精品解析：青海省西宁市第十四中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

西宁十四中2024-2025学年第一学期高二年级期末考试数学试题 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知直线过直线和的交点，且与直线垂直，则直线的方程为（　　） A. B. C. D. 2. 在等比数列中，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，为正方体，给出以下四个结论：①平面；②直线与BD所成的角为60°；③二面角的正切值是；④与底面ABCD所成角的正切值是；其中所有正确结论的序号为（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ①②④ D. ①② 5. 已知数列满足，，则数列前2025项积为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 6 6. 已知双曲线的左右焦点分别为，且，当点到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线和圆相交于两点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆C：（且），直线与椭圆C相交于A，B两点，若是线段的中点，则椭圆的焦距为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的前项和为，若，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. 中绝对值最小项为 D. 数列的前项和最大项为 10. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ） A. 的坐标为 B. C. D. 11. 已知圆，直线．则下列结论正确是（ ） A. 当时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 B. 对于任意实数m，直线l恒过定点（1，1） C. 若圆C与圆恰有三条公切线，则 D. 若动点D在圆C上，点，则线段中点M的轨迹方程为 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 若5是与的等差中项，3是与的等比中项，则__________. 13. 已知为圆上任意一点，，为直线上的两个动点，且，则面积的取值范围是_________. 14. 如图，在正四面体中，，分别为，的中点，则与的夹角的余弦值为______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，点分别为的中点. （1）证明：直线平面； （2）求点到平面的距离. 16. 已知圆的圆心在直线上，直线. （1）求的值； （2）求圆关于直线对称的圆的标准方程； （3）过（2）中的点作圆的切线，求直线的一般式方程. 17. 已知椭圆，为坐标原点，为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，且，其离心率为，过点的动直线与椭圆相交于，两点. (1)求椭圆标准方程； (2)当时，求直线的方程 18. 设等差数列前项和为，且，． （1）求数列的通项公式; （2）设数列满足 ，求的前项和. 19. 如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线． （1）证明：平面； （2）若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 西宁十四中2024-2025学年第一学期高二年级期末考试数学试题 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知直线过直线和的交点，且与直线垂直，则直线的方程为（　　） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】联立两直线方程求得交点，再由已知直线方程求出所求直线的斜率，代入直线方程的点斜式得答案． 【详解】联立，解得， ∴直线x﹣y+2＝0和2x+y+1＝0的交点为（﹣1，1）， 又直线l和直线x﹣3y+2＝0垂直， ∴直线l的斜率为﹣3． 则直线l的方程为y﹣1＝﹣3（x+1），即3x+y+2＝0． 故选：A． 2. 在等比数列中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的性质可求得结果. 【详解】在等比数列中，若，则， 由等比数列的性质可得，故. 故选：B. 3. 以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定双曲线的焦点和顶点，进而可得双曲线方程. 【详解】椭圆的长轴端点为， 椭圆焦点为， 即双曲线的焦点为，顶点为， 所以双曲线方程为. 故选：A. 4. 如图所示，为正方体，给出以下四个结论：①平面；②直线与BD所成的角为60°；③二面角的正切值是；④与底面ABCD所成角的正切值是；其中所有正确结论的序号为（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ①②④ D. ①② 【答案】D 【解析】 【分析】逐一分析选项，①根据线面垂直的判断定理证明；②根据,异面直线与BD所成的角是；③是二面角的平面角，直接求;④与底面ABCD所成角是. 【详解】①连接， ，， 平面， ， 同理：，， 平面，故①正确； ②,异面直线与BD所成的角是或其补角， 是等边三角形， ，故②正确； ③，连接，是二面角的平面角，,故③不正确； ④平面， 是与底面ABCD所成角， ,故③不正确. 故选：D 【点睛】本题考查几何体中的线线，线面位置关系的判断，意在考查空间想象能力，逻辑推理能力，属于基础题型. 5. 已知数列满足，，则数列前2025项的积为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】求出数列的一个周期为4，且，从而得到数列前2025项的积. 【详解】因为，所以，， ，，……， 故为一个周期为4的数列， 其中， 因为，所以数列前2025项的积为. 故选：A 6. 已知双曲线的左右焦点分别为，且，当点到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线写出渐近线和焦点坐标，利用点到线距离公式列方程可得，再由双曲线参数关系及离心率公式求结果. 【详解】由题设可得双曲线渐近线为，且， 所以，即，又，所以， 所以. 故选：D 7. 已知直线和圆相交于两点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离，再利用，化简求值，即可得到答案. 【详解】圆的圆心为，圆心到直线的距离公式为， 故 故选：C. 8. 已知椭圆C：（且），直线与椭圆C相交于A，B两点，若是线段的中点，则椭圆的焦距为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点差法求解中点弦问题求解即可. 【详解】设，，则， 将A，B坐标代入椭圆方程得：，， 两式相减，得：， 变形， 又直线的斜率为，所以，即， 因此椭圆的焦距为， 故选：B. 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的前项和为，若，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. 中绝对值最小的项为 D. 数列的前项和最大项为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题设可得，结合等差数列性质判断A、B、C；再由的正负分界点，判断最大项判断D. 【详解】由题意，可得， 所以，，，B正确，A错误； 设数列的公差为， 则，， 所以为递减数列，且，，即， 且当时，单调递减，当时，单调递增， 所以中绝对值最小的项为，故C对； 因为当时，，当时，，， 所以的前项为正，第项开始均为负， 故最大项为，D对. 故选：BCD 10. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ） A. 的坐标为 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义和标准方程，以及抛物线的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由抛物线，可得，所以，且焦点在y轴正半轴上， 则焦点，所以A错误； 由抛物线的定义,可得，解得，所以B正确； 由，可得，所以，则，所以C不正确； 由，所以D正确． 故选：BD． 11. 已知圆，直线．则下列结论正确的是（ ） A. 当时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 B. 对于任意实数m，直线l恒过定点（1，1） C. 若圆C与圆恰有三条公切线，则 D. 若动点D在圆C上，点，则线段中点M的轨迹方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，通过计算圆心到直线的距离进行分析即可，对于B，对直线方程变形求解即可，对于C，由两圆有3条公切线可得两圆相外切，从而可求出的值，对于D，设的中点为，则可得动点D的坐标为代入圆C方程中化简可得答案 【详解】对于A，圆的圆心为，半径，当时，直线，则圆心到直线的距离为，因为，所以圆C上只有两个点到直线l的距离等于1，所以A错误， 对于B，由，得，由于，所以，得，所以直线恒点，所以B正确， 对于C，因为圆C与圆恰有三条公切线，所以两圆相外切，由，得，所以，解得，所以C正确， 对于D，设的中点为，则可得动点D的坐标为，因为动点D在圆C上，所以，化简得，所以线段中点M的轨迹方程为，所以D正确， 故选：BCD 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 若5是与的等差中项，3是与的等比中项，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差中项和等比中项的定义列式计算即可. 详解】由已知，， 所以. 故答案为：. 13. 已知为圆上任意一点，，为直线上的两个动点，且，则面积的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】 底，高为点到直线的距离，所以只需求出点到直线的距离的范围即可. 【详解】解：圆心到直线的距离为，所以圆与直线相离， 则圆上一点到直线的距离的范围为， 又，所以的面积，即， 故答案为： 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆上的点到直线的距离，考查学生的转化能力，属于中档题. 14. 如图，在正四面体中，，分别为，的中点，则与的夹角的余弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正四面体的性质、向量的线性运算、向量的数量积运算即可得解. 【详解】解：设正四面体棱长为1， 设，，，则， ∵， ∴，，. ∵，分别为，的中点，，是等边三角形， ∴，，， ∴ ． ∴与的夹角的余弦值为． 故答案为：. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，点分别为的中点. （1）证明：直线平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，利用平行的传递性构建平行四边形，证得，则直线平面可证. （2）建立合适的空间直角坐标系，分别求得平面法向量，直线的方向向量，利用点到平面的距离公式计算即可. 【小问1详解】 证明：取中点， 点均为中点，， 又正方形中，， 四边形为平行四边形，， 又平面平面， 直线平面； 【小问2详解】 因为平面为正方形，且底面， 所以两两互相垂直， 所以分别以，，为轴建立空间直角坐标系， 则有 可得， 设平面的法向量为， 则有，即， 令，得， 所以点到平面的距离. 则点到平面的距离为. 16. 已知圆的圆心在直线上，直线. （1）求的值； （2）求圆关于直线对称的圆的标准方程； （3）过（2）中的点作圆的切线，求直线的一般式方程. 【答案】（1） （2）. （3）或. 【解析】 【分析】（1）根据圆的一般方程确定圆心，结合点在直线上，列方程解方程； （2）设，根据两点关于直线对称，列方程，解方程即可； （3）设点斜式方程，由直线与圆相切，根据点到直线的距离列方程，解方程. 【小问1详解】 由已知圆， 则圆心， 又圆心在直线上， 即，解得； 【小问2详解】 由（1）得圆，即， 即，半径， 设，则中点为，且， 所以由对称可知， 解得， 即， 所以圆； 【小问3详解】 根据题意可得直线的斜率存在， 则可设直线的方程为， 即， 则， 解得或， 故直线的方程为或， 即一般式方程为或. 17. 已知椭圆，为坐标原点，为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，且，其离心率为，过点的动直线与椭圆相交于，两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)当时，求直线的方程 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【分析】 （1）首先根据题意得到，再解方程组即可得到答案. （2）首先设出直线方程，与椭圆联立，利用根系关系和弦长公式即可得到方程，再解方程即可得到答案. 【详解】（1）由题意知 解得，. 所以椭圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，，不符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立，得， 其判别式. 设点，坐标分别为，，则，. 所以， 整理得，解得或， 所以或. 综上，直线的方程为或. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与椭圆的弦长问题，本题中将直线方程代入椭圆的标准方程，再利根系关系和弦长公式得到所求的等量关系为解题的关键，考查学生的计算能力，属于中档题. 18. 设等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式; （2）设数列满足 ，求的前项和. 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，由基本量法列方程组解得，得通项公式； （2）求出通项公式，用错位相减法求和． 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为. 由，得， 解得， 所以； 【小问2详解】 由可得 当时，， 当时， 所以，， 又， 两式相减得 所以 19. 如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线． （1）证明：平面； （2）若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明是平行四边形，再结合圆柱的性质得到平面； （2）利用等积转换知识结合圆柱的性质先找到体积最大值时的相对位置，再找出 二面角的平面角或利用空间向量求得二面角的大小. 【小问1详解】 证明：如图，连接，由题意知为的直径，所以．因为是圆柱的母线， 所以且，所以四边形是平行四边形． 所以，所以．因为是圆柱的母线，所以平面， 又因为平面，所以．又因为， 平面，所以平面． 【小问2详解】 由（1）知是三棱锥底面上的高，由（1）知 ，所以，即底面三角形直角三 角形．设，则 在中有：， 所以， 当且仅当时等号成立，即点E，F分别是，的中点时，三棱 锥的体积最大， （另解：等积转化法： 易得当F与距离最远时取到最大值，此时E、F分别为、中点） 下面求二面角的正弦值： 法一：由（1）得平面，因为平面，所以． 又因为，所以平面． 因为平面，所以，所以是二面角的平面角， 由（1）知为直角三角形，则． 故，所以二面角的正弦值为． 法二：由（1）知两两相互垂直， 如图，以点E为原点，所在直线 为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则． 由（1）知平面，故平面的法向量可取为． 设平面的法向量为， 由， 得，即，即，取，得． 设二面角的平面角为， ， 所以二面角的正弦值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$