精品解析： 江苏省扬州市邗江区2024-2025学年七年级上学期期末数学试题

2024—2025学年度第一学期期末考试七年级数学 （试卷满分：150分 考试时间：120 分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的绝对值是（ ） A. B. 2024 C. D. 2. 把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的道理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，直线最短 C. 两点之间，线段最短 D. 连接两点间线段的长度是两点间的距离 3. 下列各组式子中是同类项的是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 下列是根据等式性质进行变形，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 杭州奥林匹克体育中心体育场形状与如图几何体类似，下列图形绕虚线旋转一周，能形成该几何体的是（ ） A. B. C. D. 6. 九月开学季，书店开展优惠活动，某套名著原价为元，现售价为元，则下列说法符合题意的是（ ） A. 原价减10元后再打7折 B. 原价打7折后再减10元 C. 原价打3折后再减10元 D. 原价减10元后再打3折 7. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车x辆，根据题意，可列出的方程是（ ） A B. C. D. 8. 如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为125，则第2025次输出的结果为（ ） A 125 B. 25 C. 5 D. 1 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 我国神舟十九号在2024年10月30号成功发射，新华网进行全程直播，超过5120000多人次在线观看，5120000用科学记数法表示为__________． 10. 已知的值为2，则的值为__________． 11. 如果一个角的余角是，那么这个角的度数为____°． 12. 按照如图的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数都互为相反数，那么（a+b)－c=_________ 13. 如图，，直线与射线相交于点．若，则_______． 14. 从多边形的一个顶点出发，分别连接这个点与同它不相邻的各个顶点，得到6个三角形，那么这个多边形为____边形． 15. 已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，且，则的值为____． 16. 把9个数填入方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，这样便构成了一个“三阶幻方”，它源于我国古代的“洛书”，如图所示的三阶幻方仅可以看到部分数值，其中x的值应为__________． 17. 已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解是____． 18. 如图，点E是长方形纸片边上的一点，在边上任取两点F、G，连接、，将对折，使点B落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕．如果，则_____°． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 先化简，再求值：，其中，． 22. 如图1，该三棱柱的高为，底面是一个每条边长都为的三角形． （1）这个三棱柱有 个面，有 条棱． （2）如图2，这是该三棱柱的表面展开图的一部分，请将它补充完整． （3）当，，这个三棱柱的侧面积是多少？ 23. 如图，，．求证：． 证明：因为（已知）， 所以① 　（② ）． 所以③ 　 （④ 　）． 因（ 已知 ）， 所以⑤ 　（等量代换）． 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 24. 把正整数1，2，3，4，…，2025按如图方式排列成一个表． （1）如图，用一个正方形框在表中任意框住4个数，记左上角的一个数为x，则另三个数用含x的式子表示出来，从小到大依次是______、______、______； （2）当（1）中被框住的4个数之和等于216，x的值为多少？ （3）在（1）中能否框住这样的4个数，它们的和等于156？若能，则求出x的值；若不能，则说明理由． 25. 如图，点C为线段上一点，点B为的中点，且． （1）图中共有 条线段； （2）求的长； （3）若点E在直线上，且，则的长为 ． 26. 如图是两张不同类型火车车票：（“次”表示动车，“次”表示高铁）． （1）根据车票中的信息填空：两车行驶方向 （填“相同” 或“不同”），出发时刻相差 小时； （2）已知该动车和高铁的平均速度分别为，，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，求A、B两地之间的距离（列方程解决问题）； （3）在（2）的条件下，请直接写出在 时刻两车相距． 27. 有一种整式处理器能将二次多项式A处理成一次多项式B，处理方法是：将二次多项式A的二次项系数与一次项系数的差（差为非零数）作为一次多项式B的一次项系数，将二次多项式A的常数项作为一次多项式B的常数项．例如：，则．根据以上方法，解决下列问题： （1）若，则　 ； （2）若，求出关于x的方程的解； （3）已知关于x的二次多项式，经过处理后的一次多项式，求m的值． 28. 将一副三角板按图1方式摆放，分别作出的平分线，求的度数． 【初步认识】 （1）小明与小丽将这副三角板分别按图2、图3所示摆放，分别平分、．图2中，在同一条直线上，则 　　°；图3中，，则 　°； 深度理解】 （2）受此启发，小明与小丽求出图1所示的一般情况下∠MON的度数．请你猜想图1中的度数并说明理由； （3）你觉得明明和丽丽解决以上问题的方法，用到的数学思想是 　 ； A．由特殊到一般 B．方程 C．分类讨论 D．整体 【拓展应用】 （4）若将条件“分别作出的平分线改为“在和内部分别作出射线，使得”（n为正整数），请你直接写出的度数 °（用含n的代数式表示）； 【大胆创新】 （5）善于思考的小明同学在本题基础上设计了一道新题：将图2中的三角板绕点O逆时针旋转（旋转角度不超过），使得边与另一块三角板的一边平行，则旋转的角度为 ° ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期期末考试七年级数学 （试卷满分：150分 考试时间：120 分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的绝对值是（ ） A. B. 2024 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 2. 把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的道理是（ ） A. 两点确定一条直线 B 两点之间，直线最短 C. 两点之间，线段最短 D. 连接两点间线段的长度是两点间的距离 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段的性质，解题的关键是掌握两点之间线段最短． 根据两点之间线段最短即可得出答案． 【详解】解：由两点之间线段最短可知，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做根据的道理是两点之间线段最短， 故选：C． 3. 下列各组式子中是同类项的是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同类项的定义，解题的关键是正确理解同类项的定义，本题属于基础题型． 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【详解】解：A、所含字母不相同，不是同类项，故A选项不符合题意； B、相同字母的指数不相同，不是同类项，故B选项不符合题意； C、相同字母的指数不相同，不是同类项，故C选项不符合题意； D、符合同类项的定义，是同类项，故D选项符合题意； 故选：D． 4. 下列是根据等式的性质进行变形，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，逐一进行判断即可．熟练掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、若，则，选项正确； B、若，则，选项错误； C、若，则，选项错误； D、若，，则，选项错误； 故选A． 5. 杭州奥林匹克体育中心体育场形状与如图几何体类似，下列图形绕虚线旋转一周，能形成该几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的认识-面动成体等知识，根据选项中的平面图形逐项判断即可求解． 【详解】解：A． 图形绕虚线旋转一周，形成的几何体的是一个圆柱，故原选项不合题意； B． 图形绕虚线旋转一周，形成的几何体的是一个圆锥，故原选项不合题意； C．图形绕虚线旋转一周，形成的几何体的是一个球，故原选项不合题意； D． 图形绕虚线旋转一周，形成的几何体的是一个圆台，且上底大，下底小，故原选项符合题意． 故选：D． 6. 九月开学季，书店开展优惠活动，某套名著原价为元，现售价为元，则下列说法符合题意的是（ ） A. 原价减10元后再打7折 B. 原价打7折后再减10元 C. 原价打3折后再减10元 D. 原价减10元后再打3折 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式的意义，正确理解题意是解题的关键．本题即在原价的基础上打7折，即降价10元，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，元表示的是在原价的基础上先打7折，然后再降价10元， 故选B． 7. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车x辆，根据题意，可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用；设车辆，根据“每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐”，以人数为等量关系列方程即可． 【详解】解：设车x辆，由题意得：， 故选：D． 8. 如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为125，则第2025次输出的结果为（ ） A. 125 B. 25 C. 5 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查程序流程图与代数式求值，数字类规律探究，根据前几次输出结果总结归纳出规律，利用规律求解． 【详解】解：由程序图可知：输入125后， 第1次输出的结果为：， 第2次输出的结果为：， 第3次输出的结果为：， 第4次输出的结果为：， 第5次输出的结果为：， 第6次输出的结果为：， ……， 以此类推，从第2次输出结果开始，偶数次输出的结果为5，奇数次输出的结果为1， 因此第2025次输出的结果为1， 故选D． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 我国神舟十九号在2024年10月30号成功发射，新华网进行全程直播，超过5120000多人次在线观看，5120000用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 根据科学记数法定义，这里． 【详解】 故答案为： 10. 已知的值为2，则的值为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，熟练掌握等式变形和整体代入思想的运用是解题的关键． 先由，得，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵的值为2， ∴， ∴ ∴． 故答案为：5． 11. 如果一个角的余角是，那么这个角的度数为____°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了余角的定义，如果两个角的和等于那么这两个角互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角．先把分化为度，然后根据余角的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴这个角的度数． 故答案为：． 12. 按照如图的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数都互为相反数，那么（a+b)－c=_________ 【答案】6 【解析】 【分析】利用正方体及其表面展开图的特点，分别求得a，b，c的值，然后代入求解． 【详解】面“a”与面“-1”相对，面“c”与面“2”相对，“-3”与面“b”相对， ∵相对面上的两个数都互为相反数， ∴a=1，b=3，c=-2， 则（a+b)-c=(1+3)-(-2)=6, 故答案为:6． 【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 13. 如图，，直线与射线相交于点．若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，邻补角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用平行线的性质得出，再利用邻补角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 从多边形的一个顶点出发，分别连接这个点与同它不相邻的各个顶点，得到6个三角形，那么这个多边形为____边形． 【答案】八##8 【解析】 【分析】本题考查了多边形的性质，解题的关键是从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为的规律进行解答即可． 【详解】解：设多边形有n条边，则， 解得：， 故多边形是八边形． 故答案为：八． 15. 已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，且，则的值为____． 【答案】24 【解析】 【分析】此题考查了相反数、倒数、绝对值和代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键． 根据相反数、倒数、绝对值的定义可得，，代入求值即可． 【详解】解：∵、互为相反数，、互为倒数，， ， ∴ ， 故答案为：24． 16. 把9个数填入方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上三个数之和都相等，这样便构成了一个“三阶幻方”，它源于我国古代的“洛书”，如图所示的三阶幻方仅可以看到部分数值，其中x的值应为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，准确理解题意是解题的关键．设第三行、第三列的数字为y，根据每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，先求出y的值，进而求解x即可． 【详解】解：设第三行、第三列的数字为y， ∵每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 17. 已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，理解两个方程之间的关系是关键．根据已知条件得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：关于的一元一次方程的解为， 关于的一元一次方程中，， 解得：， 故答案为：． 18. 如图，点E是长方形纸片边上的一点，在边上任取两点F、G，连接、，将对折，使点B落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕．如果，则_____°． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查角的计算，翻折变换，角的和差定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．分两种情形：当点在点的右侧；当点在点的左侧，根据或，求出即可解决问题． 【详解】解：当点在点的右侧， 由折叠的性质得，，， ， ，， ， ； 当点在点的左侧， 由折叠的性质得，，， ， ，， ， ， 综上，的度数为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）利用乘法的分配律计算即可； （2）先算乘方，再算乘除，后算加减． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤． （1）根据移项、合并同类项、系数化为1，即可求解； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 21. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】；19 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值，首先去括号，然后再合并同类项化简后，将x和y的值代入计算即可． 详解】解： ， 当，时，原式． 22. 如图1，该三棱柱的高为，底面是一个每条边长都为的三角形． （1）这个三棱柱有 个面，有 条棱． （2）如图2，这是该三棱柱的表面展开图的一部分，请将它补充完整． （3）当，，这个三棱柱的侧面积是多少？ 【答案】（1），； （2）图见解析； （3）三棱柱的侧面积． 【解析】 【分析】本题考查认识立体图形，有理数的加法，有理数的乘法，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据图中棱柱的特点即可求解； （2）结合立体图形作出图形即可； （2）将三棱柱的展开图画出来，然后结合图形求解即可； 【小问1详解】 解：由题意可知，这个三棱柱共有个面，共有棱：（条）， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：三棱柱的展开图为： 【小问3详解】 解：三棱柱的侧面积． 23. 如图，，．求证：． 证明：因为（已知）， 所以① 　（② ）． 所以③ 　 （④ 　）． 因为（ 已知 ）， 所以⑤ 　（等量代换）． 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 【答案】①；②内错角相等，两直线平行；③；④两直线平行，同旁内角互补；⑤ 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同旁内角是否互补，判定两直线平行． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 故答案为：；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；． 24. 把正整数1，2，3，4，…，2025按如图方式排列成一个表． （1）如图，用一个正方形框在表中任意框住4个数，记左上角的一个数为x，则另三个数用含x的式子表示出来，从小到大依次是______、______、______； （2）当（1）中被框住的4个数之和等于216，x的值为多少？ （3）在（1）中能否框住这样的4个数，它们的和等于156？若能，则求出x的值；若不能，则说明理由． 【答案】（1） ，， （2） （3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，正确理解题意列出对应的代数式和方程是解题的关键． （1）观察可知，方框内的数下面一行的数比上面一行的数大7，由此列出对应的式子即可； （2）根据（1）所列式子建立方程求解即可； （3）仿照（2）进行求解即可． 【小问1详解】 解：用一个正方形框在表中任意框住个数，记左上角的一个数为，另三个数用含的代数式表示，则另三个数用含的式子表示为：，，， 故答案为，，； 【小问2详解】 解：根据题意，得．， 解得． ∵， ∴是第8行第1个数， ∴符合题意； 【小问3详解】 解：不能．理由： 假设能框住这样的个数，它们的和等于156，则 ， 解得， 因为35是第5行最后一个数， 所以不符合题意， 因而不能． 25. 如图，点C为线段上一点，点B为的中点，且． （1）图中共有 条线段； （2）求的长； （3）若点E在直线上，且，则的长为 ． 【答案】（1）6 （2） （3）6或8 【解析】 【分析】本题考查了数线段，线段的中点，线段的和（差），熟练掌握线段的中点，灵活运用线段的和、差是解题的关键． （1）固定为端点，数线段，依次类推，最后求和即可； （2）根据，计算即可； （3）分点在点左边和右边两种情形分类讨论求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：以为端点的线段为：； 以为端点的线段为：； 以为端点的线段为：； 共有（条）； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵为中点，， ∴ ∵ ∴； 【小问3详解】 解：，， 第一种情况：点在线段上（点在点右侧），如图所示： ； 第二种情况：点在线段上（点在点左侧），如图所示： ， 综上所述，的长为或． 故答案为：6或8． 26. 如图是两张不同类型火车车票：（“次”表示动车，“次”表示高铁）． （1）根据车票中的信息填空：两车行驶方向 （填“相同” 或“不同”），出发时刻相差 小时； （2）已知该动车和高铁的平均速度分别为，，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，求A、B两地之间的距离（列方程解决问题）； （3）在（2）的条件下，请直接写出在 时刻两车相距． 【答案】（1）相同， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用（行程问题），有理数减法的实际应用，有理数乘法的实际应用等知识点，理解题意，正确列出一元一次方程，并运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据车票提供的信息进行分析即可得解； （2）设动车行驶的时间为小时，则高铁行驶的时间为小时，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解； （3）设在动车出发小时后，两车相距，分三种情况讨论，分别列出一元一次方程，解方程即可得解． 【小问1详解】 解：由题意可得：两车行驶方向相同，出发时刻相差（小时） 故答案为：相同，； 【小问2详解】 解：设动车行驶的时间为小时，则高铁行驶的时间为小时， 由题意可得：， 解得：， ∴A、B两地之间的距离为； 【小问3详解】 解：设在动车出发小时后，两车相距， 分三种情况讨论： 当高铁没有出发时两车相距，则：， 解得：， 此时时间为； 当高铁追上动车之前两车相距，则：， 解得：， 此时时间为； 当高铁追上动车之后两车相距，则：， 解得：， 由（2）可得：动车行驶的时间为3小时，故不符合题意，舍去； 综上所述，在或时两车相距， 故答案为：或． 27. 有一种整式处理器能将二次多项式A处理成一次多项式B，处理方法是：将二次多项式A的二次项系数与一次项系数的差（差为非零数）作为一次多项式B的一次项系数，将二次多项式A的常数项作为一次多项式B的常数项．例如：，则．根据以上方法，解决下列问题： （1）若，则　 ； （2）若，求出关于x的方程的解； （3）已知关于x的二次多项式，经过处理后的一次多项式，求m的值． 【答案】（1）； （2）； （3）6 【解析】 【分析】本题考查了多项式的定义，整式加减的应用，解一元一次方程，理解题干中的多项式处理方法是解题关键． （1）根据已知处理方法求解即可； （2）根据已知处理方法得到多项式B，再移项、系数化1解方程即可； （3）根据已知处理方法得到多项式B，进而得到求解即可． 【小问1详解】 解：若，则， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 解得：； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ． 28. 将一副三角板按图1方式摆放，分别作出的平分线，求的度数． 【初步认识】 （1）小明与小丽将这副三角板分别按图2、图3所示摆放，分别平分、．图2中，在同一条直线上，则 　　°；图3中，，则 　°； 【深度理解】 （2）受此启发，小明与小丽求出图1所示的一般情况下∠MON的度数．请你猜想图1中的度数并说明理由； （3）你觉得明明和丽丽解决以上问题的方法，用到的数学思想是 　 ； A．由特殊到一般 B．方程 C．分类讨论 D．整体 【拓展应用】 （4）若将条件“分别作出的平分线改为“在和内部分别作出射线，使得”（n为正整数），请你直接写出的度数 °（用含n的代数式表示）； 【大胆创新】 （5）善于思考的小明同学在本题基础上设计了一道新题：将图2中的三角板绕点O逆时针旋转（旋转角度不超过），使得边与另一块三角板的一边平行，则旋转的角度为 ° ． 【答案】（1）；；（2），理由见解析；（3）A；（4）；（5）45或75或165 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论； （2）根据已知条件得到，根据角平分线的定义得到 ，于是得到结论； （3）小明与小丽解决以上问题的方法，用到的是由特殊到一般的数学思想； （4）根据已知条件得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论． （5）分三种情况画出图形求解即可． 【详解】解：（1）图2中，， 图3中， ； 故答案为：；； （2）猜想：，理由如下： 图中，， ， 和是和的角平分线， ， ； （3）明明和丽丽解决以上问题的方法，用到了由特殊到一般的数学思想， 故选：A． （4）， ， ， ， ． 故答案：； （5）如图，当时，则； 如图，当时，设交于点E， 则， ∴, ∴； 如图，当时，设交于点E， 则， ∴, ∴， ∴． 综上可知，旋转的角度为或或． 故答案为：45或75或165． 【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，通过图形直观得出各个角之间的和差关系，是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$