精品解析： 四川省遂宁市射洪县2024-—2025学年八年级上学期期末统测数学试题

2024～2025学年度上期期末质量监测试题八年级数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．总分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，满分54分） 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用黑色签字笔涂写在答题卡上； 2．1—18小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在I卷试卷上； 3．考试结束后，只交答题卡． 一、选择题：（每小题都有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项是正确的，每小题3分，共54分） 1. 下列实数，，π，中，无理数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. ＝ D. 3. 下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（    ） A. B. C. D. 4. 体育强则中国强，国运兴则体育兴．在2024年巴黎奥运会上，中国体育健儿发挥出色，共获得40块金牌、27块银牌和24块铜牌．要想清楚地表示出中国体育代表团获得各类奖牌数量与奖牌总数之间的关系，适合绘制（ ） A. 扇形统计图 B. 折线统计图 C. 条形统计图 D. 以上统计图均可以 5. 如图，，欲证，则补充的条件中不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若的三边分别是，，，则下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. ，， 7. 计算的结果为（　　） A. 3 B. C. D. 8. 如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤1∶以C为圆心，CA为半径画弧①； 步骤2∶以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D； 步骤3∶连接AD，交BC延长线于点H． 下列叙述正确的是( ) A. BH垂直平分线段AD B. AC平分∠BAD C. S△ABC=BC⋅AH D. AB=AD 9. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 C. 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 D. 两直线平行，同位角相等 10. 已知，，则的值为（ ） A. 72 B. C. D. 11. 若，则实数a、b的符号为（ ） A. a、b同为正 B. a、b同为负 C. a、b异号且绝对值大的为正 D. a、b异号且绝对值大的为负 12. 如图，在中，，的平分线交于点，若，，，则的面积是（ ） A. 30 B. 15 C. 20 D. 27 13. 已知，则代数式的值是（ ） A. 2 B. C. 8 D. 14. 一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所示的隧道（隧道下方为长方形，上方为半圆形拱门），则卡车的外形不得高于（ ） A. 3.1米 B. 3米 C. 2.9米 D. 2.8米 15. 有两类正方形，，其边长分别为，．现将放在的内部得图1，将，并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形，的面积之和为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 16. 如图，中，与的平分线交于点F，过点F作交于点D，交于点E，那么下列结论，其中不正确的有（ ） A. 是等腰三角形 B. C. 若，则 D. 17. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连接，相交于点O、与相交于点P．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，满分96分） 注意事项： 1．用钢笔或签字笔在答题卡上作答，不能答在此试卷上． 2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，需要你在答题卡上作答． 3．答题前将答题卡密封线内的项目填写清楚． 二、填空题（每小题4分，6个小题，共24分） 18. 请将命题"等腰三角形的底角相等"改写为"如果……,那么……"的形式:____________________________________. 19. 若一个正数的平方根为和，则a的值是______． 20. 如图，以一个单位长度为边向上作正方形，以表示数1的点为圆心，以正方形对角线为半径作半圆，交数轴于点A，则点A表示的数为___． 21. 若是一个关于的完全平方式，那么的值是___． 22. 如图，在中，，D为上一点，且，，则_______ 度． 23. 小王在探究等边三角形“手拉手”问题，得出以下四个结论． 如图，已知，均为等边三角形，点在线段上，且不与点、点重合，连接，则； 已知条件同，则； 如图，已知，均为等边三角形，点在内部，连接、，则、、三点共线； 如图，已知为等边三角形，点在外，并且与点位于线段的异侧，连接、．若，则． 以上结论正确的是___． 三、解答题：（本大题共6个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 24. 计算或因式分解 （1）计算； （2）计算； （3）因式分解； （4）因式分解． 25. 为了解双减政策实施以来学生的作业时长，某学校数学兴趣小组调查了七、八年级部分学生完成作业的时间情况，并对其调查数据进行整理和分析，共分四个时段（x表示作业完成时间，单位：min，x取整数）：A．；B．；C．；D．．完成作业时间不超过的学生为时间管理优秀者．现将调查数据绘制成统计表和如图所示的不完整的统计图． 时间/min 频数/人 百分比 5 12 a b 6 合计 c （1）表中______，______，______，补全频数分布直方图； （2）此次调查中，大多数学生完成作业的时间段是______； （3）这所学校七、八年级共有2200人，试估算七、八年级时间管理优秀的学生共有多少人？ 26. 如图，C，A，D在同一直线上，已知．     （1）求证：； （2）若，求线段的长． 27. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． （1）求风筝的垂直高度． （2）如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 28. 如图，在等腰中，，E，F分别是的中点． （1）如图，用直尺和圆规作的平分线交于点D，连接．（要求：只保留作图痕迹） （2）已知：如图，等腰中，，平分，E，F分别是的中点．求证：． 29. 阅读理解 阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，这种解题思想叫做“整体思想”． 下面是小亮同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则原式（第一步） ＝ （第二步） ＝ （第三步） 故原式 （第四步）． ； （第五步） 请根据上述材料回答下列问题： （1）初步理解： 小亮同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的　　　； A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 （2）尝试应用： 请你用换元法对多项式进行因式分解； （3）灵活运用： 请你将多项式进行因式分解 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度上期期末质量监测试题八年级数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．总分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，满分54分） 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用黑色签字笔涂写在答题卡上； 2．1—18小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在I卷试卷上； 3．考试结束后，只交答题卡． 一、选择题：（每小题都有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项是正确的，每小题3分，共54分） 1. 下列实数，，π，中，无理数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的判断、立方根，根据无限不循环小数叫做无理数逐个判断即可，． 【详解】解：，是有理数， 是无理数，有2个． 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. ＝ D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘（除），合并同类项，幂的乘方， 根据运算法则逐个判断即可． 【详解】解：因为，所以A符合题意； 因为不能合并，所以B不符合题意； 因为，所以C不符合题意； 因为，所以D不符合题意． 故选：A． 3. 下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解．熟练掌握完全平方公式的特点是进行因式分解的关键．根据利用完全平方公式进行因式分解对各选项进行判断即可． 【详解】解：由题意知，，不能用完全平方公式分解因式，故A符合要求； ，能用完全平方公式分解因式，故B不符合要求； ，能用完全平方公式分解因式，故C不符合要求； ，能用完全平方公式分解因式，故D不符合要求； 故选：A． 4. 体育强则中国强，国运兴则体育兴．在2024年巴黎奥运会上，中国体育健儿发挥出色，共获得40块金牌、27块银牌和24块铜牌．要想清楚地表示出中国体育代表团获得各类奖牌数量与奖牌总数之间的关系，适合绘制（ ） A. 扇形统计图 B. 折线统计图 C. 条形统计图 D. 以上统计图均可以 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了统计图的选择，熟练掌握扇形统计图在表示部分与整体关系中的应用是解题的关键． 根据扇形统计图可以清楚地表示出部分在整体中所占的百分比即可得到答案． 【详解】解：扇形统计图可以清楚地表示出部分在整体中所占的百分比， 故选： A． 5. 如图，，欲证，则补充的条件中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 从已知看，已经有一边和一角相等，则添加一角或夹这角的另一边即可判定其全等，从选项看只有第三项符合题意，所以其为正确答案，其它选项是不能判定两三角形全等的． 【详解】解：∵， ， ， ， 当时， 在和中， ∴，A是可以证明全等； 当时， 在和中， ∴，B是可以证明全等； 当时， 在和中， ， ∴，D是可以证明全等； 当时，不能证明三角形全等， 故选：C． 6. 若的三边分别是，，，则下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的知识，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理．据相关知识逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴A可以判定是直角三角形，不符合题意； ∵，， ∴， ∴B不能判定是直角三角形，符合题意； ∵，，， ∴，，， ∴， ∴C可以判定是直角三角，不符合题意； ∵，，， ∴，，， ∴， ∴D可以判定是直角三角；不符合题意． 故选：B． 7. 计算的结果为（　　） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查积的乘方公式，正确进行公式的变形是关键．逆用积的乘方公式即可求解． 【详解】解：原式 故选D． 8. 如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤1∶以C为圆心，CA为半径画弧①； 步骤2∶以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D； 步骤3∶连接AD，交BC延长线于点H． 下列叙述正确的是( ) A. BH垂直平分线段AD B. AC平分∠BAD C. S△ABC=BC⋅AH D. AB=AD 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可． 【详解】解：A．如图连接CD、BD， ∵CA=CD，BA=BD， ∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上， ∴直线BC是线段AD的垂直平分线， 故A正确，符合题意； B．CA不一定平分∠BDA， 故B错误，不符合题意； C．应该是S△ABC=•BC•AH，故C错误，不符合题意； D．根据条件AB不一定等于AD， 故D错误，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 9. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 C. 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 D. 两直线平行，同位角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了逆命题，真假命题的判定，理解并掌握全等三角形的判定，平方数的特点，对顶角的定义，平行线的判定是解题的关键． 根据题意，先改写为逆命题，再根据全等三角形的判定，平方数的特点，对顶角的定义，平行线的判定等知识进行分析即可求解． 【详解】解：A、全等三角形的对应角相等的逆命题为“三个角分别相等的三角形全等”，是假命题，不符合题意； B、如果两个有理数相等，那么它们的平方相等的逆命题为“两个有理数的平方相等，这两个有理数也相等”，是假命题，不符合题意； C、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等的逆命题是“两个角相等，这两个角是对顶角”，是假命题，不符合题意； D、两直线平行，同位角相等的逆命题是“同位角相等，两直线平行”，是真命题，符合题意； 故选：D ． 10. 已知，，则的值为（ ） A. 72 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的除法以及幂的乘方法则，根据幂的乘方，底数不变指数相乘，先把和的值求出，然后根据同底数幂的除法，底数不变指数相减求解即可． 【详解】解：，， ， ， ． 故选：B． 11. 若，则实数a、b的符号为（ ） A. a、b同为正 B. a、b同为负 C. a、b异号且绝对值大的为正 D. a、b异号且绝对值大的为负 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式法则以及有理数的加法和乘法，将左边，对比两边，相同项的系数相同，可得，，根据两数相乘异号得负可知a、b异号，再根据异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，即可解答． 【详解】解：将左边式子展开可得，， ∴，， ∴a、b异号且绝对值大的为负， 故选：D． 12. 如图，在中，，的平分线交于点，若，，，则的面积是（ ） A. 30 B. 15 C. 20 D. 27 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，勾股定理熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 作于点，根据勾股定理得出，根据角平分线的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于点， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选： B． 13. 已知，则代数式的值是（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，代数式求值．先根据整式的混合运算法则进行计算，化简后，利用整体思想代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：A． 14. 一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所示的隧道（隧道下方为长方形，上方为半圆形拱门），则卡车的外形不得高于（ ） A. 3.1米 B. 3米 C. 2.9米 D. 2.8米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆的半径与勾股定理的实际应用，涉及知识点：半圆的半径性质、勾股定理求线段长度．先确定半圆半径，结合卡车宽度得水平距离，用勾股定理求半圆内的垂直高度，再与长方形高度相加得卡车最大允许高度． 【详解】解：由图形可得，（米），（米）， ， ， ， 解得：， ， （米）， ∴卡车的外形不得高于米． 故选C． 15. 有两类正方形，，其边长分别为，．现将放在的内部得图1，将，并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形，的面积之和为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用和整体代入的数学思想，根据图形得出数量关系是解题的关键．根据图1的阴影部分面积求出的值，根据图2阴影部分的面积求出的值，再根据完全平方公式求出的值即可得到答案． 【详解】解：由图1得：，即， 由图2得：，整理得， ∴， ∴． 即正方形A、B的面积之和为13． 故选C． 16. 如图，中，与的平分线交于点F，过点F作交于点D，交于点E，那么下列结论，其中不正确的有（ ） A. 是等腰三角形 B. C. 若，则 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义证明，从而可得即可判断A；同理可证即可判断B；根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出的度数即可判断C；根据现有条件无法证明即可判断D． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，则选项A正确，不符合题意； 同理可得：， ∴，则选项B正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，则选项C正确，不符合题意； 若，则，根据已知条件无法证明这一点， ∴不一定等于，则选项D不正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义及平行线的性质，三角形内角和定理等知识点，根据两直线平行，内错角相等以及等角对等边来判定等腰三角形是解答本题的关键． 17. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连接，相交于点O、与相交于点P．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，根据等腰直角三角形的性质可得出，，，，，根据等边对等角以及角的和差关系可求出，根据可证，得出，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：四边形、为正方形， ，，，， ，， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题，满分96分） 注意事项： 1．用钢笔或签字笔在答题卡上作答，不能答在此试卷上． 2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，需要你在答题卡上作答． 3．答题前将答题卡密封线内的项目填写清楚． 二、填空题（每小题4分，6个小题，共24分） 18. 请将命题"等腰三角形的底角相等"改写为"如果……,那么……"的形式:____________________________________. 【答案】如果一个三角形是等腰三角形,那么它的两个底角相等 【解析】 【分析】命题中的条件是一个三角形是等腰三角形，放在“如果”的后面，结论是它的两个底角相等，应放在“那么”的后面． 【详解】题设为：一个三角形是等腰三角形，结论为：这个三角形的两个底角相等， 故写成“如果…那么…”的形式是：如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等． 故答案为如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等． 【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单． 19. 若一个正数的平方根为和，则a的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，正数有两个不同的平方根，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．根据正数的两个平方根互为相反数列式求解即可． 【详解】解：∵一个正数的平方根为和， ∴， ∴． 故答案为：． 20. 如图，以一个单位长度为边向上作正方形，以表示数1的点为圆心，以正方形对角线为半径作半圆，交数轴于点A，则点A表示的数为___． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，数轴上的点与实数是一一对应关系，根据勾股定理求出点表示的数是解题的关键． 应用勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得点表示的数为：， 故答案为： ． 21. 若是一个关于的完全平方式，那么的值是___． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，解一元一次方程，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式得到，求解即可． 【详解】解：由题意得， ∴或， 故答案为： 或． 22. 如图，在中，，D为上一点，且，，则_______ 度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形的内角和定理、外角的性质．等腰三角形的两条腰相等，两个底角相等．找着角的关系列出关系式正确解答本题的关键． 由已知的许多线段相等，根据等边对等角，找出图中相等的角，由，根据三角形的内角和是180°，列式求解． 【详解】解∶ ， ． ， ． ， ， ， 解得． 故答案为∶． 23. 小王在探究等边三角形“手拉手”问题，得出以下四个结论． 如图，已知，均为等边三角形，点在线段上，且不与点、点重合，连接，则； 已知条件同，则； 如图，已知，均为等边三角形，点在内部，连接、，则、、三点共线； 如图，已知为等边三角形，点在外，并且与点位于线段的异侧，连接、．若，则． 以上结论正确的是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据等边三角形的性质证明即可解决，在上取一点，使得，设交于点，证明，得到，，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，结合图形计算，即可解决． 【详解】解：，均为等边三角形， ，，，， ，即， 在和中， ， ，故正确； 由知， ， ， ， ，故正确； ，均为等边三角形， ，，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， 若，则， 、、三点共线， 缺少， 无法证明，故错误； 如图，在上取一点，使得，设交于点， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ，故正确； 故答案为：． 三、解答题：（本大题共6个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 24. 计算或因式分解 （1）计算； （2）计算； （3）因式分解； （4）因式分解． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，整式的乘法运算，解题的关键是掌握因式分解的方法，整式的乘法运算，，，进行计算，即可． （1）利用，则，进行计算，即可； （2）根据，，进行计算，即可． （3）先提公因式，再根据，进行解答，即可； （4）根据，则，再提公因式，即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解： ． 25. 为了解双减政策实施以来学生的作业时长，某学校数学兴趣小组调查了七、八年级部分学生完成作业的时间情况，并对其调查数据进行整理和分析，共分四个时段（x表示作业完成时间，单位：min，x取整数）：A．；B．；C．；D．．完成作业时间不超过的学生为时间管理优秀者．现将调查数据绘制成统计表和如图所示的不完整的统计图． 时间/min 频数/人 百分比 5 12 a b 6 合计 c （1）表中______，______，______，补全频数分布直方图； （2）此次调查中，大多数学生完成作业的时间段是______； （3）这所学校七、八年级共有2200人，试估算七、八年级时间管理优秀的学生共有多少人？ 【答案】（1），27，50， 补全频数分布直方图如下： （2） （3）1936人 【解析】 【分析】本题考查了统计表和条形统计图，样本估计总体，熟练掌握众数等相关概念是解题关键． （1）用总的百分比减去其他时段的百分比即可求出a的值；用时段的人数除以所占的百分比即可求出c的值；用总人数乘以时段所占的百分比即可求出b的值，进而补全统计图即可； （2）根据众数的概念求解即可； （3）求出七，八年级时间管理优秀的人数所占的百分比，再乘以2200即可． 【小问1详解】 ； （人） ； 故答案为：，27，50 【小问2详解】 ∵时段的人数最多， ∴此次调查中，大多数学生完成作业的时间段是； 故答案为： 【小问3详解】 （人） ∴七、八年级时间管理优秀的学生共有1936人． 26. 如图，C，A，D在同一直线上，已知．     （1）求证：； （2）若，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴； （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质， 对于（1），先根据平行线的性质得，再根据“角角边”证明即可； 对于（2），根据全等三角形的对应边相等得，再根据可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． ∴线段的长度为4． 27. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． （1）求风筝的垂直高度． （2）如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）如图，在上取点，使米，根据勾股定理求出，再计算即可； 【小问1详解】 解：根据题意得：米，米，米， 在中，米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴风筝的垂直高度为米； 【小问2详解】 如图，在上取点，使米，连接， ∴（米）， 在中，（米），（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：他应该往回收线米． 28. 如图，在等腰中，，E，F分别是的中点． （1）如图，用直尺和圆规作的平分线交于点D，连接．（要求：只保留作图痕迹） （2）已知：如图，等腰中，，平分，E，F分别是的中点．求证：． 【答案】（1） 解：补全图形如下： （2） 证明：分别是的中点， ，． ， ， 平分， ， 在和中， ， ． ． 【解析】 【分析】本题考查了作图—作角平分线，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）用直尺和圆规作的平分线交于点D，连接即可； （2）用证明即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 29. 阅读理解 阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，这种解题思想叫做“整体思想”． 下面是小亮同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则原式（第一步） ＝ （第二步） ＝ （第三步） 故原式 （第四步）． ； （第五步） 请根据上述材料回答下列问题： （1）初步理解： 小亮同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的　　　； A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 （2）尝试应用： 请你用换元法对多项式进行因式分解； （3）灵活运用： 请你将多项式进行因式分解 【答案】（1）C （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． (1)根据完全平方公式即可解答； (2)设 ，则，原式，再因式分解即可得到答案； (3)先将原式变形为，设，则原式，进而得到原式． 【小问1详解】 解：运用了完全平方公式法， 故选：C； 【小问2详解】 解：设， 原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ， 设 原式 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $