2025届高三数学二轮复习微专题突破练24：基本初等函数、函数零点

微专题24　基本初等函数、函数零点 一、单选题 1.(2024·长沙质检)函数f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)的零点所在的区间是(　　) (0，1) (1，2) (2，3) (3，4) 2.(2024·长治调研)函数f(x)＝log2(|x|－1)的大致图象是(　　) 　　 A B C D 3.(2024·浙江名校协作体联考)已知函数y＝log2(ax2－x)在区间(1，2)上单调递增，则a的取值范围为(　　) [1，＋∞) 4.(2024·成都诊断)海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用ID＝I0e－KD表示其总衰减规律，其中K是平均消光系数(也称衰减系数)，D(单位：米)是海水深度，ID(单位：坎德拉)和I0(单位：坎德拉)分别表示在深度D处和海面的光强.已知某海区10米深处的光强是海面光强的30%，则该海区消光系数K的值约为(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6)(　　) 0.12 0.11 0.07 0.01 5.(2024·昆明调研)若函数f(x)＝a＋x＋lg x(1<x<10)有零点，则a的取值范围为(　　) (－10，－1) (1，10) (1，11) (－11，－1) 6.(2024·合肥调研)已知a＝，b＝log510，c＝log714，则a，b，c的大小关系是(　　) a<b<c a<c<b b<c<a c<b<a 7.(2024·北京卷)已知(x1，y1)，(x2，y2)是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则(　　) log2< log2> log2<x1＋x2 log2>x1＋x2 8.设正实数a，b，c分别满足＝2a，＝log2b，＝log3c，则a，b，c的大小关系为(　　) a>b>c b>a>c c>b>a a>c>b 二、多选题 9.(2024·昆明调研)下列计算正确的是(　　) －60－＝－1 ＋ln(ln e)＝7 log23×log34＝log67 lg 25＋lg 8－lg 200＋lg 2＝0 10.(2024·唐山部分学校联考)某大型商场开业期间为吸引顾客，推出“单次消费满100元可参加抽奖”的活动，奖品为本商场现金购物卡，可用于以后在该商场消费.已知抽奖结果共分5个等级，等级x与购物卡的面值y(元)的关系式为y＝eax＋b＋k，三等奖比四等奖的面值多100元，比五等奖的面值多120元，且四等奖的面值是五等奖的面值的3倍，则(　　) a＝－ln 5 k＝15 一等奖的面值为3 130元 三等奖的面值为130元 11.(2024·河南名校联考)布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，该定理表明：对于一个拓扑空间中满足一定条件的连续函数f(x)，在其定义域内存在一个x0，使得f(x0)＝x0.现定义x0为函数f(x)的一个“不动点”.那么下列函数具有“不动点”的是(　　) f(x)＝|ln x| f(x)＝x2＋2x＋1 f(x)＝ f(x)＝ex＋2x 三、填空题 12.(2024·杭州调研)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在[0，2]上单调递减，f(x＋2)为偶函数，若f(x)＝m在[0，12]上恰好有4个不同的实数根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________. 13.随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.2 mg/cm3，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.2 mg/cm3，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为________.(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.477) 14.已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当x2>x1>0时，－>－.若f(2)＝e2＋1，则ln xf(ln x)－xln x>2的解集为________. 参考答案 1.C　[因为函数f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)在上单调递减， 所以函数f(x)最多只有一个零点. 因为f(0)＝5－lg 1＝5>0，f(1)＝3－lg 3>0，f(2)＝1－lg 5>0，f(3)＝－1－lg 7<0， 所以函数f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)的零点所在的区间是(2，3).故选C.] 2.B　[f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞).易知函数f(x)是偶函数，排除C，D；当x>1时，f(x)是增函数，排除A.故选B.] 3.D　[令t＝ax2－x，因为函数y＝log2(ax2－x)在区间(1，2)上单调递增， 所以函数y＝log2(ax2－x)在区间(1，2)上有意义，且t＝ax2－x在(1，2)上单调递增， 所以a≠0，则或 解得a≥1， 所以a的取值范围为[1，＋∞).故选D.] 4.A　[由题意得，30%I0＝I0e－10K，即30%＝e－10K， 两边取自然对数得，－10K＝ln 3－ln 10＝ln 3－ln 2－ln 5， 所以K＝≈＝0.12.故选A.] 5.D　[因为函数y＝x＋a与y＝lg x均在(1，10)上单调递增， 所以f(x)＝a＋x＋lg x在(1，10)上单调递增. 若函数f(x)＝a＋x＋lg x(1<x<10)有零点， 则解得－11<a<－1.故选D.] 6.D　[由题意可得b＝log510＝1＋log52＝1＋，c＝log714＝1＋log72＝1＋. 因为0<lg 5<lg 7， 所以>，则b>c. 由于5＝5>5×2＝10，所以>log510， 而a＝>，故a>b，所以c<b<a.] 7.B　[因为(x1，y1)，(x2，y2)为函数y＝2x的图象上两个不同的点， 所以y1＝2x1，y2＝2x2，且x1≠x2，则2x1≠2x2， 所以y1＋y2＝2x1＋2x2>2＝2， 所以>>0， 所以log2>log2＝，故选B.] 8.C　[在同一坐标系中，作出y＝2x，y＝，y＝log2x，y＝log3x的图象，由图象得c>b>a.] 9.ABD　[对于A，原式＝－1－＝－1，所以A正确； 对于B，原式＝＋ln(ln e)＝7＋ln 1＝7，所以B正确； 对于C，原式＝×＝×＝2，所以C错误； 对于D，原式＝lg 52＋lg 23－lg 200＋lg 2＝2(lg 5＋lg 2)－lg＝2－2＝0，所以D正确.故选ABD.] 10.ACD　[由题意可知，四等奖比五等奖的面值多20元，所以＝e－a＝＝5，则a＝－ln 5，故A正确. 由(e3a＋b＋k)－(e4a＋b＋k)＝e3a＋b(1－ea)＝100，可知e3a＋b＝125.因为四等奖的面值是五等奖的面值的3倍，所以e4a＋b＋k＝3(e5a＋b＋k)，解得k＝5，故B错误. 三等奖的面值为e3a＋b＋k＝125＋5＝130元，故D正确. 由ea＋b＋k＝e3a＋b·e－2a＋k＝125×25＋5＝3 130，故一等奖的面值为3 130元，故C正确.故选ACD.] 11.AD　[对于A，假设函数f(x)＝|ln x|存在“不动点”，则方程|ln x|＝x有解，结合对数函数的图象可知方程有解，所以函数f(x)＝|ln x|存在“不动点”，故A满足. 对于B，假设函数f(x)＝x2＋2x＋1存在“不动点”，则方程x2＋2x＋1＝x有解，得x2＋x＋1＝0，因为判别式Δ＝1－4＝－3<0，所以方程x2＋2x＋1＝x无解，故假设不成立，即函数f(x)＝x2＋2x＋1不存在“不动点”，故B不满足. 对于C，假设函数f(x)＝存在“不动点”，则方程f(x)＝x有解，当x≤0时，方程为|2x＋1|＝x，无解.当x>0时，方程为sin x＝x.令g(x)＝sin x－x，则g′(x)＝cos x－1≤0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以在(0，＋∞)上，g(x)<g(0)＝0，所以当x>0时sin x<x，方程sin x＝x无解，故C不满足. 对于D，假设函数f(x)＝ex＋2x存在“不动点”，则方程ex＋2x＝x有解，令h(x)＝ex＋x，则函数h(x)＝ex＋x在R上单调递增，因为h(－2)＝e－2－2<0，h(1)＝e＋1>0，所以函数h(x)＝ex＋x在(－2，1)上存在零点，即ex＋2x＝x有解，所以函数f(x)＝ex＋2x存在“不动点”，故D满足.] 12.24　[由f(x＋2)为偶函数，可知函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)是奇函数， 所以f(x)是周期函数，周期为8. 作出函数f(x)在[0，12]上的大致图象趋势如图所示，作出直线y＝m， 由图可知，若f(x)的图象与直线y＝m在[0，12]上有4个交点，则f(2)<m<0. 不妨记x1<x2<x3<x4， 则x1＋x2＋x3＋x4＝2×2＋2×10＝24.] 13.8　[设该污染物排放前过滤的次数为n(n∈N*)，由题意1.2×0.8n≤0.2，即≥6， 两边取以10为底数的对数可得lg≥lg 6， 所以n≥， 所以≈＝7.77， 所以n≥7.77，又n∈N*，所以nmin＝8， 即该污染物排放前需要过滤的次数至少为8.] 14.(1，e2)　[由－>－， 得x1f(x1)－x1ex1>x2f(x2)－x2ex2. 令g(x)＝xf(x)－xex， 则g(x1)>g(x2)，又x2>x1>0， 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减， 得g(ln x)＝f(ln x)ln x－xln x>2. 因为g(2)＝2f(2)－2e2＝2， 所以g(ln x)>g(2)，所以0<ln x<2， 解得1<x<e2.] 学科网（北京）股份有限公司 $$