精品解析：江苏省无锡市滨湖区太湖高级中学2023-2024学年高二下学期3月阶段测试数学试题

江苏省太湖高中高二年级3月测试 高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知函数，则（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导函数，代入计算可得. 【详解】因为， 所以，则. 故选：B 2. 设f(x)是可导函数，且，则（ ） A 2 B. C. -1 D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】由已知及导数的定义求即可. 【详解】由题设，. 故选：B 3. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】先求得函数的定义域，然后利用导数求得的单调递增区间. 【详解】的定义域为，且，所以当时，，单调递增，的单调递增区间为. 故选：B 【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题. 4. 已知点P是曲线上任意的一点，则点P到直线的距离的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，过点的切线与直线平行，由此可求出点的坐标，然后利用点到直线的距离公式求解即可 【详解】令，则，即， 所以， 故选：D． 5. 用0．1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A. 24个 B. 26个 C. 30个 D. 42个 【答案】C 【解析】 【分析】利用分类加法和分步乘法计数原理，结合排列的定义即可求. 【详解】若0在个位，则可组成个偶数； 若2在个位，则可组成个偶数； 若4在个位，则可组成个偶数； 所以偶数共有个. 故选：C 6. 已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得导函数，根据无极值的条件，利用判别式解得的取值范围. 【详解】因为函数在上无极值, 所以在上无变号零点，解得， 即实数的取值范围为. 故选：C. 7. 若对于任意的，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，求出导数可知单调性，由题可知在单调递增，即可求出的范围. 【详解】对于任意的，都有， 即对于任意的，都有， 令，则在上单调递增， 又，令，解得， 则时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，即实数的取值范围是. 故选：D 8. 已知是函数的导函数，且对任意实数都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件可得，结合导数运算及求出函数的解析式，解不等式可得结论. 【详解】因为， 所以，即， 所以可设， 即，又， 所以，故， 所以不等式可化为， 故， 所以， 所以不等式的解集为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.全部选对得满分，部分选对得部分分，选错不得分. 9. 定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在区间单调递增 B. 函数在区间单调递减 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据导函数图像判断出函数的单调性和极值，由此判断出正确选项. 【详解】根据导函数图像可知，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增.所以在处取得极小值，没有极大值. 所以A,B,D选项正确，C选项错误. 故选：ABD 【点睛】本小题主要考查利用导函数图像判断函数单调区间、极值，属于基础题 10. 若函数在定义域上单调递增，则称函数具有“Z魔力”，下列函数中具有“Z魔力”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知中函数具有“Z魔力”的定义，一一验证可得． 【详解】对于A，定义域为，则恒成立， 所以在上单调递增，故满足条件； 对于B，定义域为，则， 令，，则，所以在上单调递增， 又，即当时，函数在上单调递减， 当时，函数在上单调递增，故不满足条件； 对于C，定义域为，， 令，，， 则时，；当时， 即在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极小值即最小值， 所以恒成立，即在定义域上单调递增，故C正确； 对于D，定义域为，， 又，即在定义域上单调递减，且， 故不满足函数在定义域上单调递增，故D错误； 故选：AC 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减，在上单调递增 B 既没有最大值也没有最小值 C. 若方程有4个不等的实数根，则 D. 设有3个不同的零点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对函数求导，利用导数探讨函数的单调性、图象及性质即可判断选项A，B；画出函数图象，利用数形结合求解函数的零点问题即可判断C、D. 【详解】函数的定义域为，则， 当或时，， 当时，， 所以在，上都单调递减，在上单调递增，故A不正确； 画出函数图象，如图所示，在上既没有最大值也没有最小值，故B正确； 当时，的图象在x轴上方，且在时，有极大值， 在上的图象在x轴下方， 显然是偶函数，， 在方程中，当或时，方程有两个不等实根， 当时，方程无实根， 当时，方程有4个不等的实根，故C正确； 令，即， 有3个不同的零点，等价于方程有3个不同的根， 设，则与图象需有3个不同的交点， 如图，当，即时，与的图象有3个不同的交点，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：求出函数的单调性，并画出函数图象，通过数形结合求解函数的零点问题是解题关键，考查数形结合思想，属于较难题, 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 五种不同商品在货架上排成一排，其中A，B两种必须连排，而C，D两种不能连排，则不同的排法共有________种． 【答案】 【解析】 【分析】根据捆绑和插入法，结合分步计数原理即可求解. 【详解】由题意，设五种商品编号分别为， 其中A，B两种必须连排，C，D两种不能连排， 将A，B两种看作一种商品与进行排列，共有（种）， 共形成个空，选择个空，将C，D插入，共有（种）， 则不同的排法共有：（种）, 故答案为: 13. 某校高二年级学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．某学生准备做一个体积为的圆柱形模型，当模型的表面积最小时，其底面半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】设圆柱模型的底面半径为，高为，由已知得，再表示出圆柱模型的表面积为，令，利用导函数分析出的单调性，由此可求得模型的表面积取最小值时的值. 【详解】设圆柱模型的底面半径为，高为，则圆柱模型的体积为，即， 所以圆柱模型的表面积为， 令，，则， 令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在取得最小值，即当圆柱模型的底面半径为时，模型的表面积最小， 故答案为：. 14. 设，函数，若恰有两个零点，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】分离参数，问题转化为直线与函数图象有两个交点，求导分析单调性，画出的图象，数形结合即可得到的取值范围. 【详解】∵，∴. 当时，由得，， 当时，由得，， 令，则直线与函数的图象有两个交点， 当时，，函数在上是减函数， 当时，， 由得，由得， ∴在上为减函数，在上为增函数，且当时，函数极小值为， 当时，，当时，，函数图象如图所示， 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，此时函数有两个零点， ∴实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键是分离参数，把问题转化为直线与函数图象交点个数问题，在画函数图象的过程中常借助导数分析单调性. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1）递减区间为，递增区间为和； （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，判断导函数大于0或小于0的x取值集合即可作答. （2）利用（1）的结论，借助单调性即可求解的最大值和最小值. 【小问1详解】 函数定义域为R，， 当或时，，当时，，即在，上递增，在上递减， 所以的递减区间为，递增区间为和. 【小问2详解】 由（1）知，在上单调递增，在上单调递减, 因此，在区间上的最大值为，而，，即有， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 16. 已知函数. （1）求在处的切线方程； （2）试判断在区间上有没有零点？若有则判断零点的个数. 【答案】（1）；（2）有2个. 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用导数的几何意义求切线方程．（2）利用导数求出函数的极大值和极小值，判断极值与0的关系明确零点个数． 试题解析： （1）由已知得，有， ∴在处的切线方程为：，化简得 （2）由（1）知， 因为，令，得 所以当时，有，则是函数的单调递减区间； 当时，有，则是函数的单调递增区间． 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 又因为，， 所以在区间上有两个零点． 17. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性． 【答案】（1）函数的极小值为，无极大值 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先利用导数求时的解，利用极值的概念进行判断及计算； （2）求出，对分类讨论，解不等式即可得到的单调性与极值点． 【小问1详解】 当时，，定义域为 ， 令，即， （舍去）， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，函数取到极小值为,无极大值. 【小问2详解】 的定义域为， ． ①当时， 当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． ②当时，令，得或． （i）当时，． 当时，，当时，． 所以在和上单调递增，在上单调递减． （ii）当时，对恒成立， 所以在上单调递增． （iii）当时，， 当时，；当时，． 所以在和上单调递增，在上单调递减， 综上：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，所以在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． 【点睛】解题的关键点是掌握导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减． 18. 已知为实数，函数. （1）若是函数的一个极值点，求实数的取值； （2）设，若，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1);(2)实数的取值范围为. 【解析】 【详解】试题分析：（1）求出函数f（x）定义域，函数的导函数f′（x），假设存在实数a，使f（x）在x=3处取极值，则f′（3）=0，求出a，验证推出结果． （2）由f （x0）≤g（x0）得：（x0﹣lnx0）a≥x02﹣2x0，记F（x）=x﹣lnx（x＞0），求出F′（x），推出F（x）≥F（1）=1＞0，转化a≥，记G（x）=，x∈[，e]求出导函数，求出最大值，列出不等式求解即可． 解析：（1）函数定义域为， . ∵是函数的一个极值点，∴，解得. 经检验时，是函数的一个极小值点，符合题意， ∴. （2）由，得， 记， ∴， ∴当时，，单调递减； 当时，，单调递增. ∴， ∴，记， ∴. ∵，∴， ∴， ∴时，，单调递减； 时，，单调递增， ∴， ∴. 故实数的取值范围为. 点睛：本题考查函数的动手的综合应用，函数的最值的求法，极值的求法，用到了变量集中的方法. 19. 已知函数． （1）若在区间上单调递增，试求的取值范围； （2）若，求证：当时，； （3）求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）依题意在区间上恒成立，参变分离可得在区间上恒成立，利用导数求出，即可得解； （2）利用导数说明函数的单调性，即可得证； （3）由（2）可得，，从而得到，在利用对数的运算性质及裂项相消法计算可得. 【小问1详解】 因为，所以， 依题意在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 设，则， 故当时，即在上单调递减； 当时，即在单调递增； 所以， 故，解得，即的取值范围为． 【小问2详解】 当时，则． 令，，则， 所以（即）在上单调递增，所以 所以在上单调递增，故． 小问3详解】 由（2）知对于，有， 取为有，则，， 取，从而有， 于是 ， ． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省太湖高中高二年级3月测试 高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知函数，则（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 2. 设f(x)是可导函数，且，则（ ） A. 2 B. C. -1 D. -2 3. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 和 4. 已知点P是曲线上任意的一点，则点P到直线的距离的最小值是（ ） A. B. C. D. 5. 用0．1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A. 24个 B. 26个 C. 30个 D. 42个 6. 已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若对于任意，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是函数导函数，且对任意实数都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.全部选对得满分，部分选对得部分分，选错不得分. 9. 定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在区间单调递增 B. 函数在区间单调递减 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 10. 若函数在定义域上单调递增，则称函数具有“Z魔力”，下列函数中具有“Z魔力”的是（ ） A B. C. D. 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减，在上单调递增 B. 既没有最大值也没有最小值 C. 若方程有4个不等的实数根，则 D. 设有3个不同零点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 五种不同商品在货架上排成一排，其中A，B两种必须连排，而C，D两种不能连排，则不同的排法共有________种． 13. 某校高二年级学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．某学生准备做一个体积为的圆柱形模型，当模型的表面积最小时，其底面半径为________． 14. 设，函数，若恰有两个零点，则的取值范围是______ 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值． 16. 已知函数. （1）求在处的切线方程； （2）试判断在区间上有没有零点？若有则判断零点的个数. 17. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性． 18. 已知为实数，函数. （1）若是函数的一个极值点，求实数的取值； （2）设，若，使得成立，求实数的取值范围. 19 已知函数． （1）若在区间上单调递增，试求的取值范围； （2）若，求证：当时，； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$