黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯区2024—2025学年上学期九年级期末数学试卷-　

2024-2025学年黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.我国传统文化中的“福禄寿喜”图如图由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.是关于x的一元二次方程的解，则(    ) A. B. C. 4 D. 3.如图，AB是的直径，CD是的弦，连结AC，AD，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 4.如图，将线段AB绕点O顺时针旋转得到线段，那么的对应点的坐标是(    ) A.   B.   C.   D.  ， 5.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 6.如图，E为▱ABCD的边BC上一点，AE交对角线BD于点F，BE：：则EF：AF的值为(    ) A. B. C. D. 7.下列命题正确的有(    ) 相等的圆心角所对的弧相等； 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 直径所对的圆周角是直角； 圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴. A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 8.一个圆锥的底面半径是5cm，其侧面展开图是圆心角是的扇形，则圆锥的母线长为(    ) A. 9cm B. 12cm C. 15cm D. 18cm 9.函数与在同一直角坐标系中的图象可能是(    ) A. B. C. D. 10.如图，抛物线为常数，与x轴的交点，顶点坐标与y轴交点在和之间包括端点，则下列结论： ①； ②； ③对于任意实数m，总成立； ④关于x的方程有两个不相等的实根， 其中正确的是(    ) A. ①②③ B. ②③④ C. ①④ D. ②③ 二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。 11.如图，已知，请添加一个条件______不添加字母及辅助线使与相似. 12.众友药店的某药品原价每盒25元，该药店经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是______. 13.在中，，，，那么它的内切圆的半径为______. 14.如图，等腰三角形的顶点A在y轴正半轴上，点B在函数为常数，的图象上，且，过点B作直线轴于点已知的面积为4，则k的值为______. 15.如图中，边，高，边长为x的正方形PQMN的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则正方形的边长______ 16.如图，中，，，，点P、Q分别为AB、BC上的动点，将沿PQ折叠，使点B们对应点D恰好落在边AC上，当与相似时，AP的长为______. 17.如图，在平面直角坐标系xOy的第一象限内依次作等边，，，…，点，，，…，在x轴的正半轴上，点，，，…，在射线OM上，若，，则点坐标是______. 三、解答题：本题共7小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题8分 解方程： ； 19.本小题7分 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上. 以O为原点建立直角坐标系，点B的坐标为，则点A的坐标为______； 以原点O为位似中心，确定，使它与的相似比为，写出的坐标； 画出绕点O顺时针旋转后的，并求线段AB扫过的面积. 20.本小题8分 数学课上，李老师在讲授“中心对称”时，设计了如下四种教学方法：A学生合作交流，探索规律；B教师讲授，学生练习；C教师引导学生总结规律，学生练习；D教师引导学生总结规律，学生合作交流.李老师将上述教学方法作为调研内容发到九年级所有同学手中，要求每位同学选出自己最喜欢的一种仅选一项，然后李老师从所有调查问卷中随机抽取了m份调查问卷作为样本，并将调查的结果绘制成如图两幅不完整的统计图. 根据以上信息，解答下列问题： ______，______；并补全条形统计图； 根据抽样调查的结果，请估计全校1200名九年级学生中，大约有多少人选择D项教学方法； 在选择A项教学方法的10人中，有甲、乙、丙、丁四名女生，现计划从这四人中选出两人参加座谈会，求甲、乙同时被选中的概率是多少？ 21.本小题9分 如图，D为上一点，点C在直径BA的延长线上，且 判断直线CD与的位置关系，并说明理由． 过点B作的切线交CD的延长线于点E，若，，求的半径长． 22.本小题11分 某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量件与销售单价元之间的关系如图所示． 根据图象直接写出y与x之间的函数关系式． 设这种商品月利润为元，求W与x之间的函数关系式． 这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大?最大月利润是多少? 23.  24.本小题14分 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点B与点C的坐标分别为，，点M是抛物线的顶点． 求抛物线的解析式； 点P是线段MB上一个动点，且点P的横坐标为m，过点P作轴于点D，交抛物线于点E，求线段PE的最大值，并求出此时点E的坐标； 在的条件下，若在线段MB上存在点P，使得为直角三角形，请直接写出点P的坐标． 答案和解析 1.【答案】B  【解析】【分析】 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 【解答】 解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确； C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误． 故选： 2.【答案】A  【解析】解：把代入方程得， 所以， 所以 故选： 先把代入方程得，然后利用整体代入的方法计算的值． 本题考查了一元二次方程的解，掌握解一元二次方程的步骤是关键． 3.【答案】B  【解析】解：连接 是直径， ， ， ， ， ， 故选： 连接BC，求出即可解决问题． 本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4.【答案】B  【解析】解：线段AB绕点O顺时针旋转得到线段， ≌，， 作轴于C，轴于， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ，， ，， 故选： 由线段AB绕点O顺时针旋转得到线段可以得出≌，，作轴于C，轴于，就可以得出≌，就可以得出，，由A的坐标就可以求出结论． 本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，点的坐标的运用，解答时证明三角形全等是关键． 5.【答案】C  【解析】解：根据题意得且， 解得且 故选： 利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可． 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 6.【答案】B  【解析】解：：：2，， ：：3， 在▱ABCD中，，， ∽， 故选： 由BE：：2得到BE：：3，由平行四边形的性质得到，从而∽，根据相似三角形的性质即可解答． 本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 7.【答案】D  【解析】解：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，故错误； 平分弦非直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故错误； 直径或半圆所对的圆周角是直角，故正确； 圆的直径是一条线段，而圆的对称轴是一条直线，故错误； 所以正确的结论只有一个，故选 根据圆心角与弧的关系，圆周角定理，垂径定理等知识对各个命题进行分析，从而得到答案． 牢记圆心角、弧的关系，圆周角定理，垂径定理等相关知识是解答此题的关键；需要特别注意的是轴对称图形的对称轴是一条直线． 8.【答案】B  【解析】解：设圆锥的母线长为R， 根据题意得， 解得 即圆锥的母线长为 故选： 设圆锥的母线长为R，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，由弧长公式得到，然后解方程即可． 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 9.【答案】A  【解析】解：当时，则， 抛物线的开口向上，且与y轴交于负半轴， 反比例函数的图象经过一、三象限， 当时， 抛物线的开口向下，且与y轴交于正半轴， 反比例函数的图象经过二、四象限， 综上所述，在同一直角坐标系中的图象可能是 故选： 分类讨论：当时，当时，利用数形结合即可求解， 本题考查了二次函数的图象及反比例函数的图象，利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解题的关键． 10.【答案】B  【解析】解：抛物线开口向下， ， 而抛物线的对称轴为直线，即， ，所以①错误； 抛物线为常数，与x轴的交点， ， ， ， ， ， ，所以②正确； 抛物线的顶点坐标， 时，二次函数值有最大值n， ， 即，所以③正确； ④顶点坐标 ， ，， ， ， 由图象可得，抛物线与直线有两个交点， 关于x的方程有两个不相等的实数根，所以④正确． 故选： 利用抛物线开口方向得到，再由抛物线的对称轴方程得到，则，于是可对①进行判断；利用和可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线与直线有两个交点可对④进行判断． 本题考查了二次函数图象与系数的关系：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于抛物线与x轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点． 11.【答案】  【解析】解：添加， ，， ∽ 故答案为：答案不唯一 根据三角形相似的判定定理去添加条件答案不唯一 本题考查了三角形相似的判定定理，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：设该药品平均每次降价的百分率为x， 由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元， 故， 解得或不合题意，舍去， 故该药品平均每次降价的百分率为 故答案为： 设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格降价的百分率，则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解． 此题考查了一元二次方程的应用中数量平均变化率问题．原来的数量价格为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到，再经过第二次调整就是增长用“+”，下降用“-”． 13.【答案】2  【解析】解：设的内切圆半径为r， 在中，，，， ， ， 故答案为： 首先设的内切圆半径为r，由在中，，，，可求得AC的长，又由，即可求得答案． 此题考查了三角形的内切圆的性质．此题难度不大，注意掌握方程思想的应用． 14.【答案】4  【解析】解：如图，作轴，垂足为M， ， ， ， ， 故答案为： 根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形性质，熟练掌握反比例函数k值几何意义是关键． 15.【答案】4  【解析】解：如图， ， ∽， ，即， 解得 故答案为： 由正方形的性质得，可证∽，根据相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求x的值． 本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质．关键是由正方形的性质得出平行线，证明三角形相似，利用相似三角形的性质列方程求解． 16.【答案】或  【解析】解：中，，，， ， 当与相似时， 点D始终在边AC上， 根据折叠， 设，则， 分两种情况： ①∽， 此时， ，即， 解得， ， ②∽， 此时， ，即， 解得， ， 综上，AP的长为或， 故答案为：或 根据直角三角形的性质可得，当与相似时，设，则，分两种情况：①∽，②∽，分别列方程求解即可． 本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定，折叠的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键，注意与相似要分情况讨论． 17.【答案】  【解析】解：根据题意，得 等边，，…， ，， ， ， ， ， 所以 的横坐标为，纵坐标为； 同理可得： 的横坐标为，纵坐标为；  的横坐标为，  的横坐标为，  的横坐标为， …  的横坐标为， 纵坐标为 所以的坐标为， 故答案为： 根据点的坐标规律，利用等边三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数值即可求解． 本题考查了点的坐标、等边三角形的性质、特殊角的三角函数值，解决本题的关键是寻找点的坐标规律． 18.【答案】解：； ， ， 或， ，； ， ， ， 或， ，  【解析】利用因式分解法解方程； 利用因式分解法解方程． 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 19.【答案】  【解析】解平面直角坐标系如图所示， 故答案为： 如图或； ， 线段AB扫过的面积=扇形的面积面积 根据点B的坐标，O为原点，构建平面直角坐标系即可； 根据位似变换的性质作出图形注意有两种情形； 利用旋转变换的性质画出图形，线段AB扫过的面积=扇形的面积面积． 本题考查作图-旋转变换，扇形面积的计算，位似变换，解题的关键是掌握位似变换，旋转变换的性质． 20.【答案】100  35  【解析】解：； 航天知识竞赛的人数有：人， 航天资料收集的人数有：人， ，即， 补全统计图如下： 故答案为：100，35； 根据题意得： 人， 答：大约有480人选择D项教学方法； 由题意列表得： 甲 乙 丙 丁 甲 甲乙 甲丙 甲丁 乙 乙甲 乙丙 乙丁 丙 丙甲 丙乙 丙丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 共有12种等可能的结果数，其中甲、乙被分在同一组的有4种， 则甲、乙被分在同一组的概率是 用A学生合作交流，探索规律的人数和所占的百分比，求出m的值，再分别求出B、C的人数及B所占的百分比，然后补全统计图即可； 用总人数乘以选择D项教学方法的人数所占的百分比即可； 列表得出所有等可能的情况数，找出甲、乙被分在同一组的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 21.【答案】解：直线CD和的位置关系是相切， 理由是：连接OD， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 即， 已知D为的一点， 直线CD是的切线， 即直线CD和的位置关系是相切； ，，过点B作的切线交CD的延长线于点E， ， 根据切线长定理可得：， ， 设的半径是x， ，， ∽， ， 即， 解得：， 即的半径长为  【解析】连接OD，根据圆周角定理求出，求出，根据切线的判定推出即可； 根据勾股定理求出CE，根据切线长定理求出，根据相似三角形得出方程，求出方程的解即可． 本题考查了切线的性质和判定，切线长定理，圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，题目比较典型，综合性比较强，难度适中． 22.【答案】解：当时，设y与x之间的函数关系式为， 将，代入得， 解得：， 与x之间的函数关系式为； 当时，设y与x之间的函数关系式为， 将，代入得， 解得：， ； 综上所述，； 当时， ， 当时， ， 综上所述，； 当时，， ，对称轴， 当时，W随x的增大而增大， 当时， ， 当时，， ，对称轴， ， 当时， ， ， 当时，， 答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675元．  【解析】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用，也考查了运用待定系数法求一次函数解析式．根据题意分情况建立二次函数的模型是解题的关键． 当时，设y与x之间的函数关系式为，当时，设y与x之间的函数关系式为，解方程组即可得到结论； 当时和当时，分别根据题意即可得到函数解析式； 当时，，得到当时，，当时，，得到当时，，于是得到结论． 23.【答案】    【解析】  24.【答案】解：把，代入， 得， 解得， 抛物线解析式为； ， ， 设直线BM的解析式为， 把，代入， 得， 解得， 直线BM的解析式为， 设， 则， ， ， 当时，S有最大值，最大值为1； 存在． 不可能为； 当时，则，即，解得，此时P点坐标为， 当时，则，即， 整理得，解得舍去，， 当时，，此时P点坐标为， 综上所述，当P点坐标为或时，为直角三角形．  【解析】把B点和C点坐标代入得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式； 把中的一般式配成顶点式可得到，设直线BM的解析式为，再利用待定系数法求出直线BM的解析式，则，于是，然后根据二次函数的性质解决问题； 讨论：不可能为；当时，易得，解方程求出m即可得到此时P点坐标；当时，利用勾股定理得到和两点间的距离公式得到，然后解方程求出满足条件的m的值即可得到此时P点坐标． 本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征；会利用待定系数法求函数解析式；两点间的距离公式和三角形面积公式；注意分类讨论的是解决此题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$