精品解析：吉林省四平市第三高级中学2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期末考试高三试题 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、复数、数列、立体几何、直线和圆、圆锥曲线. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，若，则（ ） A. B. 6 C. 5 D. 3. 在等差数列中，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，都是单位向量，若，则向量，的夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切于点，则光线从点到点所经过的路程的长度为（ ） A. B. C. D. 3 7. 已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A. 64 B. 25 C. 13 D. 12 8. 已知双曲线的上、下焦点分别为、，是的上支上的一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数为偶函数 B. C. D. 函数的图象的对称轴方程为 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象经过坐标原点 B. 当时，函数有且仅有一个极小值点 C. 若关于的不等式恒成立，则 D. “”是“函数为增函数”的必要不充分条件 11. 如图，在三棱锥中，，，二面角的大小为，则下列说法正确的是（ ） A. 直线AB与CD为异面直线 B. C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则的值为__________. 13. 已知抛物线：的焦点为，过点且斜率为2的直线与抛物线交于，两点（点在轴的上方），则______． 14. 已知函数，过点可作2条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在前项和为的等比数列中，，，. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 16. 在中，角，，的对边分别为，，，，， 且的面积为. (1)求； (2)求的周长 . 17. 如图，在四棱柱中，底面，，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小. 18. 设为坐标原点，动点在椭圆上，该椭圆的左顶点到直线的距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若线段平行于轴，满足，动点在直线上，满足.证明：过点且垂直于的直线过椭圆的右焦点. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调区间； （2）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期末考试高三试题 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、复数、数列、立体几何、直线和圆、圆锥曲线. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的四则运算可化简所求复数. 【详解】. 故选：C. 2. 已知集合，，若，则（ ） A. B. 6 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】若，则，代入集合可得答案. 【详解】若，则，即， 解得，此时， 满足，故. 故选：D. 3. 在等差数列中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，结合已知条件可求得的值. 【详解】设等差数列的公差为，则 ，故. 故选：B. 4. 已知向量，都是单位向量，若，则向量，的夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据结合题意整理得，代入公式运算 【详解】向量，都是单位向量，则， ，即， ， 又因为，所以， 故选：B 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性可排除两个选项，再利用特殊点可确定正确选项. 【详解】因为，定义域为， 所以是偶函数，故图象关于轴对称，故选项C、D错误； 又因为，故B 错误； 故选：A. 6. 一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切于点，则光线从点到点所经过的路程的长度为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设点关于x轴的对称点为，然后利用圆的性质可求即可. 【详解】∵圆， ∴圆心，半径为1， 设点关于x轴的对称点为，则， ∴， 所以光线从P点到Q点所经过的路程的长度为. 故选：B. 7. 已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A. 64 B. 25 C. 13 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】将不等式变形为，利用基本不等式即可得出答案． 【详解】，，则， 不等式 恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数m的最大值为. 故选：B. 8. 已知双曲线的上、下焦点分别为、，是的上支上的一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用切线长定理，结合双曲线的对称性可得，再建立不等关系求出离心率的范围. 【详解】设该内切圆在、上的切点分别为、， 由切线长定理可得，，， 又，，则， 即，解得， 由，即，得，所以． 故选：A. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法： ①定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率； ②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解； ③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数为偶函数 B. C. D. 函数的图象的对称轴方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】整理可得，根据平移整理得，结合余弦函数得对称轴求解． 【详解】对于A，由已知得， 由，得为偶函数，故A正确； 对于B，C，可得，故C正确； 对于D，令，，可得，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象经过坐标原点 B. 当时，函数有且仅有一个极小值点 C. 若关于的不等式恒成立，则 D. “”是“函数为增函数”的必要不充分条件 【答案】AB 【解析】 【分析】直接计算可判定A项，利用导数研究函数的极值、最值可判定B项，利用函数的性质与零点可判定C项，利用导数研究函数的单调性结合充分、必要条件的定义可判定D项. 【详解】由可知选项正确； 由， 令， 易知时，，时，， 即在上单调递减，在上单调递增，， 又时，，且， 所以当时，方程有唯一根， 由单调性可知上，上，故选项正确； 由或， 又与均单调递增，且两函数零点分别为， 所以要满足恒成立，需，可知选项错误； 若函数为增函数，有，可得， 令，由上可知，可得， 又由，可知“”是“函数为增函数”的充分不必要条件， 可知D选项错误. 故选：AB. 11. 如图，在三棱锥中，，，二面角的大小为，则下列说法正确的是（ ） A. 直线AB与CD为异面直线 B. C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据异面直线、余弦定理、锥体体积、二面角、几何体外接球等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由异面直线的定义知A选项正确； 在中，，可知B选项正确； 如图，取BC的中点E，在AE上取点，使得， 取BD的中点G，并延长CG到点，使得， ，，可知C选项错误； 记O为三棱锥的外接球的球心，连接，，， 并延长，相交于点F. 由，可知为等边三角形， 又由，可知为的外心. 由，，，可得， 又由，可得，都为等边三角形， 可得，可得为的外心. 可得，， 可知为二面角的平面角，可得. 由，可得，，， 在中，，， 可得，， 由，在中， 可得， 在中，， 可得三棱锥的外接球的表面积为，可知D选项正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则的值为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据正弦以及角的范围，先求出余弦，得到正切，再根据两角和的正切公式，即可求出结果. 【详解】因为，，所以，则， 所以. 故答案为：3 13. 已知抛物线：的焦点为，过点且斜率为2的直线与抛物线交于，两点（点在轴的上方），则______． 【答案】 【解析】 【分析】求出直线AB的方程及点A，B的横坐标，再利用抛物线定义计算作答. 【详解】抛物线：的焦点为，准线方程为：， 直线AB的方程为：，由消去y并整理得：，解得，， 依题意，点A的横坐标，点B的横坐标， 由抛物线定义得：. 故答案为： 14. 已知函数，过点可作2条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】求出切线方程为，代入点的坐标化简可得，设，依题意，直线与的图象有两个交点，利用导数研究函数的性质，进而作出草图，结合图象即可得解． 【详解】，设切点为， 则切线方程为， 将点代入切线方程得，，化简得， 设，则， 令，解得，令，解得或， 在，上单调递减，在上单调递增，且， 作出函数的大致图象如下图所示， 由图象可知，要使直线与的图象有两个交点，则， 故答案为：． 【点睛】方法点睛：利用导数的几何意义，分别写出两曲线的切线方程，让两切线方程的系数相等，得到方程组，消去一个变量后，问题转化为方程的根的个数问题，构造函数，利用导数研究其性质，作出图象，数形结合求解即可． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在前项和为的等比数列中，，，. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据等比数列的通项公式，由，可以计算得出等比数列的公比或，分别再由得，验证，是否符合，得到，得出数列的通项公式. (2)根据，得出的通项公式，错位相减得出. 【小问1详解】 设数列的公比为， 由，得，所以，解得或， 若，则由，得，所以，与矛盾，所以， 若，则由，得，所以，，符合 ，所以，，所以. 故数列的通项公式为： 【小问2详解】 由， 两边乘以2得 ， 两式相减得：， 故数列的前项和. 16. 在中，角，，的对边分别为，，，，， 且的面积为. (1)求； (2)求的周长 . 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦，余弦定理对式子化简求解即可； （2）利用余弦定理以及三角形的面积，求解三角形的周长即可． 【详解】（1），由正弦定理可得：，即：，由余弦定理得. （2）∵，所以，，又，且 ，，的周长为 【点睛】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的面积公式，也考查计算能力，属于基础题. 17. 如图，在四棱柱中，底面，，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点，、、方向分别为、、轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法证明，，即可证明平面； （2）利用向量法即可求出平面与平面的夹角的大小. 【小问1详解】 在四棱柱中，底面，， 以为原点，、、方向分别为、、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则、、、、、， 所以，，，， 故，， 所以，，， 又因为，、平面，故平面. 【小问2详解】 由（1）知，平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，，， 则，令，则， ， 故平面与平面的夹角大小为. 18. 设为坐标原点，动点在椭圆上，该椭圆的左顶点到直线的距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若线段平行于轴，满足，动点在直线上，满足.证明：过点且垂直于的直线过椭圆的右焦点. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据点到直线的距离公式即可求出a的值，可得椭圆方程， （2）由题意设，根据可得，由，可得，再根据向量的运算可得，即可证明. 【小问1详解】 由题意：，， 椭圆的标准方程为：； 【小问2详解】 设，则，， 即，解，， ，， 即：，得， 即，因为直线的方程为：， 设过点且垂直于直线为， 直线的方程：，即 直线过定点，即直线恒过椭圆的右焦点. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调区间； （2）证明：. 【答案】（1） 当时，的单调增区间为，无单调减区间； 当时，的单调增区间为，单调减区间为. （2）证明:， 得，即，故只需证. 设，则， 令， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故. 设，则， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故. 所以，即，即证. 【解析】 【分析】（1）利用导数分类讨论、两种情况下的单调性即可； （2）将原不等式转化为，进而利用导数证明不等式即可求解. 【小问1详解】 , 当时，，所以在上单调递增； 当时，令， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，的单调增区间为，无单调减区间； 当时，的单调增区间为，单调减区间为. 【小问2详解】 略. 【点睛】关键点点睛：解决本题第二问的关键是将原不等式转化为，进而利用导数证明不等式即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $