宁夏回族自治区银川市贺兰县第一中学2024-2025学年高三上学期1月期末学科测试数学试题

贺兰一中2024~2025学年第一学期高三年级期末学科测试 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．已知向量，，则（     ） A．4 B．3 C．2 D．0 3．（    ） A． B． C． D． 4．若底面半径为的圆锥内接于半径为2的球O，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 5．函数的部分图像如图所示，则（ ） A．1 B．2 C．5 D．8 6．若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的左，右焦点分别为，是双曲线上一点， ，且成等差数列，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 8．已知数列各项为正数，满足，，若，，则（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分。 9．已知随机变量， ，则（    ） A． B．> C． D． 10．等边边长为2，，，与交于点，则（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 11．已知圆，定直线，以原点O为顶点的射线与圆直线分别交于A,B两点，P为上的动点，满足，则点P的轨迹为蔓叶线，且其方程为.下列关于蔓叶线的说法正确的是（ ） A． B．若蔓叶线E与抛物线的一个交点的横坐标为3，则 C．的最小值为 D．若点在蔓叶线E上，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则 . 13．已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则= . 14．在2024年巴黎奥运会上，中国乒乓球取得了极其辉煌的成绩，成功包揽了乒乓球项目的冠军．甲、乙两人进行乒乓球比赛，规定每回合比赛胜者得1分，负者得0分，哪一方率先获得11分，就可以赢得比赛． 10平后．先多得2分的一方为胜方，比赛一直进行到一方比另一方多2分方可分出胜负．已知甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每回合的比赛结果相互独立．已知比赛已经进行到10:10，则两个回合后本局比赛分出胜负的概率为 ，假设比赛不限制回合数，则甲赢得本局比赛的概率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知在△ABC中，内角的对边分别为，. (1)求； (2)若，D为BC的中点，，求的外接圆的面积. 16．（15分） 已知椭圆:()的离心率为，分别是椭圆C的左、右顶点. （1）求椭圆的方程. （2）是否存在过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，使得?若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 17．（15分） 已知正四棱锥的所有棱长均为6，G为PC的中点，E、H分别在AD、CD上，． (1)求证：平面PAD； (2)若,求直线EG与平面PDN所成角的正弦值． 18．（17分） 已知函数 (1)求函数的极值. (2)设，曲线在处的切线为. （i）证明：除切点外，曲线恒在线的上方. （ii）若，且证明：. 19．（17分） （日） 1 2 3 4 5 （万人） 45 50 60 65 80 2024年初，冰城哈尔滨充分利用得天独厚的冰雪资源，成为2024年第一个“火出圈”的网红城市，冰城通过创新营销展示了丰富的文化活动，成功提升了吸引力和知名度，为其他旅游城市提供了宝贵经验，从2024年1月1日至5日，哈尔滨太平国际机场接待外地游客数量如下： (1)计算的相关系数（计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为日期与游客人数的相关性很强； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； (3)为了吸引游客，在冰雪大世界售票处针对各个旅游团进行了现场抽奖的活动，具体抽奖规则为：从该旅游团中随机同时抽取两名游客，两名游客性别不同则为中奖．已知某个旅游团中有5个男游客和个女游客，设重复进行三次抽奖中恰有一次中奖的概率为，当取多少时，最大？ 参考公式：，，， 参考数据：． 贺兰一中2024~2025学年第一学期高三年级期末学科测试 数 学（参考答案） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A B C B C A C ABD BD ABD 题号 12 13 14 答案 2i 或 15. 【答案】(1) (2) 【解答】 16. 【答案】(1) (2) 不存在，理由见解答 【解答】 17. 【答案】(1) 见解答 (2) 见解答 【解答】 18. 【答案】(1)极大值为e，无极小值 (2)(i)(ii)见解答 【解答】 19. 【答案】(1)，可以认为两者的相关性很强(2)(3)当时，恰有一次中奖的概率最大 【解答】（1）因为，所以 ，， ， 所以 ，由此可以认为两者的相关性很强． （2）由（1）知，．所以=． 因为，所以回归方程为． （3）记， ， ，即． ，令， 则，得，，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值．由，解得或（舍去）， 当时，恰有一次中奖的概率最大． 【关键点睛】：本题第三问，解题的关键是根据题意列出的表达式，并判断单调性求出的范围，利用二项分布求出，借助导数求出最大值. 部分试题详细解答 8.【答案】C 【解题思路】由，得，再结合，可得，进而可得数列是等差数列，即可求出的通项，从而可求出数列的通项，再利用裂项相消法求解即可. 【因为，，所以，因为，所以，，即，所以数列是等差数列，又，，所以，所以数列的公差为，首项为，所以，所以，所以，则，所以.】 10. 【答案】BD 【解题思路】利用平面向量的线性运算可判断A选项的正误；以为坐标原点，、分别为轴、轴正方向建立平面直角坐标系，求出点的坐标，可判断B选项的正误；利用平面向量数量积的坐标运算和投影向量的定义可判断CD选项的正误. 【对于A，由平面向量线性运算可得，，A错误；对于B，以为坐标原点，、分别为轴、轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，则设，，所以，因为，所以，解得，所以，B正确；对于C，由B可知，，所以，C错误；对于D，，所以，所以在方向上的投影向量为，D正确】 11. 【答案】ABD 13. 【答案】或 14. 【答案】； 高三期末学科测试 （数学试卷） 第3页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $$