 【观察发现】 观察下列式子：，，，，…对于真分数（分子比分母小的分数）．当分子、分母同时加上一个正数时，所得分数的值变大，即． 【探究验证】 （1）对于，我们可以用“作差法”进行证明： ． ， ， ，即． （2）由（1）我们可猜想：若，，则与的大小关系是______（填“>”或“<”），请用“作差法”证明你的结论； 拓展思考】 （3）若，时，（2）中的不等式是否仍然成立？若不成立，请写出正确的式子； 【方法应用】 （4）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为，，水流速度为，且，两船同时顺流航行后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为，，请通过比较，的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 【答案】(2)；证明见解析；(3)不成立，；(4)甲船先返回A港，见解析 【解析】 【分析】本题考查的是列代数式，分式的加减运算，分式的值的大小比较，理解题意，选择合适的方法解题是关键． （2）根据作差法求解即可； （3）根据作差法求解即可； （4）分为当返回为顺水时，和当返回为逆水时，求出，即可求解． 【详解】解：（2）；证明如下： ， ∵， ∴． ∵， ∴，即． ∴． （3）若，时，（2）中的不等式不成立． ∵，， ∴，， ∴，即， ∴, 正确的式子为． （4）的大小，甲船先返回A港，理由如下： 由题意可得， ， ． ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴，即． ∴． ∴甲船先返回A港． 24. 在平面直角坐标系中，直线过原点且经过第一、第三象限，与轴所夹锐角为．对于点和轴上的两点，，给出如下定义：记点关于直线的对称点为，若点的纵坐标为正数，且为等边三角形，则称点为，的点． （1）如图1，若点，，点为，的点，连接，． ①______°；②点的纵坐标为______： （2）已知点，． ①如图2，当时，点为，的点，且点的横坐标为，求的值； ②当时，点为，的点，且点的横坐标为2，直接写出的值． 【答案】（1）①30，②3 （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）①如图1，过点Q作轴于E，过点P作轴于F，根据定义：记点P关于直线l的对称点为Q，若点Q的纵坐标为正数，且为等边三角形，则称点P为M，N的点．可知为等边三角形，l与x轴所夹锐角为，则，，，即可求得答案； ②先证明，根据全等三角形的性质即可求得答案； （2）①过点Q作轴于E，过点P作轴于F，作轴交直线l于K，交x轴于T，连接交x轴于W，连接交直线l于L，根据定义可得，，，，P、Q关于直线l对称，再由勾股定理即可求得答案； ②分两种情况：或，分别画出图象，结合定义即可求得答案． 【小问1详解】 解：（1）①如图1，过点Q作轴于E，过点P作轴于F， ∵，， ∴， ∵为等边三角形，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点P为M，N的点， ∴l与x轴所夹锐角为， ∵点P关于直线l的对称点为Q， ∴， 故答案为：30． ②在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①∵，， ∴ ∴当时，， 如图2，过点Q作轴于E，过点P作轴于F，作轴交直线l于K，交x轴于T，连接交x轴于W，连接交直线l于L， ∵点P为M，N的点， ∴， ∴， ∵P、Q关于直线l对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． ②∵， ∴， 如图，分两种情况：当时，点在点M的右侧， ∵与l的夹角为， ∴关于l的对称线和l的夹角也为， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 当时，点在点M的左侧， 同理可得：，即， ∴； 综上所述，或， 故答案为：3或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理，一次函数的图象和性质等，理解并运用新定义是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南漳县2024-2025学年度上学期期末学业质量监测 八年级数学试题 （满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的，请将所选选项的字母写在题目后面的括号内）． 1. “二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A.   B.   C.   D.   2. 蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料，其厚度约为0.000073米，用科学记数法可表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能为（ ）. A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（） A. B. C. D. 7. 下列等式中，从左到右的变化是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 8. 改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果是（ ） A. B. C. D. 9. 数学之美无处不在，数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，例如，三根弦的长度分别是15，12，10，把它们楜（hú）得一样紧，用同样的力度弹拨，它们分别发出很调和的乐声do，mi，so，研究15，12，10这三个数的倒数发现，我们称15，12，10这三个整数为一组“调和数”，请你找一个整数与12，8组成一组“调和数”，则整数（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 不存在 10. 如图，在中，，，平分，于，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请把下列各题的正确答案填写在横线上）． 11. 计算：___________． 12. 若分式方程的解是，则________． 13. 如图，已知，，添加一个条件，使，你添加的条件是________（填一个即可）． 14. 如图，在中，边垂直平分线交边于点，若的周长为21，，则______． 15. 如图，在中，，，，，，，分别是边和上的点，若和关于直线对称，交于点，则______°，的周长为______． 16. 为等边三角形，点E在边上，，在射线上取点D，使，连接并延长交射线于点F，则下列说法正确的是：_______． ①当时，为等腰三角形； ②； ③在边上存在点E，使； ④． 三、解答题（本大题共8小题，共72分）． 17. 已知，求与的值． 18. 解分式方程： 19. 计算：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点均在正方形网格的格点上． （1）请你画出关于轴对称的，并写出点的对应点的坐标； （2）是第三象限夹角的平分线，请你用尺规在直线上找到一点，使得最小（保留作图痕迹）． 21. 某商店用20000元购进、两种品品牌茶叶共150千克，已知购买种品牌茶叶与购种品牌茶叶的费用相同、且种品牌茶叶单价是种品牌茶叶单价的2倍． （1）求、两种品牌的茶叶叶单价； （2）若计划用35000元的资金再次购进、两种品牌茶叶共200千克，且、两种品牌的单价不变，求、两种品牌茶叶各购进多少千克． 22. 如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且BD＝DE. （1）若点D是AC的中点，如图1，求证：AD＝CE （2）若点D不是AC的中点，如图2，试判断AD与CE的数量关系，并证明你的结论：（提示：过点D作DF∥BC，交AB于点F） 23. 【提出问题】 已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？ 【观察发现】 观察下列式子：，，，，…对于真分数（分子比分母小的分数）．当分子、分母同时加上一个正数时，所得分数的值变大，即． 【探究验证】 （1）对于，我们可以用“作差法”进行证明： ． ， ， ，即． （2）由（1）我们可猜想：若，，则与的大小关系是______（填“>”或“<”），请用“作差法”证明你的结论； 【拓展思考】 （3）若，时，（2）中不等式是否仍然成立？若不成立，请写出正确的式子； 【方法应用】 （4）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为，，水流速度为，且，两船同时顺流航行后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为，，请通过比较，的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 24. 在平面直角坐标系中，直线过原点且经过第一、第三象限，与轴所夹锐角为．对于点和轴上两点，，给出如下定义：记点关于直线的对称点为，若点的纵坐标为正数，且为等边三角形，则称点为，的点． （1）如图1，若点，，点为，的点，连接，． ①______°；②点的纵坐标为______： （2）已知点，． ①如图2，当时，点为，的点，且点的横坐标为，求的值； ②当时，点为，的点，且点的横坐标为2，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $