上海外国语大学附属浦东外国语学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

浦东外国语2024学年第一学期高一年级数学期末 2025.1 一、填空题（共36分，每題3分） 1．角的终边在第_________象限． 2．函数的零点为________． 3．已知，则方程的解集为________． 4．计算________． 5．已知函数和其反函数的图像都过点（1，2），则________． 6．已知扇形的面积为，弧长为，则扇形的圆心角的弧度数为________． 7．方程的解是________． 8．在直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合．若点在角终边上，且，则________． 9．设为常数且，在上是严格增函数，则实数的取值范围 是________． 10．设函数，其表达式为，关于的方程有三个不等实根，，，则的取值范围是________． 11．已知函数的值域为，则实数的取值范围为________． 12．关于函数，其表达式为，给出下列结论： ①函数的图像关于轴对称； ②如果方程（为常数）有解，则解的个数一定是偶数： ③方程一定有实数解：以上结论正确的是________． 二、选择题（共12分，每题3分） 13．“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．已知函数的表达式为，用二分法研究函数的 零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ） A．， B．， G．， D．， 15．已知函数的定义域为，值域为，则的最大值为（ ） A． B． C． D．2 16．定义在上的奇函数在区间上是严格减函数，且，则不等式的解集为（ ）． A． B． C． D． 三、解答题（共52分） 17．（本题10分）已知函数的表达式． （1）证明：函数在其定义域上是严格减函数； （2）是否存在实数，使得函数是奇函数？并说明理由． 18．（本题8分）已知． （1）化简并求； （2）若角为第二象限角，且，求的值． 19．（本题10分）学校要建造一个面积为10000平方米的运动场．如图，运动场由一个矩形和分别以、为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其它地方均铺设草皮．已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元． （1）设半圆的半径（米），试建立塑胶跑道面积与的函数关系式； （2）由于条件限制，问当取何值时，运动场造价最低？（精确到元）． 20．（本题12分）已知函数． （1）若恒成立，求的最大值： （2）若在上是严格单调函数，求的取值范围； （3）求在上的最小值为，求． 21．（本题12分）若函数在其定义域内给定区间上存在实数满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点． （1）已知函数的表达式是，判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由； （2）已知函数的表达式是，若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围： （3）已知函数的表达式是，其中为正整数，函数是区间（为正整数）上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件实数对． 参考答案 一、填空题 1.三; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.①③ 11．已知函数的值域为，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】当时，，此时； 当且时，，此时， 又∵，不满足； 当且时，， 由对勾函数单调性可知在，上严格增，在上严格减， ∴，此时， 若要满足函数的值域为，只需要，解得； 当且时，∵均在上严格增，∴在上严格增，且时，时，此时，此时显然能满足函数的值域为．综上可知，的取值范围是． 12．关于函数，其表达式为，给出下列结论： ①函数的图像关于轴对称； ②如果方程（为常数）有解，则解的个数一定是偶数： ③方程一定有实数解：以上结论正确的是________． 【答案】①③ 【解析】对①，令，解得，可知的定义域为， 定义域关于原点对称，且，则为偶函数， 即其图像关于轴对称，故①正确； 对于②：当时，方程只有1个解，故②错误； 对③，当时，则，因为在上单调递增， 且恒成立，所以在上单调递减， 当时，则， 因为在上单调递减，且恒成立， 所以在上单调递增， 可得的函数图像如下： 方程根的个数即为函数与的交点个数， 由图像可得：当时，函数与函数的图像一定有交点， 由对称性可知，当时，函数与函数的图像也一定有交点，故③正确．故答案为：①③. 二、选择题 13.A 14.D 15.B 16.D 15．已知函数的定义域为，值域为，则的最大值为（ ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】函数， 作出函数的图象，如图所示： 令，解得或， ∵函数的定义域为，值域为， 由图象可得，的最大值为．故选：B． 16．定义在上的奇函数在区间上是严格减函数，且，则不等式的解集为（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为定义在上的奇函数在区间上单调递减，且，所以的图象大致如图所示：由， ①当时，，即或，解得或； ②当时，，即或（舍），解得； 综上，，或或．故选：. 三．解答题 17.（1）证明略 （2）存在， 18.（1） （2） 19.（1） （2）当时，运动场造价最低，为元. 20．（本题12分）已知函数． （1）若恒成立，求的最大值： （2）若在上是严格单调函数，求的取值范围； （3）求在上的最小值为，求． 【答案】（1） （2） （3）或5． 【解析】已知函数， （1）由题意得恒成立，则，解得， 所以的最大值为． （2）由题意得图象的对称轴为直线， 所以在上单调递减，在上单调递增． 因为在上单调，所以或，解得或， 即的取值范围为 （3）当，即时，在上单调递增， 解得，符合题意； 当，即时，在上单调递减， 解得，舍去； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，解得或，舍去）.故或5． 21．（本题12分）若函数在其定义域内给定区间上存在实数满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点． （1）已知函数的表达式是，判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由； （2）已知函数的表达式是，若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围： （3）已知函数的表达式是，其中为正整数，函数是区间（为正整数）上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件实数对． 【答案】（1）是 （2） （3） 【解析】（1）由题意可知，存在成立， 则是区间上的＂平均值函数＂； （2）由题意知存在，知， 即，则， 因为，所以而在有解， 不妨令解得或， 则，解得， 综上，； （3）由题意得，则，且， 由题意可知， 即，所以，因为，所以， 则，又因为，且，则当时，成立， 所以是满足条件的实数对. 学科网（北京）股份有限公司 $$