浙江省温州市2024-2025学年高二上学期期末教学质量统一检测数学试卷A卷

机密★考试结束前 2024学年第一学期温州市高二期末教学质量统一检测 数学试题(A卷) 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色宇迹钢笔或签宇笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上，将条 形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”， 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再进涂其他答素，答案不能答在试题卷上， 3,非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位 置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液，不按以上要 求作答的答案无效， 4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠，不要弄破. 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.已知直线1：x-√3y+1=0,则1的倾斜角为（▲） A君 B.号 c号 D. 5π 6 2.已知圆C:x2+y2=1,圆C2:(x+3)+(y-2)2=25,则圆C与圆C2的位置关系为 (▲) A.内含 B.相交 C.外切 D.外离 3.若{a,b,c}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（▲） A.b+c,b,b-c B.a,a+b,a-b C.a+b,a-b,c D.a+b,a+b+c,c 4.已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（▲） A.)B.<r 2 c.fa<r四<f0D.f0<10f0<r间 2 2 第4题图 5.已知点F是抛物线y2=8x的焦点，抛物线的准线与x轴交于点K,A是抛物线上的一点， 满足AK=√2AF,则△AFK的面积为（▲） A.4 B.4W2 C.8 D.16 高二数学试题(A卷)第1页（共4页） 6.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案。图形的作法是：从一个 正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形， 再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，设原正三角形（图①）的边 长为1，把图①、图②、图③、图④中图形的周长依次记为C,C2,C3,C4,则C4=(▲) Q ② 第6题图 ④ 4.128 9 B.4 C.64 D.I28 27 27 7.过点(a,b)可作函数f(x)=si山x,x∈(0,2π)的三条切线，则下列结论可能成立的是（▲） A.b>a B.b=f(a) C.f(a)<b<π-a D.a+b=π 8.已知数列{an}的前n项和为Sn,满足a=0,la,Ha-1+1川(n22),则|S2o24|可以是（▲） A.42 B.46 C.50 D.54 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共8分，在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求。全部进对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 9.已知直线1：x+my-4=0和圆C:(x-2)2+(y-12=4,下列说法正确的是（▲) A.直线1恒过点(4,0) B.圆C被x轴截得的弦长为2√3 C.当m=0时，直线l与圆C相切 D.当直线1与圆C相交时，截得的最大弦长为2√5 10.如图，△ABD,△BCE,△ACF所在的平面均与△ABC所在的平面垂直，且四个三角形 边长均为2的等边三角形，下列选项正确的是（▲） D A.△DEF是边长为1的正三角形 B.平面ADF⊥平面ABC 9 C.多面体ABC-DEF的体积为 4 D.多面体ABC-DEF的外接球的表面积为 3 第10题图 高二数学试题(A卷)第2页（共4页） 11.设函数f(x)=x山x,则（▲） Af+刘+f兮<0 B.当0<x<写时，f+2<f) c当0<x<号时，<f后-对 D.当x,3e(0,1)时，f(x)-f(x)f≤x-x 非选择题部分 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分，把答案填在题中的横线上 12.已知双曲线渐近线方程为y=2x,则该双曲线的离心率可以为▲一· 13.已知等差数列{a}的首项a与公差d均为正整数，且各项的和为49，则4=▲ 14.已知函数f(x)=ae-x-1有两个零点，x2,且x<为2设n为常数，当a变化时， 匹+x+(n+1)有最小值e,则常数n的值为▲· 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本小题满分13分)如图，在平行六面体ABCD-A,B,C,D中，AB=AD=AA,=1, ∠AAB=∠AAD=∠BAD=60°. D (1)求AC的长： (2)求证：直线AC⊥平面BDDB· 第15题图 16.(本小题满分15分)已知数列{a}的前n项和为Sn,且Sn=2-2. (1)求数列{an}的通项公式； a 2)令6，a,-0-an-可 求数列{b}的前n项和T. 高二数学试题(A卷)第3页（共4页） 17.(本小题满分15分)已知函数f(x)=ee,g(x)=nx. (1)若a=0,求证：g(x)<x<f(x): (2)若方程f(x)=g(x)-a有2个不同的解，求实数a的取值范围. 18.(本小题满分17分)已知F,F分别是双曲线x2-y2=1的左，右焦点，过F的直线I交 双曲线左支于A,A'两点，过F的直线'交双曲线右支于B,B两点（点A,B在x轴上方）， 且'II,直线FB,F2A交于P点. (1)当1⊥x轴时，求P的坐标： (2)若BP=3PF,求直线1的斜率： (3)设O为坐标原点，求OP的取值范围. 19.(本小题满分17分)设n为正整数，由互不相同的正实数构成数列4，a2,“,4m (1)请给出一个数列4,42,4，使得4142，a24,4341成等比数列： (2)若a142,a243,…,aman,a41为等比数列，求所有的n: (3)将所有的a,a,(1≤i<j≤n)按照一定顺序排成一列数，若这一列数是递增的等比数 列，求所有的n, 高二数学试题(A卷)第4页（共4页）2024学年第一学期温州市高二年级期末教学质量统一检测 高二数学试题(A卷)参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 题号 1 2 3 6 7 选项 A A C B C B B 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分， 共18分 题号 9 10 11 选项 ABC ACD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. (只要有一个对即满分)13.1或者4（写出一个就满分）14.e2-2 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.(本小题满分13分)如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，AB=AD=A4=1, ∠AAB=∠AAD=∠BAD=60°. (1)求AC的长： (2)求证：直线AC⊥平面BDD,B: 第15题图 第一问：7分： 第二问：6分 (1) AC=(B+BC+CC) 3分 =3+2AB-BC+2AB.CC+2BC.CC =V3+1+1+1 .6分 =6 .7分 注： 1,只要有向量工具意识，借用基底法将其转化为三个不共面的向量就给3分： 2.有向量运算，就给2分，无论对错： 3,答案对，轻过程，直接给7分： (2) 证明：设4B=a,D=b,L4=c,ab=cb=ca 注： ..AC=a+b-e,BD =b-a.BB =e 1.基底表示4C,给1分： 基底表示BD,给1分： ..AC.BD=(a+b-c)(b-a)=a-b-a'+bi-b-a-c.b+c-a=0 基底表示BB,给1分： 4C⊥BD 3分 2.计算4C·BD=0,给1分： 计算AC.BB=0,给1分： ..AC.BB =(a+b-c).c=a.c+b.c-c=0 3.线面垂直判定条件写了给1分， 不写不扣分； AC⊥BB 0年g090年00g48年4”￥0 6分 4.只要用基底法的，基本6分 又：BDOBB=B,BD,BRC平面BDDR ·AC⊥平面BDDB 法二： 如图，建立空间直角坐标系2分 D0Qo以5.号0.5.月 22 220.C01.0. 3 …4分 4=←516 623 AA =CC G536 623 *09中00.0+g 6分 3 4G=2 3 4G= 7分 AA =BB 厮=4=影5 62'3 2分 D=65 4分 注： 3 4c=(← 3 1.建系正确，就给2分，若第一问已经 建系给分，第二问就不重复给分： ∴.AC.BD=0 2.只要有坐标表示AC,BD,BB ..AC.BB =0 6分 或平面BDDB的法向量，就给1分， 无论对错： 又：BDOBB=B,BD,BBC平面BDDB 3线面垂直判定条件写了给1分， 不写不扣分： AC⊥平面BDDB (2)法三：ADCB是菱形 2分 ÷AC⊥BD 1分 :ADCB是菱形 ·AC⊥BD .6分 BD⌒BD=O,BD,BDC面DBBD ,AC⊥平面BDDB 注： 1.说明菱形，给2分；对角线垂直，给1分： 2第二个菱形和垂直关系同理给分 (2)法四： AC=V2,AA =1AC=3 .2分 .AC2=AA2+AC ∴AC⊥AA .4分 :AC⊥BD 'AC的投影在AC上 ,AC⊥BD 6分 注： 1.几何法看到求AC=V2,给2分： 2.对角线AC与BD垂直，给1分； 3线面垂直判定条件写了给1分，不写不扣分： 16.(本小题满分15分)已知数列{an}的前n项和为S。,且S,=21-2. (1)求数列{a}的通项公式：H (2)令b.= a a-1-(a-1) ,求数列{b}的前n项和T。, 第一问：9分：第二问：6分 16.(本小题满分15分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=21-2. (1)求数列{口n}的通项公式：和9分 【解析】：(1)S.=2-2,S1=2”-2(n22) 两式相减，得：a。=2(n之2).8分 当n=1,4=2,也符合 放a。=2(n后N）…9分 【说明】： 1、有变换下标，相减的意识，结果不正确的，给6分； 2、第一项未验证，扣1分； 3、不完全归纳法，未证明，扣2分； 16.(本小题满分15分)已知数列{a}的前n项和为S。,且Sn=21-2, a 6分 2》令6a-)0-可求数列6}的前”项和7.“ 2” 【解析】：2)6，(2-(2-可2-12m可 …4分 1 Tn=1- 2*1-1 6分 【说明】：1、有裂项的意识，裂项错误，无相消意识，给3分， 2、裂项对，有相消意识，T答案错误，扣1分； 3、裂项错，有相消意识，T答案错误，扣2分 17.(本小题满分15分)已知函数f(x)=e+,g(x)=nx. (1)若a=0,求证：g(x)<x<f(x): (2)若方程f(x)=g(x)-a有2个不同的解，求实数a的取值范围. 第一问：8分； 第二问：7分 (1)当a=0时，令(x)=e-x, .1分 H()=e-1 2分 令(x)=0.x=0 hx)=e-x在(-0,0)单增，在(0，+m)单减 ∴，风x)≥机0=1>0，即f(x)>x .4分 同理可证nx<x,即g(x)<x ..g(x)<x<f(x) .8分 注： 1.构造函数就给1分； 2.求导正确给1分，分析单调性给1分，得到最小值，给1分； 3右侧不等号部分同理给分； 4若用明星不等式，得出正确答案，不扣分； 5.分别求了两个函数的导数，说明图象增减快慢，给4分； (2).'e+e=nx-a ea+x+a=nx+x.3分 构造h(x)=e+x,易知h(x)在(0，+oo)单调递增 ∴.h(x+a)=hdnx) .'.x+a=Inx 5分 ∴.y=nx-x与y=a有2个解 y=1-1=1-x ∴.y=nx-x在(0,1)单增，在(1，+oo)单减 ∴.a<nr-x)ax=-l .7分 注： 1.有同构思想就给1分，同构正确得3分： 2.同构函数求导正确给1分，出现r+a=nx,就给2分； 3.答案正确，给2分. 法二： .e =Inx-a ..h(x)=et-Inx+a=0 约=e“一子昌知到=e-士在0树)上单调递第2分 由零点存在性定理可知3式，h化)=e0-1=0 即e=上，a=--n ()在0，)上单调递减，在+∞)上单调递增5分 .)m=h()=e-nx+a=1-nx+a= -lnx。--hx<0 Xo 2hx+x>0易知m()=2hx+x-上在0，+四)止单增，且m0=0.无>1 ∴a=(+nx)<-1.7分 注： 1.构造函数，求导给2分； 2.出现隐零点或h(x)<0,就给2分； 3.答案正确，给2分. 18.(本小愿满分17分)已知F,F分别是双曲线x2-y=1的左，右焦点，过F的直线I交 双曲线左支于AA两点，过F的直线'交双曲线右支于B,B两点（点A,B在x轴上 方)，且'II,直线FB,FA交于P点， (1)当1⊥x轴时，求P的坐标： (2)若BP=3PE,求直线/的斜率： (3)设O为坐标原点，求OP列的取值范围. 第一问：5分： 第二问：7分： 第三问：5分 18.(本小避满分17分)已知F,F分别是双曲线x2-y2=1的左，右焦点，过F的直线1交 双曲线左支于A,A两点，过F的直线'交双曲线右支于B,B两点（点A,B在x轴上 方)，且IⅡ，直线FB,FA交于P点 (1)当/⊥x轴时，求P的坐标： 5分 【解析】：(1)当11x轴时，4(-√2，)，…2分 则直线A5:y=- (x-√②)，…3分 4 由对称性，令r=0,y=2故P0)5分 【说明】 1、正确给出A点或者B坐标2分： 2、正确写出直线AF2或者BF1的方程得1分； 3、结果P点坐标正确2分 (2)若BP=3PE,求直线1的斜率；7分 【解析】： (2)由已知驴=3P所，得BF=3到F,于是BF=3BF,则 不抽设严：x=m心+、20≤m<1,设B(名.片)B(x片)，于是片=-3男，2分， -2√2m 联立方程m5.得0m2-y产+22w+1=0,得 +为 m2-1 x2-y2=1 1 为m可 m2-1 5高得m= ,闪此直线1的斜率为、√行一了分 【说明】：1、几何转化为=-3y(或者x+3x=-42)得2分，有体现转化思想都给分： 2、设线方程联立得出韦达定理内容正确得2分， 3、结果斜率正确得3分，若出现正负答案不扣分，只要出现正确结果都给分， 6 (3)设O为坐标原点，求OP的取值范围， 【解法1解析】 5分 》唐()如号以别为小，则-方)，-V正，F2明 【说明】： 1、写出两直线方程，并联立求得P点横 y2- 或纵坐标得2分. 2、写出OP的单变量m的关系式得1分 (重单变量的表达，不管关系式正确与否均给分)： (+)-+(+++无 3、求出正确结果得2分，若求对一边得1分， 当然若猜对结果没有前面的过程，只给结果2分 一为 方一与 听.-器 -y: (了 0小品m子0号 【解法2解析】：【另解：前面同解法1.代入y=.任-2)，科y=,2分 +x -为 √2m -32m代入得-m-20+2.-3m. (2)得片= m21⅓ m2-1 再代入y=,得4 9+4y=1,其中-32 <r<32 4 4 m3分 片- 5分 2 【说明】：1、写出两直线方程，并联立求得P点横或纵坐标得2分. 2、代入消元得到点P的轨迹得1分（其中x的范围没写不扣分）； 3、求出正确结果得2分，若求对一边得1分，当然若猜对结果没有前面的 过程，只给结果得2分 (3)设O为坐标原点，求OP的取值范围.…5分 【解法3解析】： 20p2+4=132 2 mm 六病衣六而园 又1+m=2m之2√tm→m21, .9 V4,4m 2m2·得3≤20p2+4<13 ，所9≤13213. 2 时om号 5分 天听听茶票女所2所 【说明】： 出QP是△听F前中，2P所+斯=20+声5，干是 1、有+那2得1分（可以没有证明》： gm当.，2、OP与m的正确关系式表达得2分（或者通过 理2…a号 定义求点P轨迹方程). 3、求出正确结果得2分，若求对一边得1分，当然 若猜对结果没有前面的过程，只给结果得2分. (3)设O为坐标原点，求OP列的取值范围. 45分 【解法2解析】：【1前面时法代入一产-：得y= 2分 -y: 物方2人=2中2-3m> 2)得斯=2m m2-1 再代入y=丝，相 3分 y-yi 9+4r=1,其中-32。 4 故or-r+-骨，所以对or< 2 5分 【说明】：1、写出两直线方程，并联立求得P点横或纵坐标得2分」 2、代入消元得到点P的轨迹得1分（其中×的范围没写不扣分）； 3、求出正确结果得2分，若求对一边得1分，当然若猜对结果没有前面的 过程，只给结果得2分 19.(本小题满分17分)设n为正整数，由互不相同的正实数构成数列4,4，，an· (1)请给出一个数列a,a2,a,使得a,a2,a,a,a,a成等比数列：日 (2)若a42,a,a3,,an1an,a41为等比数列，求所有的1； (3)将所有的a,a,(1≤i<j≤n)按照一定顺序排成一列数，若这一列数是递增的等比数 列，求所有的n, 第一问：5分： 第二问：6分：第三问：6分 19.(本小题满分17分)设n为正整数，由互不相同的正实数构成数列a,a,“,a。 1)请给出-一个数列4，a,4,使得a4,a,a,a,4成等比数列：.5分 【解析】：1)如选取4=2，a,=1,a=4,数列2,14 使得a,a=2,a,a=4,a,41=8为等比数列.5分 【说明】： 1、满足a2a3=a12,正确的给5分. 19.(本小题满分17分)设n为正整数，由互不相同的正实数构城数列4，马，，风 (2)若，%，4，a,a口，a,4为等比数列，求所有的1 6分 【解析】：(2)设该等比数列的公比为g,则g>0,g1.且g===及=…==4.1分 a。-0- 若n为偶数，设n=2,其中正整数≥2，则a,=a,9,4=49,,44=4g.由g=8可 da-t 得d=1,这与正实数互不相同不盾。…2分 若n为奇数。设m=2素+1其中k为正整数，当4=g,马=g4。,a4=g，0=1,a,=9 ,马=时满足条件.2分 综上可知，满足条件的正整数n为不小于3的奇数.1分 【说明】：1、出现g的等量关系，得1分； 2、n为偶数，出现q*=1,矛盾，得2分； 3、n为奇数，错误但有一定的构造意识，得1分； 4、正确结果得1分. 19.(本小避满分7分)设n为正整数。由互不相屑的正实数构成数列4，@，，a, (3)将所有的口0，（往51<≤时小按题一定顺序挂成一列验，若这一列数是通增的等比数 列。求所有的 6分 【解析】：3④m=3时。游取4-，马-2，马=4，则44-2,4%=4,44-8为等比数列：分 ②m=4时进取a-1,a4,a-8,a-16,则a4-4,a4二8,4a-16,a%-32,马a-64,ma,-28为等 比数列.1分 国≥5时。不幼假设得<%<一<a·且等比数列3：{和0，}（≤<寸≤）的公比为g,题g>1,由于等比数列S的能两项 为4444精现为aa则会-验9-最-品 1)若n之6，题乌位1=高，4这与4：·aa为等比数列S中不同的两项不盾：分 2)若m=5,则鸟=g-8。因为8-g,丝=g,所以等比数列s的前己项为4a,44,44,末三项为44，a4 44 且年 4。灵为器4，会9，新以44,4,4联为等比数到5的相容三项.者4码为等北数到5的第四成。对 马-二=g=复，于是画码=风，这与马·马为等比数列3中不时的两项千暂：若%马为等比数列s的缩七项，赠 %4 是一会一受子是明4，越与4,4风为特批数对5中本同的两碳子指。一上分 综上可知，满足条件的正整数样=3,4,1分 【说明】： 1、给出n=3的构造，得1分； 2、给出n=4的构造，得1分； 3、说明n≥6矛盾，得1分； 4、n=5时，未说明从第四项至第七项情形，得1分 构造合理，说理清楚，得2分； 5、正确结果得1分. 9