陕西省西安市莲湖区2024-2025学年九年级上 学期 期末考试数学试卷

2024-2025学年陕西省西安市莲湖区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（3分）tan60°的值等于（　　） A． B． C． D． 2．（3分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根，则m的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 3．（3分）如图，这个六角螺母的俯视图是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）如图，菱形的对角线AC，BD相交于点O，则OE的长为（　　） A．4 B．3 C． D．2 5．（3分）某校组织学生积极参加社团活动，小亮和小明分别从象棋、足球、书法三个项目中各选一个，则两人选中同一项目的概率为（　　） A． B． C． D． 6．（3分）反比例函数和一次函数y＝kx+3（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）已知点（﹣3，y1），（0，y2），（2，y3）在二次函数y＝2x2+4x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1 8．（3分）如图，E是平行四边形ABCD边BA延长线上的一点，且AB＝2AE，交AD于点F，若S△AEF＝2，则平行四边形ABCD的面积是（　　） A．20 B．22 C．24 D．26 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 9．（3分）某五金企业生产一种精密工件，以下是质检员对生产出的工件的检测情况． 抽查的工件数n/个 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的工件m/个 95 194 289 479 769 950 2880 合格工件的频率 0.950 0.970 0.963 0.958 0.961 0.959 0.960 则该工厂每生产一个工件，合格的概率约为 　 　．（结果精确到0.01） 10．（3分）如图，直线AD∥EB∥FC．若AB＝2BC，DE＝6　 　． 11．（3分）已知一矩形的长和宽分别是一元二次方程x2﹣10x+21＝0的两个根，则这个矩形的周长为 　 　． 12．（3分）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，以AB为边向外作等边△ABE，则OE的长为 　 　． 13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，则CE的长为 　 　． 三、解答题（本大题共13个小题，共81分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）计算：2cos45°﹣cos60°•sin30°+tan45°． 15．（5分）解方程：x2﹣16＝（x﹣4）（2x﹣1）． 16．（5分）如图，这是由5个大小完全相同的正方体搭成的几何体，请在下面方格中画出这个几何体的主视图、左视图和俯视图． 17．（5分）在△ABC中，∠C＝90°．请用尺规作图，在边AB上求作一点D，使得CD将△ABC分为两个相似三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 18．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O 19．（5分）某校欲从两名男生和两名女生中选拔选手参加“白强不息，迈向成功”主题的演讲比赛． （1）若从这四位选手中随机选出一名同学，则选到男生的概率是 　 　． （2）若从这四位选手中随机选出两名同学，请用列表或画树状图的方法，求出恰好选中一男一女的概率． 20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+3k﹣3＝0，求证：该方程总有两个实数根． 21．（6分）2024年夏季，某地发生洪涝灾害，致使许多地方因被淹而出现险情，B两地的甲乙两支救援队接到转移M处受困群众的任务．已知A地在B地的北偏西53°，距离B地40千米，在B地的南偏西30°方向上，求AM的长．（结果精到0.1千米，参考数据：°≈1.33） 22．（7分）已知二次函数y＝ax2﹣4x的图象经过点（﹣1，6）． （1）求a的值和该二次函数图象的顶点坐标． （2）若将该二次函数的图象向右平移2个单位长度，求新抛物线与y轴的交点坐标． 23．（7分）已知一次函数y＝﹣2x+2的图象与反比例函数的图象交于A，B两点（﹣1，4）． （1）求该反比例函数的表达式和点B的坐标． （2）求△AOB的面积． 24．（8分）如图，在▱ABCD中，点E，AD上，BE＝DF （1）求证：四边形AECF是矩形． （2）连接BF，若，∠ABC＝60°，BF平分∠ABC 25．（8分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）Q是位于第一象限内抛物线上的一个动点，当△QBC的面积最大时，求此时点Q的坐标及△QBC的面积． 2024-2025学年陕西省西安市莲湖区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D A D B B C C 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（3分）tan60°的值等于（　　） A． B． C． D． 【分析】求得60°的对边与邻边之比即可． 【解答】解：在直角三角形中，若设30°对的直角边为1， tan60°＝＝， 故选：D． 【点评】考查特殊角的三角函数值；熟练掌握特殊角的三角函数值是解决此类问题的关键． 2．（3分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根，则m的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【分析】把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0，得出一个关于m的方程，解方程即可． 【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣7＝0得：1+m﹣3＝0， 解得：m＝2． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，关键是能根据题意得出一个关于m的方程． 3．（3分）如图，这个六角螺母的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据俯视图是从上面看得到的图形，可得答案． 【解答】解：从上面看，是一个正六边形． 故选：A． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的意义是解题关键． 4．（3分）如图，菱形的对角线AC，BD相交于点O，则OE的长为（　　） A．4 B．3 C． D．2 【分析】根据菱形的性质和直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴CB＝CD＝4，AC⊥BD， ∴∠COD＝90°， ∵E是CD的中点， ∴OE＝CD＝， 故选：D． 【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 5．（3分）某校组织学生积极参加社团活动，小亮和小明分别从象棋、足球、书法三个项目中各选一个，则两人选中同一项目的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两人选中同一项目的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：将象棋、足球，B，C， 列表如下： A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） 共有16种等可能的结果，其中两人选中同一项目的结果有3种， ∴两人选中同一项目的概率为． 故选：B． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 6．（3分）反比例函数和一次函数y＝kx+3（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数解析式的特征判断出一次函数与y轴交于（0，3），故选项A，C错误不符合题意．再根据两个函数中k的值相同判断出D错误不符合题意即可． 【解答】解：一次函数与y轴交于（0，3），C错误不符合题意． 又选项D中，一次函数的k小于8，故选项D错误不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，一次函数的图象，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 7．（3分）已知点（﹣3，y1），（0，y2），（2，y3）在二次函数y＝2x2+4x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1 【分析】根据二次函数得到开口向下和对称轴，再根据距离对称轴远近进行判断即可． 【解答】解：二次函数y＝2x2+6x+c的图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣1， 点（﹣3，y3）距离对称轴有2个单位长度， （0，y6）距离对称轴有1个单位长度， （2，y3）距离对称轴有3个单位长度， 根据距离对称轴越远函数值越大可得：y2＜y5＜y3． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数性质是关键． 8．（3分）如图，E是平行四边形ABCD边BA延长线上的一点，且AB＝2AE，交AD于点F，若S△AEF＝2，则平行四边形ABCD的面积是（　　） A．20 B．22 C．24 D．26 【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，AB∥DC，AB＝DC，而AB＝2AE，则BE＝3AE，DC＝2AE，可证明△AEF∽△BEC，得＝＝＝，则S△BEC＝9S△AEF＝18，求得S四边形ABCF＝16，再证明△AEF∽△DCF，得＝＝＝，求得S△DCF＝4S△AEF＝8，则S平行四边形ABCD＝24，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥DC， ∵E是BA延长线上的一点，CE交AD于点F， ∴BE＝2AE+AE＝3AE，DC＝6AE， ∴＝，＝， ∵AF∥BC，S△AEF＝2， ∴△AEF∽△BEC， ∴＝＝＝， ∴S△BEC＝5S△AEF＝18， ∴S四边形ABCF＝S△BEC﹣S△AEF＝18﹣2＝16， ∵AE∥DC， ∴△AEF∽△DCF， ∴＝＝＝， ∴S△DCF＝4S△AEF＝7， ∴S平行四边形ABCD＝S四边形ABCF+S△DCF＝16+8＝24， 故选：C． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△AEF∽△BEC及△AEF∽△DCF是解题的关键． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 9．（3分）某五金企业生产一种精密工件，以下是质检员对生产出的工件的检测情况． 抽查的工件数n/个 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的工件m/个 95 194 289 479 769 950 2880 合格工件的频率 0.950 0.970 0.963 0.958 0.961 0.959 0.960 则该工厂每生产一个工件，合格的概率约为 　0.96　．（结果精确到0.01） 【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此求解即可． 【解答】解：观察上表，可以发现，合格工件的频率稳定在0.960附近，合格的概率约为0.96． 故答案为：7.96． 【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 10．（3分）如图，直线AD∥EB∥FC．若AB＝2BC，DE＝6　3　． 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝，然后利用比例的性质可求出EF． 【解答】解：∵AD∥EB∥FC， ∴＝， 即＝， 解得EF＝7． 故答案为：3． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 11．（3分）已知一矩形的长和宽分别是一元二次方程x2﹣10x+21＝0的两个根，则这个矩形的周长为 　20　． 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得出矩形的长与宽的和，从而得出答案． 【解答】解：∵一个矩形的长和宽是一元二次方程x2﹣10x+21＝0的两个根， ∴矩形的长与宽的和为10， 则矩形的周长为20， 故答案为：20． 【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝． 12．（3分）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，以AB为边向外作等边△ABE，则OE的长为 　　． 【分析】根据正方形的性质得AB＝BC＝4，OA＝OC＝OB＝OD＝，∠ABC＝90°，则点O在线段AB的垂直平分线上，再根据等边三角形的性质得EA＝EB＝AB＝2，则点E在线段AB的垂直平分线上，由此的OE是线段AB的垂直平分线，则AF＝BF＝2，然后由勾股定理分别求出OF＝2，EF＝，进而可得OE的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝4， ∴AB＝BC＝4，OA＝OC＝OB＝OD， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝， ∴OA＝OB＝AC＝， ∴点O在线段AB的垂直平分线上， ∵△ABE是等边三角形， ∴EA＝EB＝AB＝2， ∴点E在线段AB的垂直平分线上， ∴OE是线段AB的垂直平分线 ∴OE⊥AB，AF＝BF＝， 在Rt△AOF中，由勾股定理得：OF＝＝， 在Rt△AEF中，由勾股定理得：EF＝＝＝， ∴OE＝OF+EF＝． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，等边三角形的性质是解决问题的关键． 13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，则CE的长为 　　． 【分析】根据题意得出∠B＝∠DEA，进而得出∠B的正切值，再结合BC的长即可求出AC的长，进一步得出AB的长度，进而得出AD的长，最后在Rt△ADE中，求出AE的长即可解决问题． 【解答】解：由题知， ∵∠ACB＝90°，DE⊥AB， ∴∠B+∠A＝∠DEA+∠A＝90°， ∴∠B＝∠DEA， ∴tanB＝tan∠DEA＝． 又∵BC＝6， ∴AC＝8， ∴AB＝＝10． ∵DE垂直平分AB， ∴AD＝，∠EDA＝90°． 在Rt△DEA中， tan∠DEA＝， ∴， ∴DE＝， ∴AE＝， ∴CE＝AC﹣AE＝7﹣． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解直角三角形及线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的性质及正切的定义是解题的关键． 三、解答题（本大题共13个小题，共81分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）计算：2cos45°﹣cos60°•sin30°+tan45°． 【分析】利用特殊锐角三角函数值计算即可． 【解答】解：原式＝2×﹣×+1 ＝﹣+7 ＝+． 【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，熟练掌握该知识点是解题的关键． 15．（5分）解方程：x2﹣16＝（x﹣4）（2x﹣1）． 【分析】根据因式分解法按步骤求解即可． 【解答】解：x2﹣16＝（x﹣4）（6x﹣1）， （x﹣4）（x+7）＝（x﹣4）（2x﹣7）， （x﹣4）（x+4﹣7x+1）＝0， ∴x﹣8＝0或﹣x+5＝6， ∴x1＝4，x2＝5． 【点评】本题考查解一元二次方程的因式分解法，解题的关键是掌握因式分解的步骤． 16．（5分）如图，这是由5个大小完全相同的正方体搭成的几何体，请在下面方格中画出这个几何体的主视图、左视图和俯视图． 【分析】根据三视图的定义画图即可． 【解答】解：如图所示． 【点评】本题考查作图﹣三视图，解题的关键是理解三视图的定义． 17．（5分）在△ABC中，∠C＝90°．请用尺规作图，在边AB上求作一点D，使得CD将△ABC分为两个相似三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】根据垂线的作图方法，过点C作AB的垂线，垂足为点D，则△ACD∽△CBD． 【解答】解：如图，点D即为所求． 【点评】本题考查作图﹣相似变换，熟练掌握相似的性质以及垂线的作图方法是解答本题的关键． 18．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O 【分析】先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DAC＝∠DCA，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论． 【解答】证明：∵AB∥DC， ∴∠DCA＝∠OAB， ∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠OAB， ∴∠DAC＝∠DCA， ∴AD＝CD＝AB， ∵AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AD＝AB， ∴四边形ABCD是菱形． 【点评】此题主要考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键． 19．（5分）某校欲从两名男生和两名女生中选拔选手参加“白强不息，迈向成功”主题的演讲比赛． （1）若从这四位选手中随机选出一名同学，则选到男生的概率是 　　． （2）若从这四位选手中随机选出两名同学，请用列表或画树状图的方法，求出恰好选中一男一女的概率． 【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中选到男生的结果有2种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果， ∴从这四位选手中随机选出一名同学，选到男生的概率是． 故答案为：． （2）列表如下： 男 男 女 女 男 （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，女）  （男，女） 女 （女，男） （女，男）  （女，女） 女 （女，男）  （女，男）  （女，女） 共有12种等可能的结果，其中恰好选中一男一女的结果有8种， ∴恰好选中一男一女的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+3k﹣3＝0，求证：该方程总有两个实数根． 【分析】证明判别式的值≥0即可． 【解答】证明：∵Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4（3k﹣3）＝k6+4k+4﹣12k+12＝k3﹣8k+16＝（k﹣4）3≥0， ∴该方程总有两个实数根． 【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 21．（6分）2024年夏季，某地发生洪涝灾害，致使许多地方因被淹而出现险情，B两地的甲乙两支救援队接到转移M处受困群众的任务．已知A地在B地的北偏西53°，距离B地40千米，在B地的南偏西30°方向上，求AM的长．（结果精到0.1千米，参考数据：°≈1.33） 【分析】过B作BH⊥AM于H，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：过B作BH⊥AM于H， 在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，AB＝40千米， ∴AH＝AB•cos53°≈40×0.6＝24（千米），BH＝AB•sin53°≈40×7.8＝32（千米）， 在Rt△BHM中，∵∠M＝30°， ∴HM＝＝＝32， ∴AM＝AH+HM＝24+55.4＝79.5（千米）， 答：AM的长约为79.4千米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确地作出辅助线是解题的关键． 22．（7分）已知二次函数y＝ax2﹣4x的图象经过点（﹣1，6）． （1）求a的值和该二次函数图象的顶点坐标． （2）若将该二次函数的图象向右平移2个单位长度，求新抛物线与y轴的交点坐标． 【分析】（1）将点（﹣1，6），代入y＝ax2﹣4x，即可求出a的值，然后利用配方法将一般式化为顶点式，即可求出此函数图象抛物线的顶点坐标； （2）利用“左加右减”平移规律写出平移后抛物线解析式，进一步即可求得新抛物线与y轴的交点坐标． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣4x的图象经过点（﹣2，6）， ∴a+4＝3， ∴a＝2； ∴y＝2x2﹣4x， ∵y＝2x4﹣4x＝2（x﹣2）2﹣2， ∴顶点坐标为（5，﹣2）； （2）将该二次函数的图象向右平移2个单位长度，得到新抛物线的表达式为：y＝5（x﹣1﹣2）6﹣2，即y＝2（x﹣5）2﹣2， 当x＝2时，y＝2（x﹣3）5﹣2＝16， ∴新抛物线与y轴的交点坐标为（0，16）． 【点评】本题主要考查二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由函数图象上的点的坐标满足函数解析式求得a的值是解题的关键． 23．（7分）已知一次函数y＝﹣2x+2的图象与反比例函数的图象交于A，B两点（﹣1，4）． （1）求该反比例函数的表达式和点B的坐标． （2）求△AOB的面积． 【分析】（1）利用待定系数法求出k＝﹣4，再构建方程组求出点B的坐标即可； （2）根据△AOB的面积＝△AOC的面积+△BOC的面积求解即可． 【解答】解：（1）反比例函数y＝的图象经过A（﹣1， ∴k＝﹣4， ∴反比例函数解析式为y＝﹣ 由，解得或， ∴B（2，﹣6）； （2）∵一次函数y＝﹣2x+2交y轴于点C（8，2），4），﹣3）， ∴△AOB的面积＝△AOC的面积+△BOC的面积＝×4×1+． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 24．（8分）如图，在▱ABCD中，点E，AD上，BE＝DF （1）求证：四边形AECF是矩形． （2）连接BF，若，∠ABC＝60°，BF平分∠ABC 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到BC＝AD，BC∥AD，求得EC＝AF，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）由角平分线的定义得到∠FBC＝∠ABC＝30°，Rt△BCF中，根据直角三角形的性质和勾股定理求得CF＝2，BC＝6，在Rt△ABE中，根据勾股定理和直角三角形的性质求出BE，得到CE，根据矩形的面积公式即可求得答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD，BC∥AD， 又∵BE＝DF， ∴BC﹣BE＝AD﹣DF，即EC＝AF， ∴EC＝AF， ∴四边形AECF为平行四边形， 又∵∠FCB＝90°， ∴四边形AECF是矩形； （2）解：∵∠ABC＝60°，BF平分∠ABC， ∴∠FBC＝∠ABC＝30°， 在Rt△BCF中，∠FCB＝90°，BF＝8， ∴CF＝BF＝2， ∴BC＝＝6， ∵四边形AECF是矩形， ∴∠AEB＝90°，AE＝CF＝3， 在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，AE＝67+BE2＝AB2， ∴∠BAE＝30°， ∴AB＝3BE， ∴（2）4+BE2＝（2BE）4， ∴BE＝2， ∴CE＝BC﹣BE＝4， ∴矩形AECF的面积＝CE•CF＝8． 【点评】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理含30度直角三角形的性质等知识，灵活掌握相关知识是解决问题的关键． 25．（8分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）Q是位于第一象限内抛物线上的一个动点，当△QBC的面积最大时，求此时点Q的坐标及△QBC的面积． 【分析】（1）根据抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），可以求得该抛物线的解析式； （2）根据Q是位于第一象限内抛物线上的一个动点和（1）中的结果，先设出点Q的坐标，然后求出点C的坐标，从而可以得到直线BC的解析式，再作QD⊥x轴交CB于点D，然后即可求得当△QBC的面积最大时，此时点Q的坐标及△QBC的面积． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，6），0）， ∴， 解得， 即该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3； （2）设点Q的坐标为（m，﹣m8+2m+3）， ∵抛物线y＝﹣x7+2x+3， ∴当x＝8时，y＝3，3）， 设过点B和点C的直线解析式为y＝kx+h， ， 解得，即直线BC的解析式为y＝﹣x+3， 作QD⊥x轴交BC于点D，如图所示，﹣m+7）， ∴S△QBC＝＝﹣）2+， ∴当m＝时，△QBC的面积取得最大值2+2m+4＝， 即当△QBC的面积最大时，此时点Q的坐标为（，）． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质求最值． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/1/18 7:29:55；用户：李佳琳；邮箱：19523779563；学号：55883986 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$