河南省安阳市林州市、滑县2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷（B卷）

2024-2025学年河南省安阳市林州市、滑县九年级（上）期末数学试卷（B卷） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）已知一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两根分别为m，n，则m+n+mn的值为（　　） A．﹣5 B．3 C．﹣3 D．4 2．（3分）每届的世界杯不仅是全世界球迷的狂欢，更是一场顶级的全球商业盛宴．2022年卡塔尔世界杯中国企业共赞助1395000000美元．将1395000000用科学记数法表示应为应为（　　） A．1.395×109 B．13.95×108 C．1.395×106 D．13.95×107 3．（3分）点（2，﹣3）在函数图象上（　　） A．它的图象分布在二、四象限 B．当x＞0时，y的值随x的增大而增大 C．当x＜0时，y的值随x的增大而减小 D．它的图象过点（﹣1，6） 4．（3分）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从左面看该几何体得到的图形是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）如图，A、B是双曲线y＝上的两点，交OB于点D，垂足为点C，D为OB的中点，则k的值为（　　） A． B． C．3 D．4 6．（3分）现有三张分别标有数字1，2，3的牌，它们除数字外完全相同，甲、乙两人进行摸牌游戏甲从中随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，若两人抽取的数字之和为偶数，则甲胜（　　） A． B． C． D． 7．（3分）如图，将△ABC以点O为位似中心放大后得到△A1B1C1，若OB：OB1＝1：2，且△ABC的面积为3，则△A1B1C1的面积为（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果AC＝3，AB＝6（　　） A． B． C． D．3 9．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5（　　） A． B． C． D． 10．（3分）平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝1；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．上述结论中（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（3分）一个圆锥的底面周长是6πcm，母线长是6cm，则圆锥侧面展开图的扇形圆心角是 　 　． 12．（3分）如图，⊙P的半径为2，圆心P在函数，当⊙P与坐标轴相切时，点P的坐标为　 　． 13．（3分）一次函数y＝﹣3x+k与反比例函数有且仅有一个交点，则k的值为 　 　． 14．（3分）在△ABC中，已知∠A，∠B是锐角|+（2sinB﹣）2＝0，则∠C的度数为 　 　． 15．（3分）如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB向B点以1cm/s的速度运动，那么　 　秒后，线段PQ将△ABC分成面积2：1的两部分． 三、解答题（共8个小题，共75分） 16．（8分）先化简，再求值÷，其中x＝3． 17．（9分）为了丰富同学们的课余生活，某学校计划举行“亲近大自然”户外活动，现随机抽取了部分学生进行主题为“你最想去的景点是？”的问卷调查（西溪景区），B（黄海森林公园），C（安丰古街），D（弶港龙王古寺）”四个景点中选择一项，根据调查结果 请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： （1）本次调查的学生多少人？ （2）在扇形统计图中，“B景点”部分所占圆心角的度数为多少？ （3）请将两个统计图补充完整（共3处需要补充）； （4）若该校共有2000名学生，估计该校最想去A景点的学生人数为多少？ 18．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，作AE⊥CD于点E． （1）求证：△ACE∽△BAC； （2）若，CE＝1，求CD的长． 19．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝kx+b与反比例函数交于点A（﹣2，﹣1），B（1，m）． （1）求y1，y2对应的函数表达式； （2）直接写出当x＜0时，不等式的解集． （3）求△AOB的面积． 20．（9分）某学校无人机兴趣小组在飞行物限高50米的某区域内举行微型无人机试飞，该兴趣小组利用所学知识对小昆的无人机（A）的飞行高度进行了测量．如图，然后沿水平方向EB前行50m到点C处，在点C处测得∠ADG＝60°．请你根据该小组的测量方法和数据（参考数据：） 21．（10分）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者好评，某超市每天购进一批成本价为6元/kg的该大米；当售价为9元/kg时，每天售出大米900kg（kg）与售价x（元/kg）满足一次函数关系． （1）请写出y与x的函数关系式； （2）当售价定为多少元/kg时，每天销售该大米的利润可达到3500元； （3）当售价定为多少元/kg时，每天获利最大？最大利润为多少？ 22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，DC与⊙O相切于点C，连接CB． （1）求证：BC平分∠ABD； （2）若，AB＝5，求BD的长． 23．（11分）如图1，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC（不含端点）．作∠EDF＝90°，DE，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题： 【问题发现】 （1）如图1，若点D为BC边中点，请直接写出DE　 　． 【类比探究】 （2）如图2，若点D为BC边上一动点，且DC＝mBD．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在边长为4的等边△ABC中，点D为BC边上一动点，CE是否有最大值．如果有，求出最大值，请说明理由． 2024-2025学年河南省安阳市林州市、滑县九年级（上）期末数学试卷（B卷） 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C D B D C A D C 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）已知一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两根分别为m，n，则m+n+mn的值为（　　） A．﹣5 B．3 C．﹣3 D．4 【分析】根据两根之和等于，两根之积等于，求出m+n、mn的值，再代入代数式计算即可求解． 【解答】解：由条件可知m+n＝﹣2，mn＝﹣3， ∴m+n+mn＝﹣7﹣3＝﹣5， 故选：A． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 2．（3分）每届的世界杯不仅是全世界球迷的狂欢，更是一场顶级的全球商业盛宴．2022年卡塔尔世界杯中国企业共赞助1395000000美元．将1395000000用科学记数法表示应为应为（　　） A．1.395×109 B．13.95×108 C．1.395×106 D．13.95×107 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：1395000000＝1.395×109． 故选：A． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．（3分）点（2，﹣3）在函数图象上（　　） A．它的图象分布在二、四象限 B．当x＞0时，y的值随x的增大而增大 C．当x＜0时，y的值随x的增大而减小 D．它的图象过点（﹣1，6） 【分析】先把点（2，﹣3）代入反比例函数求出k的值，再根据反比例函数的性质即可得出结论． 【解答】解：∵点（2，﹣3）在函数， ∴k＝6×（﹣3）＝﹣6＜4， ∴反比例函数的解析式为y＝﹣， ∴它的图象分布在二、四象限，y的值随x的增大而增大，y的值随x的增大而增大，6） 故选项A、B、D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象和性质是解答此题的关键． 4．（3分）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从左面看该几何体得到的图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三视图的定义解答即可． 【解答】解：从左面看题中几何体得到的图形如图， 故选：D． 【点评】本题考查三视图，根据几何体得到三视图是解题的关键． 5．（3分）如图，A、B是双曲线y＝上的两点，交OB于点D，垂足为点C，D为OB的中点，则k的值为（　　） A． B． C．3 D．4 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义以及相似三角形的性质可得＝，进而得出＝，求出三角形AOC的面积，根据反比例函数系数k的几何意义求出答案． 【解答】解：如图，过点B作BE⊥x轴， ∵A、B是双曲线y＝，过A点作AC⊥x轴， ∴S△AOC＝S△BOE， ∵AC∥BE， ∴△OCD∽△OEB， ∴＝（）2， 又∵D是OB的中点， ∴＝， ∴＝， ∴＝， ∴＝， 又∵S△AOD＝1， ∴S△AOC＝＝|k|， ∵k＞4， ∴k＝， 解法二：过点B作BG⊥x轴于点G，则CD是△OBG的中位线． 设A（a，），B（7a，）， ∴CD＝，AD＝﹣＝， ∵•AD•OC＝1， ∴×a×， ∴k＝． 故选：B． 【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，相似三角形性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决问题的关键． 6．（3分）现有三张分别标有数字1，2，3的牌，它们除数字外完全相同，甲、乙两人进行摸牌游戏甲从中随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，若两人抽取的数字之和为偶数，则甲胜（　　） A． B． C． D． 【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两人抽取的数字之和为偶数的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为： 共有9种等可能的结果数，其中两人抽取的数字之和为偶数的有5种结果， 所以甲获胜的概率为， 故选：D． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题的关键是要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 7．（3分）如图，将△ABC以点O为位似中心放大后得到△A1B1C1，若OB：OB1＝1：2，且△ABC的面积为3，则△A1B1C1的面积为（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△A1B1C1，AB∥A1B1，证明△AOB∽△A1OB1，求出AB：A1B1＝1：2，根据相似三角形的性质计算即可． 【解答】解：∵△ABC与△A1B1C7是位似图形， ∴△ABC∽△A1B1C3，AB∥A1B1， ∴△AOB∽△A2OB1， ∴AB：A1B4＝OB：OB1＝1：8， ∴＝， ∵S△ABC＝4， ∴S＝12， 故选：C． 【点评】本题考查的是位似变换，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果AC＝3，AB＝6（　　） A． B． C． D．3 【分析】根据射影定理得到：AC2＝AD•AB，把相关线段的长度代入即可求得线段AD的长度． 【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，CD⊥AB， ∴AC2＝AD•AB， 又∵AC＝3，AB＝2， ∴32＝6AD，则AD＝． 故选：A． 【点评】本题考查了射影定理．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 9．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据矩形的性质得AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，再根据折叠的性质得AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝4，则CF＝BC﹣BF＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+12＝（3﹣x）2，解方程即可得到x，进一步得到EF的长，再根据正弦函数的定义即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3， ∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处， ∴AF＝AD＝5，EF＝DE， 在Rt△ABF中，BF＝＝， ∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝4， 设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x 在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2， ∴x2+42＝（3﹣x）2，解得x＝， ∴DE＝EF＝6﹣x＝， ∴tan∠DAE＝＝＝， 故选：D． 【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 10．（3分）平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝1；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．上述结论中（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用抛物线开口向上，可得a＞0，抛物线与y轴交于负半轴，可得c＜0，又因为抛物线的对称轴是直线x＝1，即﹣，所以b＝﹣2a＜0，即可判定①；由图可知，当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，把b＝﹣2a代入即可判定②；利用x＝﹣1时，a﹣b+c＞0；x＝1时，a+b+c＜0得到（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，则判定③；利用x＝1时，y有最小值得到a+b+c≤am2+bm+c可对判定④． 【解答】解：①由图可知，抛物线开口向上， 抛物线与y轴交于负半轴，所以c＜0， 又因为抛物线的对称轴是直线x＝1，即﹣， ∴abc＞0，故①错误； ②由图可知，当x＝﹣7时， 即a﹣b+c＞0， ∵b＝﹣2a， ∴2a+c＞0，故②正确； ③∵x＝﹣1时，y＞2；x＝1时，即a+b+c＜0， ∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜7， ∴（a+c）2﹣b2＜5，所以③正确； ④∵x＝1时，y有最小值， ∴a+b+c≤am2+bm+c， 即a+b≤m（am+b），所以④正确． 综上，正确的有②③④共4个， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线对称轴为直线x＝﹣，抛物线的最值，当x＝﹣时，当a＞0，y有最小值，当a＜0时，y有最大值． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（3分）一个圆锥的底面周长是6πcm，母线长是6cm，则圆锥侧面展开图的扇形圆心角是 　180°　． 【分析】利用圆锥的底面周长和母线长求得圆锥的侧面积，然后再利用圆锥的侧面展开扇形的弧长的计算方法求得侧面展开扇形的圆心角的度数即可． 【解答】解：∵圆锥的底面圆的周长是6πcm， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为6πcm， ∴＝5π， 解得：n＝180 故答案为：180°． 【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是根据圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长来求出圆心角． 12．（3分）如图，⊙P的半径为2，圆心P在函数，当⊙P与坐标轴相切时，点P的坐标为　（2，3）或（3，2）　． 【分析】依据题意，分两种情况进行讨论：⊙P与x轴相切或⊙P与y轴相切，分别求解即可． 【解答】解：由题意，∵⊙P与坐标轴相切， ∴可分两种情况分析． ①当⊙P与x轴相切时， ∴点P的纵坐标为2， ∴． ∴x＝3， ∴点P的坐标为（3，7）． ②⊙P与y轴相切时， ∴点P的横坐标为2， ∴，即y＝3． ∴点P的坐标为（2，8）， 综上，点P的坐标为：（2，2）， 故答案为：（8，3）或（3． 【点评】本题主要考查了圆与直线的位置关系、反比例函数图象的位置关系的一道综合题，熟练运用分类讨论的思想和准确把握动圆与坐标轴相切时点P的坐标特征是解此题的关键． 13．（3分）一次函数y＝﹣3x+k与反比例函数有且仅有一个交点，则k的值为 　12　． 【分析】联立一次函数y＝﹣3x+k与反比例函数解析式，根据题意得出Δ＝k2﹣4×（﹣3）×（﹣k）＝0，即可求解． 【解答】解：将代入y＝﹣3x+k得， 整理得﹣7x2+kx﹣k＝0， ∵反比例函数与一次函数y＝﹣7x+k的图象有且只有一个交点， ∴Δ＝k2﹣4×（﹣5）×（﹣k）＝0， ∴k2﹣12k＝2， ∴k（k﹣12）＝0， ∴k＝12或0（舍去）， 故答案是：12． 【点评】该题主要考查了一次函数与反比例函数的性质，一元二次方程根判别式等知识点，解题的关键是理解题意． 14．（3分）在△ABC中，已知∠A，∠B是锐角|+（2sinB﹣）2＝0，则∠C的度数为 　75°　． 【分析】根据绝对值和偶次方的非负性可得：，，从而可得，，进而可得∠A＝60°，∠B＝45°，然后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答． 【解答】解：∵||+（2sinB﹣）2＝0， ∴，， ∴，， ∴∠A＝60°，∠B＝45°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°， 故答案为：75°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，特殊角的三角函数值．熟记特殊角三角函数值是关键． 15．（3分）如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB向B点以1cm/s的速度运动，那么　2或4　秒后，线段PQ将△ABC分成面积2：1的两部分． 【分析】设运动时间为t s，根据题意可得BQ＝2t cm，BP＝（6﹣t）cm，再根据三角形面积公式分两种情况求解即可． 【解答】解：AB＝6cm，BC＝8cm，点Q从B点开始沿BC边向C点以3cm/s的速度移动，则AP＝t cm， ∵AB＝6cm，BC＝8cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（6﹣t）cm， ∵线段PQ将△ABC分成面积2：1的两部分， ∴或， ∴，或， 整理得：t7﹣6t+8＝6或t2﹣6t+16＝5（无实数解）， 解得t1＝2，t4＝4， 即线段PQ将△ABC分成面积2：7的两部分，运动时间为2或4秒． 故答案为：6或4． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系正确列方程是解题关键． 三、解答题（共8个小题，共75分） 16．（8分）先化简，再求值÷，其中x＝3． 【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子计算即可． 【解答】解：÷ ＝ ＝ ＝， 当x＝3时，原式＝＝． 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式加法和除法运算法则． 17．（9分）为了丰富同学们的课余生活，某学校计划举行“亲近大自然”户外活动，现随机抽取了部分学生进行主题为“你最想去的景点是？”的问卷调查（西溪景区），B（黄海森林公园），C（安丰古街），D（弶港龙王古寺）”四个景点中选择一项，根据调查结果 请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： （1）本次调查的学生多少人？ （2）在扇形统计图中，“B景点”部分所占圆心角的度数为多少？ （3）请将两个统计图补充完整（共3处需要补充）； （4）若该校共有2000名学生，估计该校最想去A景点的学生人数为多少？ 【分析】（1）根据选D的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数； （2）根据统计图中的数据，可以计算出在扇形统计图中，B景点”部分所占圆心角的度数； （3）根据统计图中的数据，可以计算出选C的人数和A、B所占的百分比，可以将统计图补充完整； （4）根据统计图中的数据，可以计算出该校最想去A景点的学生人数人数是多少人． 【解答】解：（1）本次调查的学生人数为6÷5%＝120（人）， 故答案为：120人； （2）在扇形统计图中，“B景点”部分所占圆心角的度数为360°×； （3）选择C的人数为：120×25%＝30（人），100%＝55%， A所占的百分比为：7﹣55%﹣25%﹣5%＝15%． 补全统计图如图： （4）×2000＝300（人）． 答：若该校共有2000名学生，估计该校最想去A景点的学生人数为300人． 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 18．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，作AE⊥CD于点E． （1）求证：△ACE∽△BAC； （2）若，CE＝1，求CD的长． 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD＝BD＝CD，进而可以证明△ACE∽△BAC； （2）由（1）△ACE∽△BAC，得＝，代入值可得AB，进而可以解决问题． 【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∵CD是△ABC的中线， ∴AD＝BD＝CD， ∴∠DCB＝∠DBC， ∵AE⊥CD， ∴∠AEC＝∠ACB＝90°， ∴∠CAE＝90°﹣∠ACE＝∠DCB， ∴∠CAE＝∠DBC， ∴△ACE∽△BAC； （2）解：∵，CE＝1， 由（1）知：△ACE∽△BAC， ∴＝， ∴＝， ∴AB＝6， ∴CD＝AB＝． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ACE∽△BAC． 19．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝kx+b与反比例函数交于点A（﹣2，﹣1），B（1，m）． （1）求y1，y2对应的函数表达式； （2）直接写出当x＜0时，不等式的解集． （3）求△AOB的面积． 【分析】（1）先将点A坐标代入反比例函数解析式，求出m，再求出点B坐标，最后用待定系数法求出一次函数解析式即可． （2）根据图象即可求解． （3）求出一次函数与x轴的交点，将三角形面积分割成两个三角形面积和求解即可． 【解答】解：（1）将点A坐标代入反比例函数得n＝﹣5×（﹣1）＝2， ∴反比例函数解析式为y＝， 将B（1，m）代入反比例函数解析式得， m＝2， 所以点B的坐标为（2，2）． 将A，B两点坐标代入y1＝kx+b得， 解得， 所以一次函数解析式为y＝x+1． （2）由函数图象可知，当x＜7时的解集是：﹣2＜x＜0． （2）设直线y＝x+6与x轴交于点M 令y＝0，则x＝﹣1， ∴M（﹣8，0）， ∴S△AOB＝S△BOM+S△AOM＝＝． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，函数与不等式的关系，三角形面积，数形结合是解题的关键． 20．（9分）某学校无人机兴趣小组在飞行物限高50米的某区域内举行微型无人机试飞，该兴趣小组利用所学知识对小昆的无人机（A）的飞行高度进行了测量．如图，然后沿水平方向EB前行50m到点C处，在点C处测得∠ADG＝60°．请你根据该小组的测量方法和数据（参考数据：） 【分析】连接FD并延长交AB于点G，根据题意可得：FE＝CD＝BG＝1.5m，FD＝CE＝50m，FG⊥AB，然后设DG＝x m，则FG＝（x+50）m，分别在Rt△ADG和Rt△AFG中，利用勾股定理，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：此同学的无人机没有超过限高要求， 理由：连接FD并延长交AB于点G， 由题意得：FE＝CD＝BG＝1.5m，FD＝CE＝50m， 设DG＝x m， ∴FG＝DF+DG＝（x+50）m， 在Rt△ADG中，∠ADG＝60°， ∴AD＝7DG＝2x， ∴AG＝＝x（m）， 在Rt△AFG中，∠AFG＝30°， ∴AF＝2AG＝8x， ∴FG＝＝3x＝x+50， 解得：x＝25， ∴AG＝25+50＝75（m）， ∴AB＝AG+BG＝75+1.5＝76.5（m）， ∵76.5m＞50m， ∴小昆的无人机超过限高要求． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 21．（10分）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者好评，某超市每天购进一批成本价为6元/kg的该大米；当售价为9元/kg时，每天售出大米900kg（kg）与售价x（元/kg）满足一次函数关系． （1）请写出y与x的函数关系式； （2）当售价定为多少元/kg时，每天销售该大米的利润可达到3500元； （3）当售价定为多少元/kg时，每天获利最大？最大利润为多少？ 【分析】（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，将（8，1000），（9，900）代入即可解得k、b，从而得到y与x的函数关系式； （2）由（售价﹣成本价）×每天销售大米的质量＝利润可得关于x的一元二次方程，求解后根据x的取值范围即可得解； （3）设利润为w元，由（售价﹣成本价）×每天销售大米的质量＝利润推得w＝（x﹣6）（﹣100x+1800）＝﹣100（x﹣12）2+3600，则根据二次函数的图象和性质可得当x＝12时，w有最大值，每天获利最大，最大利润为3600元． 【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b， 根据题意得，该函数经过点（8，（9， 将（8，1000），900）代入， 得， 解得， ∴y与x的函数关系式为y＝﹣100x+1800（4≤x≤12.5）； （2）根据题意，得（x﹣6）y＝3500， ∴（x﹣2）（﹣100x+1800）＝3500， 解得x1＝11，x2＝13， ∵售价不低于成本单价且不超过12.5元/kg， ∴当售价定为11元/kg时，利润可达到3500元． （3）设利润为w元，根据题意得： w＝（x﹣6）（﹣100x+1800）＝﹣100（x﹣12）2+3600， ∵﹣100＜3，6≤x≤12.5， ∴当x＝12时，w有最大值， ∴当售价定为12元/kg时，每天获利最大． 【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，二次函数的最值，解题关键是熟练掌握二次函数的最值求法． 22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，DC与⊙O相切于点C，连接CB． （1）求证：BC平分∠ABD； （2）若，AB＝5，求BD的长． 【分析】（1）连接OC，如图，先根据切线的性质得到OC⊥CD，再证明OC∥BD，所以∠OCB＝∠DBC，然后证明∠OBC＝∠DBC得到结论； （2）过C点作CH⊥AB于H点，如图，先根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用勾股定理可计算出BC＝，再利用面积法求出CH＝2，则可计算出BH＝1，接着根据角平分线的性质得到CH＝CD，然后证明Rt△BCH≌Rt△BCD得到BH＝BD． 【解答】（1）证明：连接OC，如图， ∵DC与⊙O相切于点C， ∴OC⊥CD， ∵BD⊥CD， ∴OC∥BD， ∴∠OCB＝∠DBC， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝OBC， ∴∠OBC＝∠DBC， ∴BC平分∠ABD； （2）解：过C点作CH⊥AB于H点，如图， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC＝＝＝， ∵CH•AB＝， ∴CH＝＝2， 在Rt△BCH中，BH＝＝， ∵BC平分∠ABD，CH⊥BA， ∴CH＝CD， 在Rt△BCH和Rt△BCD中， ， ∴Rt△BCH≌Rt△BCD（HL）， ∴BH＝BD＝5． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理． 23．（11分）如图1，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC（不含端点）．作∠EDF＝90°，DE，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题： 【问题发现】 （1）如图1，若点D为BC边中点，请直接写出DE　DE＝DF　． 【类比探究】 （2）如图2，若点D为BC边上一动点，且DC＝mBD．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在边长为4的等边△ABC中，点D为BC边上一动点，CE是否有最大值．如果有，求出最大值，请说明理由． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和ASA证明△DBE≌△DAF，进而利用全等三角形的性质解答即可； （2）根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可； （3）根据相似三角形的判定和性质以及二次函数的最值解答即可． 【解答】（1）解：DE＝DF，理由如下： 连接AD， ∵△ABC是等腰直角三角形，点D为BC边的中点， ∴AD平分∠BAC，AD⊥BC， ∴∠B＝∠DAF＝45°， ∵∠EDF＝90°， ∴∠BDE＝∠ADE＝∠ADE+∠ADF＝90°， ∴∠BDE＝∠ADF， ∴△DBE≌△DAF（ASA）， ∴DE＝DF； 故答案为：DE＝DF； （2）解：DF＝mDE，理由如下： 过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N， ∵∠B＝∠C＝45°，∠DMB＝∠DNC＝90°， ∴△CND与△BDM均为等腰直角三角形， ∴△CDN∽△BDM， ∴， ∵∠DMA＝∠DNA＝∠A＝90°， ∴∠MDN＝90°， ∵∠EDF＝90°， ∴∠EDM+∠EDN＝∠EDN+∠FDN＝90°， ∴∠EDM＝∠FDN， ∵∠DME＝∠DNF＝90°， ∴△DNF∽△DME， ∴， ∴DF＝mDE； （3）解：CE有最大值，最大值为1， 设BD＝x，CE＝y，0＜x＜5， ∵∠ADE＝60°， ∴∠BAD+∠ADB＝∠ADB+∠CDE＝120°， ∴∠BAD＝∠CDE， ∵∠B＝∠C＝60°， ∴△ABD∽△DCE， ∴， 即， 整理得：y＝﹣（x﹣2）3+1， ∴当x＝2时，即点D为BC边的中点时． 【点评】此题考查三角形综合题，关键是根据全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质解答． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/1/18 7:30:03；用户：李佳琳；邮箱：19523779563；学号：55883986 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$