广东省广州市荔湾区协和学校2024-2025学年九年级上学期期中测试数学试题

广州协和学校2024学年第一学期期中考试 初三年级数学科试题 2024年11月 说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为120分，考试时间为120分钟． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，共30分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．下列图案，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A既不是轴对称图形，又不是中心对称图形， B既是轴对称图形，又是中心对称图形， C不是轴对称图形， D是轴对称图形，不是中心对称图形． 2．已知为关于的一元二次方程的根，则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：为关于的一元二次方程的根， ， ． 3．在同一平面内，已知的半径为，，则点与的位置关系是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定 【答案】A 【解析】解：， 根据点到圆心的距离大于圆的半径，则该点在圆外． 4．要得到抛物线，可以将抛物线（    ） A．向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度 B．向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度 C．向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度 D．向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 【答案】C 【解析】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， 平移的方法可以是向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度． 5．如图，在中，弦，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， （两直线平行，内错角相等） 又， （同圆所对圆周角是圆心角的一半）． 6．用配方法解方程，下列配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解： 方程两边同时加上一次项系数一半的平方， 得到 配方得． 7．如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在直线上，则旋转角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由旋转的性质可知：，是旋转角， ， ， ． 8．若，，为二次函数的图象上的三点,则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，为二次函数的图象上的三点， ，，， ， ． 9．如图，在平面直角坐标系中，绕旋转中心顺时针旋转后得到，则其旋转中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】绕旋转中心顺时针旋转后得到， 、的对应点分别是、． 又线段的垂直平分线为，线段是一个边长为的正方形的对角线，其垂直平分线是另一条对角线所在的直线，由图形可知，线段与的垂直平分线的交点为． 10．关于的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解析】解：当一元二次方程有两个相等的实数根，且在的范围内时，则， 解得：， 此时， ， 解得：， ； 当一元二次方程有两个不相等的实数根，且在的范围内时， 或， 解不等式组得该不等式组无解； 解不等式组得：， 综上，的取值范围为：或． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11．点关于原点对称的点的坐标是 ． 【答案】 【解析】两点关于原点对称，则两个点的横纵坐标都互为相反数， 点关于原点对称的点的坐标是． 12．某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒元，设该药品平均每次降价的百分率的，则列方程 【答案】 【解析】解：第一次降价后的价格为， 第二次降价后的价格为， 列的方程为． 13．飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行时间（单位：）的函数解析式是．在飞机着陆滑行中，飞机从开始滑行到停止所需时间为 秒． 【答案】 【解析】解：， 当时，滑行的距离，此时飞机滑行停止， 飞机从开始滑行到停止所需时间为． 14．如图，为的直径，弦于点，若，，则的长度为 ．    【答案】 【解析】连接，      中，，； 由勾股定理，得：； 即线段的长为． 15．等腰三角形的一边为，另两边恰好是关于的一元二次方程的两根，则的值是 ． 【答案】 【解析】解：设的两个根分别为，， ，， 等腰三角形的一边长为，另两边的长是关于的方程的两根， ，或， 当，时，三边为，，，满足三角形的三边关系，此时； 当时，三边为，，，不满足三角形的三边关系，舍去； ． 16．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点下方），且．当的值最小时，点的坐标为 ．      【答案】 【解析】解：， 对称轴为， 如图，设抛物线与轴另一个交点为，    当时，， ， 当时，， 解得，， ，， 在轴上取点，连接，，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 抛物线对称轴为， ， ， 当、、三点共线时，最小， 设直线解析式为， ， 解得， ， 当时，， 当最小时，的坐标为． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17．（本题满分6分）解方程：（1）； （2） 【答案】（1），（2）， 【解析】解：（1） ， ， （2） ， ， 18．（本题满分4分）已知：如图，将绕点顺时针旋转得到，点对应点恰在的延长线上，若．求证：为等边三角形． 【答案】证明见解析 【解析】解：由旋转的性质可知，． ， ， ，即， ， ， 为等边三角形． 19．（本题满分7分）已知抛物线经过点和点． （1）求抛物线的解析式；（2）抛物线与轴的交点是，；求的面积． 【答案】（1）（2） 【解析】（1）解：把点和点代入得 解得， 所以抛物线的解析式为：． （2）把代入， 得， 解得，， 点在点的左边， 点，点． 连接、， 由题意得，， ． 20．（本题满分7分）如图所示的平面直角坐标系与网格纸，其中网格纸每一格小正方形的边长都是坐标系的单位长度，的顶点坐标为，，． （1）画出关于原点成中心对称的图形； （2）画出绕点逆时针旋转后的； （3）直接写出点的坐标为______；点的坐标为______． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）， 【解析】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：如图所示：即为所求； （3）解：由图可知：点的坐标为；点的坐标为． 21．（本题满分7分）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根、，且，求的值． 【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】（1）证明：关于的一元二次方程为， ， 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：关于的一元二次方程有两个实数根、， ，， ， ， 解得． 22．（本题满分7分）如图，是的直径，点，是上的点，且，分别与，相交于点，．    （1）求证：点为弧的中点； （2）若，，求的直径． 【答案】（1）见解析（2） 【解析】（1）证明：是的直径， ， ， ， ， ， 点为的中点； （2）解：，， ， 在中，， ， ， ， 的直径为． 23．（本题满分10分）如图，用一块长为、宽为的长方形铁片制作一个无盖的盒子，若在铁片的四个角截去四个相同的小正方形，设小正方形的边长为． （1）底面的长 　 ，宽 　 （用含的代数式表示） （2）当做成盒子的底面积为时，求该盒子的容积． （3）该盒子的侧面积是否存在最大的情况？若存在，求出的值及最大值是多少？若不存在，说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）当时，有最大值，最大值为． 【解析】（1）用一块为、宽为的长方形铁片制作一个无盖的盒子，在铁片的四个角截去四个相同的小正方形， 设小正方形的边长为， 底面的长，宽， （2）依题意，得：整理，得： 解得：，（不符合题意，舍去） 当时，盒子容积； （3）盒子的侧面积为： ， ， 当时，有最大值，最大值为． 24．（本题满分12分）如图，已知抛物线的顶点为，且通过点． （1）求顶点的坐标； （2）点为直线上方抛物线上一动点，求面积的最大值； （3）在抛物线上存在一点，使得，求点坐标． 【答案】（1）（2）（3）或 【解析】（1）抛物线的顶点为，且通过点， ， 解得：， 抛物线为：， 顶点． （2），， 设直线的解析式为：， ， 解得：， 直线的解析式为：， 当直线向上平移，与抛物线仅一个公共点时，面积有最大值，且平移的解析式为， ， 整理得：， ∴， 解得：， 平移直线的解析式为：， ， 解得：， 点， 设直线与轴的交点为点， ， ， ． （3）过点作交于点，过点作轴，分别过点，作于点，于点， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点， 设直线的解析式为：， ， 解得：， 直线的解析式为：， 点在直线上， 直线的解析式为：， 联立抛物线， ， 解得：（舍去），， 点； 延长交于点，过点作交于点，且轴 ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点 设直线的解析式为：， ， 解得：， 直线的解析式为：， 点在直线上 直线的解析式为：， 联立抛物线， ， 解得：（舍去），， 点； 综上所述，点或． 25．（本题满分12分）在中，，． （1）如图，点在边上，且．求的值； （2）如图，点在的外部，且．求证：； （3）若是平面内一点，且，，求的值． 【答案】（1）（2）证明见解析（3）或 【解析】（1）解：，， ， ， ， ，， ， ，， ， ； （2）如图2，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，过点作于， ，， ， ， ，，， ， ， ， 又，， ， ，， 设， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图，当点在内时，将绕点顺时针旋转，得到，连接， ，， ，， ， 将绕点顺时针旋转，得到， ，，，，， ，， ，， ，， ， ； 如图，当点在外时，将绕点顺时针旋转，得到，连接， ，， ，， ， 将绕点顺时针旋转，得到， ，，，，， ，， ，， ， ， ， 综上所述：或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广州协和学校2024学年第一学期期中考试 初三年级数学科试题 2024年11月 说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为120分，考试时间为120分钟． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，共30分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．下列图案，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．已知为关于的一元二次方程的根，则值为（    ） A． B． C． D． 3．在同一平面内，已知的半径为，，则点与的位置关系是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定 4．要得到抛物线，可以将抛物线（    ） A．向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度 B．向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度 C．向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度 D．向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 5．如图，在中，弦，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．用配方法解方程，下列配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在直线上，则旋转角的度数为（    ） A． B． C． D． 8．若，，为二次函数的图象上的三点,则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，绕旋转中心顺时针旋转后得到，则其旋转中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 10．关于的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11．点关于原点对称的点的坐标是 ． 12．某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒元，设该药品平均每次降价的百分率的，则列方程 13．飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行时间（单位：）的函数解析式是．在飞机着陆滑行中，飞机从开始滑行到停止所需时间为 秒． 14．如图，为的直径，弦于点，若，，则的长度为 ．    15．等腰三角形的一边为，另两边恰好是关于的一元二次方程的两根，则的值是 ． 16．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点下方），且．当的值最小时，点的坐标为 ．      三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17．（本题满分6分）解方程：（1）； （2） 18．（本题满分4分）已知：如图，将绕点顺时针旋转得到，点对应点恰在的延长线上，若．求证：为等边三角形． 19．（本题满分7分）已知抛物线经过点和点． （1）求抛物线的解析式；（2）抛物线与轴的交点是，；求的面积． 20．（本题满分7分）如图所示的平面直角坐标系与网格纸，其中网格纸每一格小正方形的边长都是坐标系的单位长度，的顶点坐标为，，． （1）画出关于原点成中心对称的图形； （2）画出绕点逆时针旋转后的； （3）直接写出点的坐标为______；点的坐标为______． 21．（本题满分7分）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根、，且，求的值． 22．（本题满分7分）如图，是的直径，点，是上的点，且，分别与，相交于点，． （1）求证：点为弧的中点； （2）若，，求的直径． 23．（本题满分10分）如图，用一块长为、宽为的长方形铁片制作一个无盖的盒子，若在铁片的四个角截去四个相同的小正方形，设小正方形的边长为． （1）底面的长 　 ，宽 　 （用含的代数式表示） （2）当做成盒子的底面积为时，求该盒子的容积． （3）该盒子的侧面积是否存在最大的情况？若存在，求出的值及最大值是多少？若不存在，说明理由． 24．（本题满分12分）如图，已知抛物线的顶点为，且通过点． （1）求顶点的坐标； （2）点为直线上方抛物线上一动点，求面积的最大值； （3）在抛物线上存在一点，使得，求点坐标． 25．（本题满分12分）在中，，． （1）如图，点在边上，且．求的值； （2）如图，点在的外部，且．求证：； （3）若是平面内一点，且，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$