上海市七宝中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

七宝中学2024学年第一学期高二年级数学月考 2024.12 一、填空题（本大题共12题，满分54分） 1.斜线与平面所成角的范围为 . 2.设是两个不同的平面，是直线且，则“”是“”的____条件.（填“充分不必要”､“必要不充分”､“充要”､“不充分不必要”） 3.已知正方体，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 4.如图，在正三棱柱中，．若二面角的 大小为，则侧棱长为 ． 5.给出下列命题： ①平行六面体是斜四棱柱； ②有两个相邻侧面为矩形的棱柱是直棱柱； ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体； ④有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，这些面围成的几何体叫做棱柱. 其中正确的是个数是 . 6.如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若 侧面水平放置时，液面恰好过的四等分 点处，，当底面水平放置时，液面高为 . 7.空间四边形中，，且异面直线与所成的角为，、分别 为和的中点，则异面直线和所成角的大小是________． 8.对下列命题：①三条两两相交的直线确定一个平面；②已知直线、和平面，若、 与所成的角相等，则；③若两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另 一个平面；④三个两两垂直的平面的相应交线也两两垂直，其中真命题的序号是 .（填 上所有真命题序号） 9.在正方体 中，点是平面内一动点，满足，设直 线与平面所成角的最大值为________. 10.如图，在棱长为1的正方体中，点，分别 是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是 ． 11.如图，四面体的顶点在平面上，侧棱平面， 且两两垂直且长度均为，是中点，是线段上的动点，过点作平面的垂线交平面于点，则的取值范围为 ． 12.如图，矩形中，，，分别为边上的定点，且，分别将沿着向矩形所在平面的同一侧翻折至与处，且满足，分别将锐二面角与锐二面角记为与，则的最小值为 . 二、选择题(本大题共有题，满分18分) 13.是两条不同直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 14.已知一个直三棱柱的高为，如图，其底面水平放置的直观图（斜二测画法）为，其中，则此三棱柱的表面积为 （ ） A． B． C． D． 15.已知平面，直线,点，平面之间的距离为 ，则在内到点的 距离为且到直线的距离为的点的轨迹是 （ ） A．圆 B．两个点 C．四个点 D．两条直线 16.在正三棱柱 中，，点满足，其中 ，对于下列两个命题：①当时，有且仅有一个点，使得； ②当时，有且仅有一个点，使得⊥平面，以下判断正确的是（ ） A．①为真命题，②为真命题； B．①为真命题，②为假命题； C．①为假命题，②为真命题； D．①为假命题，②为假命题； 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17.（本题满分14分，第一小题满分6分，第二小题满分8分） 如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上， 且． （1）求证：、、、四点共面； （2）设与交于点，求证：、、三点共线． 18.（本题满分14分，第一小题满分6分，第二小题满分8分） 如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点． （1）证明：平面平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由． 19.（本题满分14分，第一小题满分6分，第二小题满分8分） 如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，高为， （1）求异面直线和所成角的大小； （2）求与平面所成角的大小. 20.（本题满分18分，第一小题满分4分，第二小题满分6分, 第三小题满分8分） 已知面积为的菱形如图①所示，其中，是线段的中点．现将 沿折起，使得点到达点的位置. (1)证明： ； (2)若二面角的平面角大小为，求点到平面的距离； (3)若二面角的平面角，点在四面体的表面运动，且始终保持，求点的轨迹长度的取值范围 21.（本题满分18分，第一小题满分4分，第二小题满分6分, 第三小题满分8分） 在平面直角坐标系中，分别为椭圆的上下顶点，若动直线过点 ，且与椭圆相交于两不同点(直线与轴不重合，且两点在轴右 侧，在的上方)，直线与相交于点. ⑴设的两焦点为，求的值； ⑵若，且，求点的横坐标； ⑶是否存在这样的点，使得点的纵坐标恒为？若 存在，求出点的坐标，否则，说明理由. 参考答案 一、填空题 1.； 2.必要不充分； 3.； 4.； 5.1； 6.； 7.或； 8.③④； 9.； 10.； 11.； 12.； 11.如图，四面体的顶点在平面上，侧棱平面， 且两两垂直且长度均为，是中点，是线段上的动点，过点作平面的垂线交平面于点，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由平面，面，则面，面， 所以，又且△BCD是以B为直角的等腰直角三角形， 故，则△、△都为等腰直角三角形， 将补全为正方体如下图示，其中一个面在上且棱长为1， 所以，在等边△中E是CD中点， 故，过M作面ACD垂线交面于N，且面，面， 则，因为，面，面，故， 又，面，故面，面， 所以，面面，面面，且， 易知：过M作面ACD垂线在面内，即面，而面， 综上，点必在对角线上，且与所成角为，， 则，在中，令，由， 故，. 二、选择题 13.D； 14.C； 15.C； 16.A 三、解答题 17.（1）证明略 （2）证明略 18.（1）证明略 （2）存在，理由略 （3） 19.（1） （2） （3） 20.已知面积为的菱形如图①所示，其中，是线段的中点．现将沿折起，使得点到达点的位置. (1)证明： ； (2)若二面角的平面角大小为，求点到平面的距离； (3)若二面角的平面角，点在四面体的表面运动，且始终保持，求点的轨迹长度的取值范围. 【答案】（1）证明略 （2） （3） 【解析】（1）证明：取中点，连结、,由四边形为菱形可知，，，,平面， （2）因为菱形的面积为，得，，， 又因为二面角的平面角为，且大小为，所以， 故点到平面的距离为， （3）取边上靠近点的四等分点，取的中点为，连接， ，，同理， ∵，平面，所以平面， 故点的轨迹长度即为的周长. 由于，，， 且二面角的大小平面角， ∵，∴，， 则，，所以点的轨迹长度的取值范围为. 21.在平面直角坐标系中，分别为椭圆的上下顶点，若动直线过点 ，且与椭圆相交于两不同点(直线与轴不重合，且两点在轴右 侧，在的上方)，直线与相交于点. ⑴设的两焦点为，求的值； ⑵若，且，求点的横坐标； ⑶是否存在这样的点，使得点的纵坐标恒为？若 存在，求出点的坐标，否则，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】（1）； （2）若，设的两点坐标为， 而在椭圆上， 代入椭圆方程得 ，解得，，得，直线的方程为，直线的方程为， 联立，解得，点的横坐标为； （3）假设存在这样的点，设直线的方程为，点的坐标为，联立，得， 由，得，由， 可得， 直线的方程为，直线的方程为， 得 得,因此，存在点，使得点的纵坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $$