精品解析：湖南省长沙市开福区长青竹湖湘一外国语学校2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年青竹湖湘一八年级（上）期末数学（问卷） 时间：120分钟 总分：120分 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示﹣2的相反数的点是（　　） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 2. 火纹是一种常见的装饰图案，多用于建筑、家具设计等．下列火纹图案中，可以看成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 华为手机使用了自主研发的海思麒麟芯片，目前最新的型号是麒麟，芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求是体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗，而麒麟的晶体管栅极的宽度达到了毫米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，与交于点，，，则度数是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算结果为是（ ） A. B. C. D. 7. 已知△ABC,两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB,AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ）. A. ∠A的平分线上 B. AC边的高上 C. BC边的垂直平分线上 D. AB边的中线上 8. 如图，数轴上的点表示的数是0，点表示的数是，，垂足为，且，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 9. 古书中有一个“隔沟计算”的问题，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊一样多．”设甲有羊只，乙有羊只，那么符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 10. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以的三条边为边长向外作正方形、正方形、正方形，连接．若，，则的长为（ ） A B. 8 C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 分解因式：_____． 12. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 13. 如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的内角和为_______度． 14. 已知是关于的方程的解，则的值为_____． 15. 如图，，，于点，则的长为_____． 16. 如图，顶点，，在边长为1的正方形网格的格点上，则边上的高是________． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23题每题9分，24、25题每题10分，共72分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，点E，F是线段AB上的两个点，CE与DF交于点M．已知AF＝BE，AC＝BD，∠A＝∠B． （1）求证：△ACE≌△BDF； （2）若∠FME＝60°，求证：△MFE是等边三角形． 20. 某学校在本校开展了四项“课后服务”项目（项目．足球；项目．篮球；项目．跳绳；项目．书法），要求每名学生必须选修且只能选修其中一项，为了解学生的选修情况，学校决定进行抽样调查，请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次问卷调查中，一共调查了_________名学生，请将条形统计图补充完整． （2）扇形统计图中___________，所对的圆心角的度数为____________． （3）学校拟对选修项目．书法的同学进行培训，若该校有2000名学生，请通过计算估计该校需要培训的学生人数． 21. 如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村庄为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A、B、H在同一直线上），并新建一条路，测得千米，千米，千米． （1）是不是从村庄到河边的最近路？请通过计算加以说明； （2）求新路比原路短多少千米？ 22. 某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为4800米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前20天完成铺设任务． （1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ （2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过36万元．该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 23. 如图，点在线段上，，，，平分． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的周长； （3）若，，，求的面积． 24. 【材料1】如果一个自然数是某一个整数的平方，即，那么这个自然数叫做完全平方数．例如0，1，4，9，16，25，36，…，都是完全平方数，其部分性质如下： ①完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9． ②任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1，即被4除余2或3的数一定不是完全平方数． ③完全平方数的个位数字是奇数时，其十位上的数字必为偶数．完全平方数的个位数字是6时，其十位数字必为奇数．… 【材料2】平方差公式：． （1）根据以上材料，判断下列这些数是否为完全平方数（填“是”或“否”） ①121（ ）；②（ ）；③1256341386（ ） （2）已知，求证：是完全平方数； （3）已知自然数使得为完全平方数，求的值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点第一象限内一点，且a、b满足等式． （1）求点的坐标； （2）如图1，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿轴的正半轴方向运动，同时动点以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿轴的正半轴方向运动，设运动的时间为秒．当是以为斜边的等腰直角三角形时，求的值； （3）在第（2）问中的点、运动条件下，当为直角三角形时，作的平分线（参考图2）设的长为m，的面积为，请直接写出用含的式子表示． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年青竹湖湘一八年级（上）期末数学（问卷） 时间：120分钟 总分：120分 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示﹣2的相反数的点是（　　） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】D 【解析】 【分析】根据相反数的定义直接求得结果． 【详解】解：数轴上表示−2的相反数的点是2，即D点． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了数轴上的点和相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0． 2. 火纹是一种常见的装饰图案，多用于建筑、家具设计等．下列火纹图案中，可以看成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形识别，理解轴对称图形的定义是解题关键．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 不是轴对称图形，不符合题意； B. 是轴对称图形，符合题意； C. 不是轴对称图形，不符合题意； D. 不是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 3. 华为手机使用了自主研发的海思麒麟芯片，目前最新的型号是麒麟，芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求是体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗，而麒麟的晶体管栅极的宽度达到了毫米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左起第一个不为的数字前面的的个数所决定；解题时只要明确用科学记数法可以表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左起第一个不为的数字前面的的个数所决定即可． 【详解】解：对于来说前面有个， ； 故选：B 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查积的乘方和幂的乘方，合并同类项，完全平方公式以及同底数幂的乘法，根据相关运算法则计算出各选项的结果再进行判断即可 【详解】解：A. ，计算正确，符合题意； B. ，原选项计算错误，不符合题意； C. ，原选项计算错误，不符合题意； D. ，原选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 5. 如图，已知，与交于点，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，根据两直线平行，内错角相等可得，根据垂直的定义可得，然后根据平角等于列式计算即可得解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 6. 下列计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加、减、乘、除运算，根据选项化简得到的结果即可作答． 【详解】A、原式，不符合题意； B、原式，不符合题意； C、原式，符合题意； D、原式，不符合题意． 故选：C． 7. 已知△ABC,两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB,AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ）. A. ∠A的平分线上 B. AC边的高上 C. BC边的垂直平分线上 D. AB边的中线上 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线的判定推出M在∠BAC的角平分线上，即可得到答案． 【详解】如图， ∵ME⊥AB，MF⊥AC，ME=MF， ∴M在∠BAC的角平分线上， 故选：A． 【点睛】本题主要考查对角平分线的判定定理的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题的关键． 8. 如图，数轴上的点表示的数是0，点表示的数是，，垂足为，且，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴、勾股定理，由勾股定理可得，再求出，结合数轴即可得解． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴点表示的数为， 故选：C． 9. 古书中有一个“隔沟计算”的问题，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊一样多．”设甲有羊只，乙有羊只，那么符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，设甲有羊只，乙有羊只，根据题意列出二元一次方程组即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设甲有羊只，乙有羊只， 由题意可得：， 故选：D． 10. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以的三条边为边长向外作正方形、正方形、正方形，连接．若，，则的长为（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，先求出，，作交的延长线于，得出，，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴（负值舍去，不符合题意）， ∵， ∴， ∴（负值舍去，不符合题意）， 如图：作交的延长线于， 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查二次根式和分式有意义条件，解题的关键是正确理解二次根式和分式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分母不为零，即可求出的取值范围． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ， 解得：且． 故答案为：且． 13. 如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的内角和为_______度． 【答案】720 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理和内角和定理，根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数，再求内角和度数即可． 【详解】解：多边形的边数是：， ∴这个多边形的边数是6． ∴这个多边形的内角和为 故答案为：720． 14. 已知是关于的方程的解，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查方程的解的概念，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 根据方程的解的概念可将解代入方程，得到等式关系，可解出k． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故答案为：． 15. 如图，，，于点，则的长为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外角性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 根据可得，求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：3． 16. 如图，的顶点，，在边长为1的正方形网格的格点上，则边上的高是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，三角形面积计算．利用等积法求解是解题关键．由图可知，且其边上的高为，即可求出．由勾股定理可求出，设边上的高为x，结合三角形面积公式可列出关于x的方程，解出x的值即可． 【详解】解：由图可知，且其边上的高为， ∴． 由图可知， 设边上的高为x， ∴， ∴， 解得：， ∴边上的高是． 故答案为：． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23题每题9分，24、25题每题10分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂和负整数指数幂是解决问题的关键． 【详解】解： 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，3 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，关键是掌握平方差公式，完全平方公式． 先利用平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式对式子进行化简，再将，代入即可求解． 【详解】解： ， 当时， 原式． 19. 如图，点E，F是线段AB上的两个点，CE与DF交于点M．已知AF＝BE，AC＝BD，∠A＝∠B． （1）求证：△ACE≌△BDF； （2）若∠FME＝60°，求证：△MFE是等边三角形． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【解析】 【分析】（1）证得AE＝BF．根据SAS可得结论； （2）由△ACE≌△BDF，可得∠CEA＝∠DFB，则结论得证． 【详解】（1）∵AF＝BE， ∴AF＋EF＝BE＋EF， 即AE＝BF． ∵AC＝BD，∠A＝∠B， ∴△ACE≌△BDF（SAS）． （2）∵△ACE≌△BDF， ∴∠CEA＝∠DFB， ∴ME＝MF， ∵∠FME＝60°， ∴△MFE是等边三角形． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质和等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 20. 某学校在本校开展了四项“课后服务”项目（项目．足球；项目．篮球；项目．跳绳；项目．书法），要求每名学生必须选修且只能选修其中一项，为了解学生的选修情况，学校决定进行抽样调查，请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次问卷调查中，一共调查了_________名学生，请将条形统计图补充完整． （2）扇形统计图中___________，所对的圆心角的度数为____________． （3）学校拟对选修项目．书法的同学进行培训，若该校有2000名学生，请通过计算估计该校需要培训的学生人数． 【答案】（1）500 （2）20， （3）估计该校需要培训的学生人数有200名 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）根据项目的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，用总人数减去其它项目的人数，求出选项的人数，从而补全统计图； （2）用项目C对应的人数除以总人数计算即可得出a，再用乘以所占的百分比即可得出答案； （3）用全校的总人数乘以选修项目．书法的人数所占的百分比即可． 【小问1详解】 本次调查的学生共有：名， 故答案为：500； 项目的人数有：名， 补全统计图如下： 【小问2详解】 在扇形统计图中，所对应的扇形的圆心角的度数是：； 故答案为：20，； 【小问3详解】 根据题意得：名， 答：估计该校需要培训的学生人数有200名． 21. 如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村庄为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A、B、H在同一直线上），并新建一条路，测得千米，千米，千米． （1）是不是从村庄到河边的最近路？请通过计算加以说明； （2）求新路比原路短多少千米？ 【答案】（1）是村庄到河边的最近路，见解析 （2）千米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，点到直线的距离垂线段最短，熟知勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）先利用勾股定理的逆定理得到是以为直角的直角三角形，再根据点到直线的距离垂线段最短求解即可； （2）设，则，然后在中利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵在中，， ， ∴是以为直角的直角三角形， ∴， ∵点到直线垂线段的长度最短， ∴是村庄到河边的最近路； 【小问2详解】 解：设， 千米， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 千米， ∴比短千米． 22. 某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为4800米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前20天完成铺设任务． （1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ （2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过36万元．该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 【答案】（1）原计划与实际每天铺设管道各为40米，48米 （2）该公司原计划最多应安排10名工人施工 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）设原计划每天铺设管道米，则实际施工每天铺设管道，根据原计划的时间实际的时间，列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）设该公司原计划应安排名工人施工，根据工作时间工作总量工作效率计算出原计划的工作天数，进而表示出所有工人的工作总额，由所有工人的工资总金额不超过36万元列出不等式，求出不等式的解集，找出解集中的最大整数解即可． 【小问1详解】 解：设原计划每天铺设管道米，则实际施工每天铺设管道米， 根据题意得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意， ， 则原计划与实际每天铺设管道各为40米，48米； 【小问2详解】 解：设该公司原计划应安排名工人施工，（天）， 根据题意得：， 解得：， ∴不等式的最大整数解为10， 则该公司原计划最多应安排10名工人施工． 23. 如图，点在线段上，，，，平分． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的周长； （3）若，，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）36 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）根据，可以得到，然后根据即可证明结论成立； （2）证明，得出，从而可得绪论； （3）过点C作于点G，求出，运用三角形面积公式可得绪论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：由（1）知， 又∵平分， ∴， ∴垂直平分， ∵，， ∴， ∴ ∴ ∴的周长； 【小问3详解】 解：过点C作于点G，如图， ∵， ∴， ∴ 设 ∵ ∴， ∴ ∴， ∴，即， ∴． 24. 【材料1】如果一个自然数是某一个整数的平方，即，那么这个自然数叫做完全平方数．例如0，1，4，9，16，25，36，…，都是完全平方数，其部分性质如下： ①完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9． ②任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1，即被4除余2或3的数一定不是完全平方数． ③完全平方数的个位数字是奇数时，其十位上的数字必为偶数．完全平方数的个位数字是6时，其十位数字必为奇数．… 材料2】平方差公式：． （1）根据以上材料，判断下列这些数是否为完全平方数（填“是”或“否”） ①121（ ）；②（ ）；③1256341386（ ） （2）已知，求证：是完全平方数； （3）已知自然数使得为完全平方数，求的值． 【答案】（1）是，否，否 （2）见详解 （3）38或14或10 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，完全平方公式，因式分解和完全平方数的知识，难度较大，本题的难点在于将原来的式子分解成两个因式的积的形式，从而根据整除的知识解出答案． （1）根据“完全平方数”的定义判断即可． （2）设，则，将化为即可证明． （3）设，则，即，根据是自然数，且，得出或或，求解即可． 【小问1详解】 解：①，故121是完全平方数； ②，不是整数，故不是完全平方数； ③1256341386个位数字是6，被4除余2，故不是完全平方数． 故答案为：是，否，否． 【小问2详解】 证明：设，则， ， 是一个完全平方数． 【小问3详解】 解：设，则， 即， ∵是自然数，且， 或或， 解得：或或， ∴或14或10， 故答案为：38或14或10． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点是第一象限内一点，且a、b满足等式． （1）求点的坐标； （2）如图1，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿轴的正半轴方向运动，同时动点以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿轴的正半轴方向运动，设运动的时间为秒．当是以为斜边的等腰直角三角形时，求的值； （3）在第（2）问中的点、运动条件下，当为直角三角形时，作的平分线（参考图2）设的长为m，的面积为，请直接写出用含的式子表示． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据非负性得出的值，进而解答即可； （2）过作轴于，根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可； （3）过点作，交延长线于延长线交的延长线于点．根据全等三角形的判定和性质解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图1中，过作轴于． ， ， 由题意得， ∵是以斜边的等腰直角三角形， ，， ， ∵轴， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ∴当时，是以为斜边的等腰直角三角形； 小问3详解】 解：过点作，交延长线于延长线交的延长线于点． ， ， ， 在和中 ， ， ， 在和中 ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形综合，二次根式的非负性，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$