精品解析：广东省惠州市惠阳区惠州市知行学校2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

广东省惠州市惠阳区惠州市知行学校2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 考试时间：120分钟 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列相关卡通图标分别是“星球”“宇航员”“太空舱”和“中国空间站”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件是必然事件的是（　　） A. 阴天一定会下雨 B. 打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放新闻联播 C. 购买一张体育彩票，中奖 D. 任意画一个三角形，其内角和是180° 3. 关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. k＞－1 B. k≥－1 C. k＜－1 D. k≤－1 4. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）大致的图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（　　） A. 函数有最大值 B. 对称轴是直线x＝ C. 当x＜时，y随x的增大而减小 D. 当时﹣1＜x＜2时，y＞0 5. 将抛物线向右平移3个单位，再向上移动1个单位，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，A为反比例函数图象上的一点，于B，点P在x轴上，，则这个反比例函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，点C，D在上，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 某班学生做“用频率估计概率”的实验时，某一结果出现如图所示的统计图，符合这一结果的实验可能是（ ） A. 从标有1，2，3，4，5，6的卡片中任抽一张是偶数 B. 同时抛掷两枚相同硬币出现的结果是一正一反 C. 从一副去掉大小王的扑克中任抽一张牌的花色是红桃 D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子得到向上的面点数小于3 9. 如图，把绕C点顺时针旋转，得到，交于点D，若，则的度数（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形是边长为的正方形，点E，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，连接，点P从点E出发沿运动，同时点Q从点B出发沿运动，两点运动速度均为，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接，的面积为，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 12. 某种蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流与可变电阻之间的函数关系如图所示，当某种使用这种蓄电池的用电器的安全电流最大为时，原电路中已经有一个的定值电阻，则至少应再串联一个_______的电阻才可以保证电路安全（已知：串联电路的总电阻等于各电阻之和）． 13. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，两点，当一次函数的值大于反比例函数值时，自变量的取值范围________． 14. 如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，D是弧AB上一点，连接BD，并延长至E，连接AD，若AB＝AC，∠ADE＝65°，则∠BOC＝______． 15. 在中，，，，以为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，交BC于点E，以E为圆心，CE长为半径画弧，交AB于点F．交弧AE于点G，则图中阴影部分的面积为_____________． 三、解答题（每题8分，共24分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，AB为⊙O的一条弦． （1）用尺规作图：过点O作OC⊥AB，垂足点C，交于点D(保留作图痕迹，不写作法)； （2）若(1)中的CD的长为2，BD的长为，求⊙O的半径． 18. 如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点C，连接． （1）求点B的坐标； （2）求的面积． 四、解答题（二）（每题9分，共27分） 19. “青年大学习”是由共青团中央发起，广大青年参与，通过学习来提升自身理论水平、思维层次行动．某校为了解九年级学生学习“青年大学习”的情况，随机抽取部分九年级学生进行了问卷调查，按照调查结果，将学习情况分为优秀、良好、合格、较差四个等级．学校绘制了如下不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题： （1）本次参与问卷调查初中生共有 人，将条形统计图补充完整； （2）“较差”所对应的圆心角度数为 度： （3）该校某班有4名同学（2名男同学、2名女同学）在调查中获得“优秀”等级，班主任将从这4名同学中随机选取2名同学，代表班级参加学校组织的“青年大学习”演讲大赛，请用列表或画树状图的方法，求所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率． 20. 某商城双11促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． （1）商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个12.8元的价格售出，求商城每次降价的百分率． （2）市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 21. 如图，在中，，平分交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 五、解答题（三）（每题12分，共24分） 22. （1）【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题： 如图1，已知等边，是外一点，连接、、．若，，，求的长．请你帮忙完善解题过程． 解∶如图2所示，以为边作等边，连接． 、是等边三角形， ，，， _________， 即， ________≌_________． ， ，， ， ， ________． （2）【尝试应用】如图3，在中，，，，以为直角边，为直角顶点作等腰直角，求长． （3）【拓展创新】如图4，在中，，，以为边向外作等腰，，，连接，直接写出的最大值． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴于，两点，与y轴交于C点，点P是直线BC下方抛物线上一动点． （1）求这个二次函数解析式； （2）当动点Р运动到什么位置时，使四边形ACPB的面积最大，求出此时四边形ACPB的面积最大值和P的坐标； （3）如图2，点M在抛物线对称轴上，点N是平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以点M、N、A、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有M点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省惠州市惠阳区惠州市知行学校2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 考试时间：120分钟 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列相关卡通图标分别是“星球”“宇航员”“太空舱”和“中国空间站”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．根据中心对称图形与轴对称图形的概念逐个分析即可． 【详解】A．不是中心对称图形，此选项不符合题意； B．不是中心对称图形，此选项不符合题意； C．不是中心对称图形，此选项不符合题意； D．既轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意； 故选：D． 2. 下列事件是必然事件的是（　　） A. 阴天一定会下雨 B. 打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放新闻联播 C. 购买一张体育彩票，中奖 D. 任意画一个三角形，其内角和是180° 【答案】D 【解析】 【分析】根据必然事件的概念解答：在一定条件下，一定发生的事件是必然事件；不确定事件即随机事件，是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、阴天不一定会下雨，是不确定事件； B、打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放新闻联播，是随机事件； C、购买一张体育彩票，中奖是不确定事件； D、任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件； 故选：D． 【点睛】本题考查必然事件、不确定事件等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 3. 关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. k＞－1 B. k≥－1 C. k＜－1 D. k≤－1 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：因为方程有两个不相等的实数根，所以＞0，所以k＞－1，故选A． 考点：一元二次方程根的判别式． 4. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）大致的图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（　　） A. 函数有最大值 B. 对称轴是直线x＝ C. 当x＜时，y随x的增大而减小 D. 当时﹣1＜x＜2时，y＞0 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象可对A进行判断；利用对称性确定抛物线的对称轴，则可对B进行判断；再根据二次函数的性质对C进行判断；然后利用抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对D进行判断． 【详解】解：A、抛物线的开口向下，所以抛物线有最大值，所以A选项的说法正确； B、抛物线与x轴交于点（−1，0）和（2，0），则抛物线的对称轴为直线x＝，所以B选项的说法正确； C、因为抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝，则当x＜时，y随x的增大而增大，所以C选项的说法错误； D、当−1＜x＜2时，y＞0，所以D选项的说法正确， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，数形结合思想的应用是解题的关键． 5. 将抛物线向右平移3个单位，再向上移动1个单位，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解． 【详解】解：平移后所得抛物线的解析式为：， 故选：C 6. 如图，A为反比例函数图象上的一点，于B，点P在x轴上，，则这个反比例函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点P作AB边上的高PD，交AB的延长线与点D，设A点坐标为（x，y）利用平行线之间的距离处处相等，可得PD的长度即为A点纵坐标的绝对值，底AB的长度即为A点横坐标的绝对值，最后即可求出k的值和的关系. 【详解】解：过点P作AB边上的高PD，交AB的延长线与点D ，设A点坐标为（x，y） ∵A为反比例函数图象上的一点 ∴ ∵轴 ∴AB∥x轴 ∴AB=，PD= ∵ ∴AB ·PD=2 ∴=2 ∴ ∵反比例函数图象在二、四象限 ∴k＜0 ∴ 故选D. 【点睛】此题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数上点的坐标与图形的面积关系是解决此题的关键. 7. 如图，是的直径，点C，D在上，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，由直径所对的圆周角是直角得到，再由三角形内角和定理和同弧所对的圆周角相等即可得到． 【详解】解；∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8. 某班学生做“用频率估计概率”的实验时，某一结果出现如图所示的统计图，符合这一结果的实验可能是（ ） A. 从标有1，2，3，4，5，6的卡片中任抽一张是偶数 B. 同时抛掷两枚相同硬币出现的结果是一正一反 C. 从一副去掉大小王的扑克中任抽一张牌的花色是红桃 D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子得到向上的面点数小于3 【答案】D 【解析】 【分析】根据频率估计概率分别对每一项进行分析，由统计图图象可知，事件的概率在0.3～0.4之间，找到符合条件的选项即可． 【详解】解：由统计图图象可知，事件的概率在0.3-0.4之间，对选项进行分析得： A、从标有1，2，3，4，5，6的卡片中抽一张是偶数的概率是==0.5，0.5不在0.3～0.4之间，故选项错误，不符合题意； B、同时抛掷两枚相同硬币出现的结果是一正一反的概率为=0.25，0.25不在0.3～0.4之间，故选项错误，不符合题意； C、从一副去掉大小王的扑克中任抽一张牌的花色是红桃的概率是=0.25，0.25不在0.3～0.4之间，故选项错误，不符合题意； D、掷一个质地均匀正六面体骰子得到向上的面点数小于3的概率是，在0.3～0.4之间，故选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．解题的关键是熟悉概率=所求情况数与总情况数之比． 9. 如图，把绕C点顺时针旋转，得到，交于点D，若，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理；由旋转的性质可得，，可求出，再由即可求解. 【详解】解：由旋转的性质得：，， ∴， ∵， ∴， ∴. 故选：C. 10. 如图，四边形是边长为的正方形，点E，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，连接，点P从点E出发沿运动，同时点Q从点B出发沿运动，两点运动速度均为，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接，的面积为，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分0≤t≤1和1＜t≤2两种情形，确定解析式，判断即可． 【详解】当0≤t≤1时，∵正方形ABCD 的边长为2，点O为正方形的中心， ∴直线EO垂直BC， ∴点P到直线BC的距离为2-t，BQ=t， ∴S=； 当1＜t≤2时，∵正方形ABCD 的边长为2，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心， ∴直线OF∥BC， ∴点P到直线BC的距离为1，BQ=t， ∴S=； 故选D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的解析式，一次函数解析式，正确确定面积，从而确定解析式是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标变换规律，即如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数． 根据原点对称的点的坐标变换规律，得到点关于原点对称的点的坐标为． 【详解】解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为，故坐标为， 故答案为：． 12. 某种蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流与可变电阻之间的函数关系如图所示，当某种使用这种蓄电池的用电器的安全电流最大为时，原电路中已经有一个的定值电阻，则至少应再串联一个_______的电阻才可以保证电路安全（已知：串联电路的总电阻等于各电阻之和）． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，由图可知电流与可变电阻之间符合反比例函数关系，可先设出，代入已知点求解系数，再求解电流为时用电器的电阻，从而可得答案． 【详解】解：由图可知电流与可变电阻之间符合反比例函数关系， 设，代入， ∴， ∴解析式为； 当时，， ∴原电路中已经有一个的定值电阻，则至少应再串联一个的电阻才可以保证电路安全； 故答案为：2 13. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，两点，当一次函数的值大于反比例函数值时，自变量的取值范围________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是掌握相关知识并数形结合．根据图象求解即可． 【详解】解：由图可知，当一次函数的值大于反比例函数值时，自变量的取值范围是或， 故答案为：或． 14. 如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，D是弧AB上一点，连接BD，并延长至E，连接AD，若AB＝AC，∠ADE＝65°，则∠BOC＝______． 【答案】100° 【解析】 【分析】先根据圆内接四边形性质求出∠ACB的度数，再由AB=AC可得出∠ABC的度数，根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由圆周角定理即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABDC内接圆⊙O，∠ADE=65°， ∵∠ACB=65°． ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=65°， ∴∠BAC=180°−65°−65°=50°． ∵∠BAC与∠BOC是同弧所对的圆周角与圆心角， ∴∠BOC=2∠BAC=100°． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 15. 在中，，，，以为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，交BC于点E，以E为圆心，CE长为半径画弧，交AB于点F．交弧AE于点G，则图中阴影部分的面积为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，通过观察图形得到，分别求出每块面积即可． 【详解】解：连接、，过点作于点 观察图形可以的得到， 在中，，， ∴，， 由题意可知， ∴为等边三角形，为等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ 在中，， ∴ ∴ 故答案为． 【点睛】此题主要考查了勾股定理、三角形和扇形面积的计算，将阴影部分表示成规则图形的面积是解题的关键． 三、解答题（每题8分，共24分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握开平方法，因式分解法，配方法，公式法是解题的关键。 （1）因式分解法解一元二次方程； （2）因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解： 或 解得：或， ∴原方程的根为：，； 【小问2详解】 解： 或 解得：或， ∴原方程的根为：，． 17. 如图，AB为⊙O的一条弦． （1）用尺规作图：过点O作OC⊥AB，垂足为点C，交于点D(保留作图痕迹，不写作法)； （2）若(1)中的CD的长为2，BD的长为，求⊙O的半径． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】（1）按照画垂直平分线的步骤作图即可； （2）构造直角三角形，运用垂径定理求解． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：如图 连接BD，OB 在中，CD=2，BD= ∵ ∴ ∴ ∴BC=4 设OC=x，则OD=OB=x+2 在中，由勾股定理可得： 即 解得：x=3 ∴x+2=5 ∴⊙O的半径为5． 【点睛】本题考查了垂直平分线的画法，垂径定理等，解题的关键是熟练垂直平分线的画法以及运用垂径定理求线段长 18. 如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点C，连接． （1）求点B的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，等腰三角形的性质，反比例函数与几何图形， 对于（1），过点B作轴，根据等腰直角三角形的性质得，即可得出答案； 对于（2），先求出反比例函数的关系式，再求出点C的坐标，然后根据得出答案． 【小问1详解】 如图所示，过点B作轴，交x轴于点D， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∴点； 【小问2详解】 将点代入， 得， ∴． 当时，， ∴点， ∴． ∵， ∴． 四、解答题（二）（每题9分，共27分） 19. “青年大学习”是由共青团中央发起，广大青年参与，通过学习来提升自身理论水平、思维层次的行动．某校为了解九年级学生学习“青年大学习”的情况，随机抽取部分九年级学生进行了问卷调查，按照调查结果，将学习情况分为优秀、良好、合格、较差四个等级．学校绘制了如下不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题： （1）本次参与问卷调查的初中生共有 人，将条形统计图补充完整； （2）“较差”所对应的圆心角度数为 度： （3）该校某班有4名同学（2名男同学、2名女同学）在调查中获得“优秀”等级，班主任将从这4名同学中随机选取2名同学，代表班级参加学校组织的“青年大学习”演讲大赛，请用列表或画树状图的方法，求所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率． 【答案】（1）80，见详解 （2）36 （3） 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率、扇形统计图和条形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据优秀的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数减去其它等级的人数，求出良好的人数，再将条形统计图补充完整即可； （2）用合格的人数除以总人数求出合格的人数，用360°乘以“较差”的人数所占的百分比求出“较差”所对应的圆心角度数； （3）画树状图，共有12个等可能的结果，所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的结果有8个，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：抽取的学生人数为：（人）， 抽取的学生中良好的人数为：（人）， 将条形统计图补充完整如下： 故答案为：80； 【小问2详解】 “较差”所对应的圆心角度数为． 【小问3详解】 画树状图如图： 共有12个等可能的结果，所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的结果有8个， 则所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率为． 20. 某商城双11促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． （1）商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个12.8元的价格售出，求商城每次降价的百分率． （2）市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 【答案】（1）商城每次降价的百分率为 （2）要想获得最大利润，每个商品的定价为19元，最大利润是250元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程及二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程及列出二次函数关系式是解题的关键． （1）设商城每次降价的百分率为，利用经过两次降价后的价格原价每次降价的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）设每个商品应降价元，则平均每天可售出个，利用销售利润（售价进价）销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，再结合要想获得最大利润，即可得出每个商品的定价，从而求得最大利润． 【小问1详解】 解：设商城每次降价的百分率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：商城每次降价的百分率为； 【小问2详解】 解：设每个商品应降价元，则平均每天可售出个， 则利润：， 整理得：， 每个商品的售价不低于进价， ，解得：， 当时，获得利润最大，最大为250元， 此时每个商品的定价为（元）， 答：要想获得最大利润，每个商品的定价为19元，最大利润是250元． 21. 如图，在中，，平分交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，交于点． （1）求证：是切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）根据平分，可得∠ABD=∠OBD，再由OB=OD，可得∠OBD=∠ODB，从而得到∠ABD=∠ODB，进而得到OD∥AB，即可求证； （2）过点O作OF⊥BE于点F，则BF=EF，可得四边形ADOF是矩形，从而得到OF=AD=4，AF=OD=OB=5，再由勾股定理可得BF=3，从而得到AB= 8，BE=6，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴∠ABD=∠OBD， ∵OB=OD， ∴∠OBD=∠ODB， ∴∠ABD=∠ODB， ∴OD∥AB， ∵， ∴∠ODC=90°，即OD⊥CD， ∵OD为的半径， ∴是切线； 【小问2详解】 解：如图，过点O作OF⊥BE于点F，则BF=EF， ∵OD⊥AC， ∴∠ADO=∠A=∠AFO=90°， ∴四边形ADOF是矩形， ∴OF=AD=4，AF=OD=OB=5， 在中，由勾股定理得： ， ∴AB=BF+AF=8，BE=6， ∴AE=AB-BE=2． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定定理，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 五、解答题（三）（每题12分，共24分） 22. （1）【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题： 如图1，已知等边，是外一点，连接、、．若，，，求的长．请你帮忙完善解题过程． 解∶如图2所示，以为边作等边，连接． 、是等边三角形， ，，， _________， 即， ________≌_________． ， ，， ， ， ________． （2）【尝试应用】如图3，在中，，，，以为直角边，为直角顶点作等腰直角，求的长． （3）【拓展创新】如图4，在中，，，以为边向外作等腰，，，连接，直接写出的最大值． 【答案】（1），，，4；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据所给思路，结合图形即可证明； （2）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是等腰直角三角形，可得，可求； （3）以点为旋转中心，将绕点旋转，得到，连接，当、、三点共线时，最大，此时最大，求出，即可求，则的最大值为． 【详解】解：（1）如图2所示，以为边作等边，连接． ∵、是等边三角形， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴； 故答案为：，，，4； （2）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转，得到，连接，如图3， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转，得到，连接，如图4， ， ∴当共线时，最大，此时最大， ， ， 过点作交于点， ， ， ， 设， ， 解得：， ， 的最大值为． 【点睛】本题是三角形的综合题，熟练掌握三角形全等的性质，利用三角形旋转的性质解题是关键． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴于，两点，与y轴交于C点，点P是直线BC下方抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当动点Р运动到什么位置时，使四边形ACPB的面积最大，求出此时四边形ACPB的面积最大值和P的坐标； （3）如图2，点M在抛物线对称轴上，点N是平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以点M、N、A、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有M点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当时，四边形ABCP的最大值是，此时点P的坐标为 （3）存在，、、、 【解析】 【分析】（1）由二次函数的图象与x轴交于两点，直接利用待定系数法，即可求得这个二次函数的表达式； （2）设点P的坐标为，即可由求得答案； （3）分别从当，，AC为对角线，结合菱形的性质去分析求解即可求得答案． 【小问1详解】 ∵二次函数的图象与x轴交于两点， ∴， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为：； 【小问2详解】 设点P的坐标为 ∵ ∴当时，四边形ABCP的最大值是，此时点P的坐标为 【小问3详解】 ∵ ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴ 设点M的坐标为，则： ，，， 设的中点为Q，则点Q的坐标为即， ∴， 当时，则 ∴ 解得， ∴、； 当时，则， ∴ 解得， ∴、；舍去，此时M、A、C三点共线，无法构成菱形 当AC为对角线时则有： ∴ 解得， ∴ ∴存在这样的点M、N能够使得以点M、N、A、C为顶点的四边形是菱形，此时点M的坐标为：、、、 【点睛】此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式的知识、二次函数的最值问题以及菱形的性质．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $