江苏省镇江第一中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

2025年江苏省镇江第一中学高二（上)数学期末考试 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分， 1.椭圆r+上=1的短轴长为（) A.1 B.2 C. D.4 2.若直线x+y-2a-2=0与直线ar+y-a-1=0平行，则实数a的值为() A.0 B.1 C.-】 D.l 3.抛物线y=4x2的焦点坐标为() A.(0,1) B.(1,0) D. 4.设Sn为等差数列{an}(neN) 前n项和，若S,=27,则4+a2=() A.0 B.3 C.6 D.9 5.曲线y=hx-2在x-=1处的切线的倾斜角为a,则cos2公的值为() A.-4 B. 4-5 C.-3 D. 3 5 6.已知等比数列{an}的前n项和为S,且Sn=2-m,m∈R,则a4=() A.24 B.16 C.8 D.无法确定 7,已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，5(：<2)，若两圆的一条公切线的方程 (+3，则2=() 为y= A. 4 3 B.2 C. 5 D.3 &.已知双曲线G芳-卡-a>0b>的右售点为P,过点F的直线1与风曲线E的右支 交于B,C两点，且CF=2FB,点B关于原点O的对称点为点A,若AF.BF=0, 则双曲线E的离心率为() A.5 B.10 c.7 D.26 2 3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分， 9.已知数列{an}的前n项和为Sn=2-23n,则下列说法正确的是() A.a1=-22 B.数列{an}是递减数列 C.数列{S}的最小项为S2和Ss D.满足Sn<0的最大正整数n=22 10.若两定点A(-3,0),B(3,0),动点M满足MA=2MB,则下列说法正确的是 () A.点M的轨迹所围成区域的面积为16π B.△ABM面积的最大值为24 C.点M到直线3x-4y+10=0距离的最大值为9 D.若圆C:(x+1)+(y-1)=r2(r>0)上存在满足条件的点M,则r的取值范围为 「V37-4,37+4] 11.如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆 的模型（称为“Dandelin双球”）.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的 侧面、截面相切，截面分别与球O,球O,切于点E,F（E,F是截口椭圆C的焦 点).设图中球0，球O的半径分别为4和1，球心距O,O2=7,则() A,椭圆C的中心在直线OO2上 B.IEF=2√6 C.椭圆C上存在不同的四个点M,使得∠EMF=90° D.椭圆C的离心率为区 5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知双面线C:手-茶=1a>0b>0的离心丰为而，则双自线的渐近线方程为 13.曲线y=e上的点到直线y=x-1的最短距离是 14,若抛物线y2=4x上存在关于直线y=女-3对称的点，则实数k的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.已知函数∫(x)=a2-bnx的图象在点(，f()处的切线为y=1. (I)求函数f(x)的解析式： (2)若曲线y=∫(x)在点P处的切线与直线x+3y+1=0垂直，求点P的横坐标. 16.在数列{a}中，a=2,a1=3an-2n+1(neN*) (1)证明：数列{a.-n是等比数列， (2)求数列{an}的前n项和S,. 17.已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,点F到抛物线准线距离为2. (1)求抛物线E的标准方程： (2)已知△BCD的三个顶点都在抛物线E上，顶点B(I,2),△BCD重心恰好是抛物线E 的焦点F.求CD所在的直线方程， 18.已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,且a,a2,a5成等比数列， 4 a,4=4.数列化.}满足6.(a,+1(a+ (I)求数列{an}的通项公式： ②设数列6，}的前n项和为工，若"m,5<了<对一切nN恒成立，求实数m的取 2 3 值范围。 19,已知椭圆M: F后+？=1(a>b>0),其短轴的-个端点到右焦点的距离为2，且点 y2 A(√2，)在椭圆M上.过点A作两条倾斜角互补的直线分别交椭圆M于B,C两点. (1)求椭圆M的方程： (2)证明直线BC的斜率为定值： (3)求△ABC面积的最大值. 2025年江苏省镇江第一中学高二（上）数学期末考试 一、单选题 1.B 2.B3.D4.C 5.A6.B7.D8.C 二、多选题 9.AD 10.ACD 11.BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.y=3x 13.√2 14.(0,1) 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知函数f(x)=ar2-b1nx的图象在点(1，f()处的切线为y=1. (1)求函数f(x)的解析式： (2)若曲线y=f(x)在点P处的切线与直线x+3y+1=0垂直，求点P的横坐标 【详解】(1)函数f(x)=ax2-blnx, f(x)=2ar-6,f)=a, -2分 :f(x)在点(1，f()处的切线为y=1, Jf()=2a-b=0 -4分 a=1 解得a=1,b=2, -6分 所以f(x)=x2-2lnx 7分 (2)t设Pm,0,则由题可知∫m=3,即2m-2=3,9分 .‘m>0,∴.m=2 --12分 所以P的横坐标为2. -13分 16.在数列{an}中，4=2，an1=3a。-2n+1(neN) (I)证明：数列{an-n}是等比数列. (2)求数列{a,}的前n项和Sn. 【详解】(1)由a1=3a。-2n+1得a1-(n+1)=3a。-3n=3(an-n),4分 41-1=1≠0，---- --5分 所以数列{a。-n为首项为1，公比为3的等比数列.--- --7分 (2)由(1)得an-n=13-,则an=3-+n, -10分 Sn=(3°+3+32+…+3-）+(1+2+3++m）- -2分 _1-6-,+业 3-1 2 3"-1,n2+n 2 2 -15分 17.已知抛物线E:y2=2x(p>0)的焦点为F,点F到抛物线准线距离为2. ()求抛物线E的标准方程； (2)己知△BCD的三个顶点都在抛物线E上，顶点B(1,2),△BCD重心恰好是抛物线E的 焦点F.求CD所在的直线方程， 【详解】(1)由题意得p=2, -3分 .抛物线方程为：y2=4x -6分 1=+x2+1 x+x2=2 (2)设C(x,y),D(x2,2),由重心坐标公式得 3 0=乃+y+2 (4+为2=-2' 3 -8分 .CD中点坐标为(，-)， -9分 「=4 y2=4x2 式相减得听-乃=4（名-）→知=名之=4=2，-12分 x1-x2月+y2 1c方程：y+1=-2(x-1)→2x+y-1=0, --14分 2+y-0→少+2y-2=0,4=12>0,0方程2x+y-1=0.-15分 y2=4x 18.已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,且a,a2,a成等比数列， a4,=4.数列}满足6，(a,+1(a+ (I)求数列{a}的通项公式： ②没数列，}的前n项和为，若m,5<?,<对一切nN恒成立，求实数m的取值 2 3 范围。 【详解】(1)解：设等差数列{a}的公差为d,因为a,a2,a成等比，所以a=a,a, 可得a(a,+4d)=(a,+d),整理得2a,d=d产， 又因为d≠0，所以2a=d, -3分 因为aa=as,所以(a+d)(a,+2d)=a,+7d, 可得a-a,=0,解得a,=0或者a,=1, -5分 当a=0时，d=2a=0,不合题意舍去： 当a=1时，d=2a1=2,则an=2n-1, -7分 所以数列{an}的通项公式为a.=2n-l. 4 4=11 2)）由（可得点.a,+la+2nx2+nn+' -9分 ∴数列6，}的前项和=1-+片++上1=1-1三n 223 nn+1n+1(n+1) 1分 7-T=+1n 1 n+2n+la+1a+2>0,“亿}单调递增， --13分 7=<1, 7X= ≤Tn<1, -14分 n+1 2 若使得m,5<T,<公对一切neN恒成立，则 3 2 3 m-51 ,解得3≤m<6, 一< 22 ∴实数m的取值范围是[3,6). --17分 19。已知椭圆M:言+方-1(a>b>0,其短轴的-个端点到右焦点的距离为2且点 A(√2,1)在椭圆M上.过点A作两条倾斜角互补的直线分别交椭圆M于B,C两点， (1)求椭圆M的方程：(2)证明直线BC的斜率为定值：(3)求△ABC面积的最大值. 21 解 ()油题意知云+京=1， 解得b=V2. a=2, 故所求精圆M的方程为号+片1。 -4分 (2) -10分 没道线！的方有为)-县+，则0， 设B(1,y),C2,2), 把直线1的方程代入椭圆方程并化简得x2十V2x十m2-2=0, 由4=2m2-4(m2-2)=2(4-2>0, 可得0<m2<4.① 不妨取=二2m=24-m 2 为=二2m+24-m 2 故c-V+-对 =V昼24m=VB4-m, 又点A到边BC的距离为d=2刚 V6 故c4分64原g方√-m0牛-5， 当且仅当m2=4-m2, 即m=V2时取等号，满足①式. ∴.△ABC面积的最大值为W2. -17分