江苏省南京市玄武区2024—2025学年上学期八年级期末数学试卷　

2024-2025学年江苏省南京市玄武区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列图标，是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.在平面直角坐标系中，点A的坐标是将点A向右平移3个单位长度，得到点，再作点关于x轴的对称点，得到点，则点的坐标是(    ) A. B. C. D. 3.如图，用直尺和圆规作的平分线OC，则≌的依据是(    ) A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 4.在中，、、的对应边分别是a，b，下列条件中，不能判断是直角三角形的是(    ) A. B. a：b：：4：5 C. D. ：：：4：5 5.若一次函数、b是常数，的图象经过一、二、四象限，则点在(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6.如图是某游乐场每天的利润票价总收入减去运营成本与每天售出的门票张数x的函数图象.目前该游乐场亏损，为了扭亏，游乐场同时采取降低运营成本、提高票价两种措施.下列图象中能表示采取措施后的图象是(    ) A. B. C. D. 7.如图，一张三角形纸片ABC，，的平分线相交于点P，将纸片沿MN折叠，使点A恰好落在点P处.若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 8.如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形连接AQ、BP、CN、若正方形ABCD的面积为2a，阴影部分的面积为则AN的长度为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9.4的平方根是______. 10.地球与月球的距离大约为384000km，将384000精确到万位，并用科学记数法表示______. 11.比较大小：______ 12.已知y是x的一次函数，函数y与自变量x的部分对应值如表所示， x … 1 3 … y … 5 3 m n … 比较大小：m ______ 13.在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移2个单位长度，则平移后的图象对应的函数表达式是______. 14.在中，，，则的面积为______. 15.如图，≌，点D在边AB上，，则的度数为______. 16.如图，一次函数、m是常数，且，的图象交于点，则关于x的不等式的解集为______. 17.如图，和分别是边长为6和2的等边三角形，顶点D，E是AC边上的动点.顶点F的位置随D，E在AC边上的运动而变化，连接BF，则BF的最小值为______. 18.如图，在中，，直线m，n分别是AB、AC的垂直平分线，m，n交于点P，连接若，则的度数为______. 三、解答题：本题共9小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题8分 计算：； 求x的值： 20.本小题6分 如图，，，，求证： 21.本小题5分 如图，在平面直角坐标系中，点M在第二象限，且点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为1，点N的坐标为 点M的坐标为______； 画出线段，使与MN关于y轴对称；若以为斜边的是等腰直角三角形，直接写出点P的坐标. 22.本小题7分 如图，在中，直线l是BC边的垂直平分线，l与AB边交于点D，与的平分线交于点E，连接BE、CE，延长AC至点 求证：； 连接CD，若，则______ 23.本小题8分 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点， 求一次函数的表达式； 画出这个一次函数的图象，并根据图象回答：当x ______时，； 若该一次函数的图象、函数为常数，的图象和x轴所围成的三角形的面积大于8，直接写出k的取值范围. 24.本小题6分 如图，已知线段m，用两种不同的方法：求作，使，，AC边上的中线长为要求： 尺规作图； 保留作图痕迹，写出必要的文字说明. 25.本小题7分 如图，在中，，CD是中线，作，垂足为D，交BC于点E，点F在CD上，且，连接 求证：； 若，，则______. 26.本小题8分 快车、慢车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一条笔直的公路匀速相向而行.快车到达乙地后休息一段时间，再以原速的倍原路返回甲地，快、慢两车恰好同时到达甲地.快车离甲地的距离单位：与行驶时间单位：之间的函数图象如图①所示. 甲、乙两地之间的距离为______ km，慢车的速度为______； 求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式； 设快、慢车两车之间的距离为单位：，在图②中画出s与x之间的函数图象标明必要的数据 27.本小题9分 在长方形ABCD中，，E，F分别是AD，AB边上的动点.在长方形ABCD的内部包含边界，以EF为直角边作等腰直角三角形EFP，且过点P作，垂足为 如图①，当时，设，，求y与x之间的函数表达式； 当点E的位置如图②所示时，点F在AB边上运动，用直尺和圆规在图②中作出所有满足条件的点P；保留作图痕迹，写出必要的文字说明 当点E，F分别在AD，AB边上运动时，满足条件的点P所形成的区域的面积随着AB的长度变化而变化，设点P所形成的区域的面积为s，AB的长度为请直接写出s与n的函数表达式及对应n的取值范围. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选： 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 本题考查了轴对称图形的概念，熟知识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键． 2.【答案】C  【解析】解：在平面直角坐标系中，点A的坐标是，将点A向右平移3个单位长度，得到点，则， 作点关于x轴的对称点，得到点， 点的坐标是 故选： 利用平移的性质得出点的坐标，再直接利用关于x轴对称点的性质得出点坐标． 此题主要考查了平移变换以及关于x轴对称点的性质，正确掌握平移规律是解题关键． 3.【答案】A  【解析】解：由作图痕迹可知，，， ， ≌ ≌的依据是 故选： 由作图痕迹可知，，，再结合全等三角形的判定可得答案． 本题考查作图-复杂作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定、角平分线的作图方法是解答本题的关键． 4.【答案】D  【解析】解：A、， ， 是直角三角形， 故A不符合题意； B、：b：：4：5， 设，，， ，， ， 是直角三角形， 故B不符合题意； C、， ， ， ， ， 是直角三角形， 故C不符合题意； D、：：：4：5， ， 不是直角三角形， 故D符合题意； 故选： 根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答． 本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理是解题的关键． 5.【答案】B  【解析】解：由题知， 因为一次函数、b是常数，的图象经过一、二、四象限， 则其大致的图象如图所示， 所以，， 所以点在第二象限． 故选： 根据题意，画出示意图，得出k，b的正负即可解决问题． 本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 6.【答案】A  【解析】解：游乐场同时采取降低运营成本、提高票价两种措施， 能表示采取措施后的图象是 故选： 结合点的意义可知降低运营成本、提高票价两种措施的图象的选项 本题考查了函数的图象，解决本题的关键是观察图象进行判断． 7.【答案】C  【解析】解：连接PA， ，的平分线相交于点P， 平分， ， 由折叠的性质得到， ， ， 平分，CP平分， ，， ， ， ， ， ， 故选： 连接PA，由角平分线定义得到，由折叠的性质得到，由三角形的外角性质推出，由角平分线定义得到，因此，得到，求出 本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，折叠问题，角平分线定义，关键是由折叠的性质，三角形的外角性质推出，由三角形内角和定理，角平分线定义得到 8.【答案】C  【解析】解：由题意得， 正方形ABCD的面积为2a， ， 阴影部分的面积为2b， ， ， ， ， ， ， 故选： 由阴影部分的面积为2b，得到，得到，根据三角形的面积公式列方程得到，求得，于是得到， 本题考查了勾股定理的证明，整式的混合运算，正确地识别图形是解题的关键． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了平方根的定义，解题关键是掌握其定义并会运用.根据正数有两个平方根，并且互为相反数即可得出. 【解答】 解：， 的平方根为， 故答案为 10.【答案】，  【解析】解：384000精确到万位，并用科学记数法表示， 故答案为： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数数位减 此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法． 11.【答案】<  【解析】解：， ，即， ， 故答案为： 先估算，再根据不等式的基本性质估算的大小即可． 本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握如何估算无理数和不等式的基本性质． 12.【答案】>  【解析】解：由题知， 当时，；当时，； 因为，， 所以y随x的增大而减小． 又因为， 所以 故答案为： 根据表格中前两列的x和y的取值，得出y随x的变化关系，据此可解决问题． 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，能根据所给表格中数据得出y随x的变化关系是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：由题知， 将函数的图象向下平移2个单位长度后， 所得函数图象对应的函数表达式是 故答案为： 根据“上加下减”的平移法则即可解决问题． 本题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟知“上加下减”的平移法则是解题的关键． 14.【答案】60  【解析】解：如图，作于点D，则 在中， ， ， 的面积 故答案为： 作底边上的高，构造直角三角形．运用等腰三角形的性质及三角形的面积公式求解． 本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质和三角形的面积等知识，求出三角形的高是解题关键． 15.【答案】  【解析】解：≌，， ，， ，， ， ， 故答案为： 根据全等三角形的性质求出，，根据等腰三角形的性质及角的和差求出，，再根据三角形内角和定理求解即可． 此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：一次函数与的图象交于点， 当时，， 关于x的不等式的解集为 故答案为： 结合函数图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集． 17.【答案】  【解析】解：过点F作于点T，过点B作于点 和分别是边长为6和2的等边三角形， ，， 由题意点F在平行AC的直线m上运动，平行线之间的距离为 当直线m时，BF的值最小，最小值为 故答案为： 过点F作于点T，过点B作于点求出FT，BK，由题意点F在平行AC的直线m上运动，当直线m时，BF的值最小． 本题考查等边三角形的性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18.【答案】  【解析】解：连接PA，PB，PC，设直线m交AC于点D，如图所示：   设， 直线m，n分别是AB、AC的垂直平分线，m，n交于点P， ，， ，， 是线段BC的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， 的度数为 故答案为： 连接PA，PB，PC，设直线m交AC于点D，设，根据线段垂直平分线的性质得，，则，，进而得PA是线段BC的垂直平分线，再根据等腰三角形的性质得，则，然后根据，得，则，由此即可得出的度数． 此题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键． 19.【答案】解： ； ， ， ， 或  【解析】先根据算术平方根、二次根式的性质、立方根的定义计算，再根据有理数的加减法则计算即可； 根据平方根的定义解方程即可． 本题考查了实数的运算，平方根，熟练掌握各运算法则是解题的关键． 20.【答案】证明：， ， ， ， 在与中， ， ≌，   【解析】根据平行线的性质得出，再根据等角对等边得出，再根据SAS证明≌即可得出结论． 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 21.【答案】  【解析】解：点M如图所示， 故答案为：； 如图，线段即为所求，，即为所求，， 所以满足条件的点P的坐标为或 画出点M判断即可； 利用轴对称变换的性质作出线段，再根据等腰直角三角形的判定作出，即可． 本题考查作图-轴对称变换，等腰直角三角形的判定，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 22.【答案】75  【解析】证明：如图，作，垂足为点G，，垂足为H， 直线l是BC边的垂直平分线， ， 平分，，， ， ， 解：直线l是BC边的垂直平分线， ，， ，， ， 由可知 故答案为： 作，垂足为点G，，垂足为H，证明即可得到； 利用线段的垂直平分线可推导出，再利用的结论得到继而求出结果． 本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是关键． 23.【答案】  【解析】解：设一次函数解析式为， 一次函数的图象经过点，， ，解得， 一次函数解析式为； 一次函数图象如图： 由图象可知，当时，， 故答案为： 函数为常数，的图象和y轴的交点坐标， 该函数与x轴交点坐标为， 该一次函数的图象、函数为常数，的图象和x轴所围成的三角形的面积大于8， ， 解得： 待定系数法求出一次函数解析式即可； 根据一次函数与坐标轴的交点坐标画出一次函数图象，按照图象写出不等式解集即可； 根据条件列出不等式，解不等式即可． 本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一元一次不等式的应用、一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． 24.【答案】解：如图，即为所求． 方法一：①作 ②在射线BN上截取线段BA，使得 ③以A为圆心，2n为半径作弧交射线BM于点 即为所求． 方法二：①作线段 ②分别以A，B为圆心，n为半径画弧，两弧交于点D，延长AD到C，使得，连接 即为所求．  【解析】方法一：①作②在射线BN上截取线段BA，使得③以A为圆心，2n为半径作弧交射线BM于点即为所求． 方法二：①作线段②分别以A，B为圆心，n为半径画弧，两弧交于点D，延长AD到C，使得，连接即为所求． 本题考查作图-复杂作图，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 25.【答案】  【解析】证明：连接AE，如图所示：   在中，，CD是中线， ， ，垂足为D， 是线段AB的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 即； 解：由可知：≌， ，， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 设，则， ， 是直角三角形， 在中，，，， 由勾股定理得：， ， 解得：， 故答案为： 连接AE，依题意得，DE是线段AB的垂直平分线，则，进而得，则，根据，得，则，由此得，进而可依据“SAS”判定和全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论； 由和全等得，，进而得，设，则，在中，由勾股定理可求出，进而可得BE的长． 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 26.【答案】300  50  【解析】解：由图①可得， 甲、乙两地之间的距离为300km，慢车的速度为， 故答案为：300，50； 由图可得， 快车从甲到乙的速度为， 则快车从乙到甲的速度为， 快车从乙到甲的时间为：， 点A的横坐标为， 点A的坐标为， 设线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为， 点，点在该函数图象上， ， 解得， 即线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为； 当时，慢车行驶的路程为：， 当时，慢车行驶的路程为， 图象如图所示． 根据图①中的数据，可以写出甲、乙两地之间的距离，计算出慢车的速度； 根据题意，可以算出点A的坐标，然后根据待定系数法，即可求得线段AB所表示的y与x之间的函数表达式； 根据题意，可以计算出和时，慢车走的路程，然后即可画出相应的函数图象． 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 27.【答案】解：是等腰直角三角形，且， ， 长方形ABCD，， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， 即y与x之间的函数表达式为； 作法一：如图，线段MN即为所求； 作法提示：①以点A为圆心，EA为半径画弧交AB于点M，交DA延长线于点； ②连接并延长，交CD于点N；则线段MN即为所求． 作法二：如图，线段MN即为所求； 作法提示：①以点A为圆心，EA为半径画弧交AB于点M； ②在边AB上截取； ③过点F作AB的垂线，交CD于点N，连接MN，线段MN即为所求． 作法三： 作法提示：①以点A为圆心，EA为半径画弧交AB于点M； ②在边AB上取点F，截取； ③作点H，使得，； ④连接MH并延长，交CD于点线段MN即为所求． 作法四：如图，线段MN即为所求； 作法提示：①以点A为圆心，EA为半径画弧交AB于点M； ②过点M作； ③作射线MG平分； ④射线MG与CD交于点N，则线段MN即为所求； 根据点E运动轨迹，先找临界值， 当点E与点D重合时， 此时四边形AMHD是正方形，点P运动轨迹为MN， ， 当点E与点A重合时， 此时点M也与点A重合，则点P的运动轨迹为线段AH， 我们发现，当点E在AD上运动时，且AB足够长的情况下，则点P轨迹所形成的区域为四边形AMNH，即下图中阴影部分， ①当时，此时点P所形成的区域为等腰直角三角形ABR， ； ②当时，此时点P所形成的区域为五边形AMRCH， ，          ； ③当时，点P所形成的区域为四边形AMNH， ； 综上，当时，； 当时，； 当时，  【解析】一线三垂直证≌即可得解； 由可知点P所在线段与AB夹角为，据此作图即可； 根据点E运动轨迹，先找临界值，当E与A重合时，当E与D重合时，从而确定点P完整的区域，进而再分类讨论求解即可． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、尺规作图、轨迹、矩形的性质等内容，熟练掌握相关知识和画图能力是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$