上海市大同中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

大同中学2024学年第一学期高一年级数学月考 2024.12 一、填空题（本大题共有12题，满分42分．第1-6题每题3分，第7-12题每题4分） 1．已知集合，，则__________． 2．不等式的解集为__________． 3．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则__________． 4．已知幂函数的图象经过，则__________． 5．函数的零点是__________． 6．已知，则函数的表达式为__________． 7．已知正数、满足，求的最小值为__________． 8．若函数在区间内有两个不同的零点，则实数的取值范围为__________． 9．已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，的取值范围是__________． 10．函数的值域是__________． 11．已知，（是自然对数的底数），若对任意的，都存在唯一的，使得，则实数的值是__________． 12．已知，对于给定的负数，有一个最大的正数，使得时，都有，则的最大值为__________． 二、单选题（本大题共有4题，每题4分，满分16分） 13．若函数，，则下列判断正确的是（ ） A．方程在区间内一定有解 B．方程在区间内一定无解 C．函数是奇函数 D．函数是偶函数 14．用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点三次，可以确定根所在的最小区间是（ ） A． B． C． D． 15．已知定义在上的奇函数在上是严格增函数，则关于的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 16．设，若存在定义域为的函数既满足“对于任意，为或”又满足“关于的方程无实数解”，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有4题，满分44分） 17．（本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分． 设：实数满足；：实数满足． （1）若是真命题，求实数的取值范围； （2）若且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 18．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分． 现需要建造仓库A和厂房B，已知建造仓库A的所有费用（万元）和与仓库A、厂房B的距离（千米）的关系为：（），若距离为1千米时，仓库建造费用为80万元，为了方便，仓库A与厂房B之间还需修建一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每千米成本为3万元，设为建造仓库与修路费用之和． （1）求的表达式； （2）当仓库A与厂房B距离多远时，可使得总费用最小？并求出最小值． 19．（本题满分12分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分． 已知定义在上的奇函数满足， （1）求函数的表达式； （2）作出函数的大致图像，并写出函数的最值和取到最值时的值（无需说明理由）； （3）函数（）在上是严格增函数，求的取值范围． 20．（本题满分12分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分． 已知是定义在上的函数，如果存在常数，使得对区间的任意划分： ，都有成立，则称是上的“绝对差有界函数”． . （1）分别判断，，是否是上的“绝对差有界函数”，若是“绝对差有界函数”，直接写出的最小值（无需证明）；若不是“绝对差有界函数”，直接写出函数的值域（无需证明）； （2）对定义在上的，若存在常数，使得对任意的，，都有，求证：是上的“绝对差有界函数”； （3）设函数满足，，，且对任意的，都有，求证：当时不是上的“绝对差有界函数”． 参考答案 一、填空题 1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8. ； 9.； 10. ； 11.； 12.； 11.已知，（是自然对数的底数），若对任意的，都存在唯一的，使得，则实数的值是__________． 【答案】 【解析】因为函数在上单调递增，对任意的，都存在唯一的，使得 ，则，解得. 12．已知，对于给定的负数，有一个最大的正数，使得时，都有，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】由，. 当，即时，要使在上恒成立， 要使最大，只能是的较小的根， 即. 当，即时，要使在上恒成立， 要使最大，只能是的较大的根， 即， 所以的最大值为.故答案为:. 二、选择题 13.A； 14.C； 15.D； 16.B 15.已知定义在上的奇函数在上是严格增函数，则关于的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】为奇函数，可得，定义在上的奇函数在上单调递增，可得在单调递增，即有在内单调递增，所以，即为，即有，解得或，选D. 三、解答题 17.（1）；（2）. 18.（1）； （2）当仓库A与厂房B距离6千米时，可使得总费用最小，最小值为40万元。 19. （1）； （2）的图像如下所示：当时，；当时，； （3）. 20.已知是定义在上的函数，如果存在常数，使得对区间的任意划分： ，都有成立，则称是上的“绝对差有界函数”． . （1）分别判断，，是否是上的“绝对差有界函数”，若是“绝对差有界函数”，直接写出的最小值（无需证明）；若不是“绝对差有界函数”，直接写出函数的值域（无需证明）； （2）对定义在上的，若存在常数，使得对任意的，，都有，求证：是上的“绝对差有界函数”； （3）设函数满足，，，且对任意的，都有，求证：当时不是上的“绝对差有界函数”． 【答案】（1）是“绝对差有界函数”，最小为2； 不是“绝对差有界函数”，值域为； （2）证明：对区间的任意划分: 取，则有成立，所以是上的“绝对差有界函数”； (3)因为，当时，值域为， 在上单调递增，在上单调递减，由于， 故，当时，，且在上单调递增，在上单调递减. 依次类推，当时，值域为，且在上单调递增，上单调递减， 故对任意，都有， 且可取到，使得。 若，则，与是上的"绝对差有界函数"矛盾，不符题意； 若，则，取，符合题意。 综上所述：. 学科网（北京）股份有限公司 $$