精品解析：江苏省扬州市仪征市2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024～2025学年第一学期期末试题 八年级数学 2025.01 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的，请将正确选项前的字母填涂在答题卡中相应的位置上） 1. 数学中有许多精美曲线，以下是“三叶玫瑰线”“笛卡尔叶形线”“星形线”和“阿基米德螺线”，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 精确到千位的近似值为（ ） A. B. C. D. 3. 若正比例函数的图像经过点，则这个图像必经过点（ ） A. B. C. D. 4. 根据下列已知条件，则形状和大小能完全确定的是（ ） A B. C. D. 5. 已知一次函数，那么下列结论正确的是（ ） A. 图像经过第一、二、四象限 B. 随的增大而增大 C. 当时， D. 点在函数图像上 6. 如果三角形三条边的垂直平分线的交点落在三角形的边上，这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 7. 如图，在中，为斜边上的中线，过点作，连接、，若，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. 如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，以下正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 9. 电影票上将“8排9号”记为，则“12排5号”记为______． 10. 比较大小：__________（填“”、“”或“”） 11. 已知等腰三角形的两边长分别为3，6，则其周长为________． 12. 若实数满足，则______． 13. 将函数的图象向下平移个单位得到的新函数的解析式为______． 14. 已知点在第二象限，距离轴4个单位长度，距离轴2个单位长度，则点的坐标为______． 15. 如图，在中，的垂直平分线分别交、于、两点，的周长为12，则的周长为______． 16. 借助如图所示的“三等分角仪”能三等分某些度数的角，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒、组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数为______． 17. 如图，等腰和等腰满足，底边、落在同一条直线上，且于点，若，则______． 18. 直线与直线的图像如图，若点是直线图像上一点，点是直线图像上一点，满足轴，且，则点坐标为______． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分） 19. 如图，点C、E在线段上，，，．求证：． 20. 已知一次函数的图像经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）若点也在这个函数的图像上，求的值． 21. 如图，在中，上一点，于点，若，求度数． 22. 观察下面图形，每个小正方形的边长为1． （1）图中阴影正方形的面积是______，边长是______； （2）请用无刻度的直尺和圆规在右图的数轴上作出点，使得点表示的数为（保留作图痕迹，不写作法）． 23. 如图，中，的垂直平分线交于点，交于点为中点，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 24. 小可的妈妈打算购买一些草莓回家做水果拼盘，经了解，生态园区中的“老农果园”的草莓标价为50元／千克，若一次性购买不超过2千克，则按原价付款，若购买超过2千克，则超过部分按标价的八折付款． （1）请求出付款金额（元）关于购买草莓的重量（千克）的函数表达式（）； （2）去购买草莓当天，发现旁边的“盛田果园”也在进行草莓优惠活动，同品种草莓标价也为50元／千克，但全部按标价的九折付款，小可妈妈计划用200元购买此种草莓（全部用完），请问她在哪个果园购买更合算？ 25. 如图，点、是直线上两点，且，在线段上取一点，经测量，． （1）长是否为点到直线最短距离？请说明理由； （2）求点和点的距离． 26. 在平面直角坐标系中，设一次函数、（、实数，且． （1）若，分别求出、与轴的交点坐标； （2）若函数的图像与轴交点坐标为，则函数的图像与轴交点坐标为______； （3）若函数的图像不经过第一象限，且过点，求的取值范围． 27. 如图1，在中，，已知，是边上一动点，连接，以为对称轴将翻折至． （1）当时，求的长； （2）当落在线段上时．在图2中补全图形，并求出的长； （3）当时，如图3，求出的长． 28. 在平面直角坐标系中，点分别在轴，轴正半轴上，如果在第一象限存在点使得，且点在直线的右侧，则称点是线段的“等腰点”，已知点是线段的“等腰点”． （1）如图1，已知、，则在坐标、、中，能够是线段的“等腰点”的点是______，此时长为______； （2）如图2，已知、，且，求“等腰点”点的坐标； （3）如图3，已知、，满足，且，直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年第一学期期末试题 八年级数学 2025.01 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的，请将正确选项前的字母填涂在答题卡中相应的位置上） 1. 数学中有许多精美的曲线，以下是“三叶玫瑰线”“笛卡尔叶形线”“星形线”和“阿基米德螺线”，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：D． 2. 精确到千位的近似值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的近似数，精确到千位，只需要对百位上的数字进行四舍五入即可，熟练掌握精确到哪一位，就对这一位的下一位数字进行四舍五入是解题的关键． 【详解】解：精确到千位的近似值为， 故选：． 3. 若正比例函数的图像经过点，则这个图像必经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质；先求出正比例函数的解析式，再依次判断选项中的四个点是否在所求的正比例函数图象上即可． 【详解】解：设正比例函数解析式为， ∵正比例函数的图像经过点， ∴， 即， ∴正比例函数解析式为； 显然点与的横坐标相同，但纵坐标不相同，点不在的图象上； 当时，， ∴点不在图象上；点在的图象上； 当时，， ∴点不在的图象上； 综上，点在的图象上； 故选：C． 4. 根据下列已知条件，则形状和大小能完全确定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．由全等三角形的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：A选项中的条件没有边的长度，因此不能画出唯一的，故A不符合题意； B选项只是知道两边的长度，不能画出唯一的； C选项中已知两边及一边的对角，因此不能画出唯一的，故C不符合题意； D．已知两角和这两角的夹边，能够画出唯一的，故D符合题意． 故选：D． 5. 已知一次函数，那么下列结论正确的是（ ） A. 图像经过第一、二、四象限 B. 随的增大而增大 C. 当时， D. 点在函数图像上 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握这些知识是解题的关键；根据一次函数的图象与性质可判断四个选项． 【详解】解：∵一次函数中，, ∴图像经过第一、二、四象限，随的增大而减小； 故选项A正确，选项B错误； 当时，，故选项D错误； 当时，，则当时，，故选项C错误； 故选：A． 6. 如果三角形三条边的垂直平分线的交点落在三角形的边上，这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记三种三角形三边垂直平分线的交点的位置是解题的关键．根据三种三角形三边垂直平分线上的交点的位置解答即可． 【详解】解：∵锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的内部，钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的外部，直角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的斜边上， ∴该三角形是直角三角形． 故选：B． 7. 如图，在中，为斜边上的中线，过点作，连接、，若，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在中，为斜边上的中线， ∴， ∵，， ∴， 故选：A． 8. 如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，以下正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用网格得，，，证明得，再由网格得，再由三角形内角和定理可得． 【详解】解：如图，连接，， 由图可得，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 9. 电影票上将“8排9号”记为，则“12排5号”记为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标确定位置，理解有序数对的两个数的实际意义是解题的关键．根据第一个数表示排数，第二个数表示号数，然后写出即可． 【详解】第一个数字表示排，第二个数字表示号，所以“12排5号”记为， 故答案为：． 10. 比较大小：__________（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较，掌握平方法比较两个实数大小是解决此题的关键．首先分别求出和的平方的值各是多少；然后根据实数大小比较的方法，判断出的平方和的平方的大小关系，即可判断出和的大小关系． 详解】解：， ∵， ∴， 故填：． 11. 已知等腰三角形的两边长分别为3，6，则其周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质可分两种情况讨论：①当3为腰时②当6为腰时；再根据三角形的三边关系确定是否能构成三角形，再计算三角形的周长，即可求出； 本题主要考查等腰三角形的性质，还涉及了三角形三边的关系，熟练掌握以上知识点是解题关键． 【详解】解：①当3为腰时，另两边为3、6，，不能构成三角形，舍去； ②当6为腰时，另两边为3、6，，能构成三角形， 此时三角形的周长为 故答案为：． 12. 若实数满足，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查立方根及实数的定义，熟练掌握立方根是解题的关键；由可进行求解． 【详解】解： ∵， ∴； 故答案为2． 13. 将函数的图象向下平移个单位得到的新函数的解析式为______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，掌握函数图象的平移规律是解答本题的关键． 根据函数图象的平移规律，上加下减，可得答案． 【详解】解：由函数的图象向下平移个单位得到的新函数的解析式为， 化简，得， 故答案：． 14. 已知点在第二象限，距离轴4个单位长度，距离轴2个单位长度，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标；根据点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值；点到y轴的距离为点的横坐标的绝对值，点在第二象限得出横坐标小于，纵坐标大于，即可求解． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴横坐标小于，纵坐标大于 ∵点距离轴4个单位长度，距离轴2个单位长度， ∴点的坐标为 故答案为：． 15. 如图，在中，的垂直平分线分别交、于、两点，的周长为12，则的周长为______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长计算，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，据此可得，求出的长，再利用三角形周长计算公式推出的长，据此可得答案． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交、于、两点， ∴， ∵的周长为12， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：20． 16. 借助如图所示的“三等分角仪”能三等分某些度数的角，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒、组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关性质是解答本题的关键． 根据等腰三角形的性质可得、，再根据三角形外角的性质可得，得到，最后根据三角形外角的性质定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 17. 如图，等腰和等腰满足，底边、落在同一条直线上，且于点，若，则______． 【答案】50 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，三线合一定理，全等三角形的性质与判定，过点B、D分别作的垂线，垂足分别为G、H，由三线合一定理求出的长，再通过证明求出的长，接着根据勾股定理求出的长，最后根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点B、D分别作的垂线，垂足分别为G、H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 18. 直线与直线的图像如图，若点是直线图像上一点，点是直线图像上一点，满足轴，且，则点坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．根据轴，设，则，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵轴，， 设，则， ∴， ∴， ∴或， ∴或， 则当时，，当时，； ∴点M的坐标为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分） 19. 如图，点C、E在线段上，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，平行线的性质，根据，得到，证明，即可得出结论． 【详解】证明：， ， 在和中， ， ， ． 20. 已知一次函数的图像经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）若点也在这个函数的图像上，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了一次函数图象上点的性质，求一次函数函数解析式，解题的关键是熟练掌握一次函数图象上点的性质． （1）将点代入求解即可； （2）将点代入（1）求出的表达式中即可求出m的值． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图像经过点， ∴， 解得， ∴这个一次函数的解析式为； 小问2详解】 解：∵点在函数的图像上， ∴， 解得． 21. 如图，在中，为上一点，于点，若，求度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据于点，，，证明，因为，则，即可作答． 【详解】解：∵于点， ∴， ∵，, ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 22. 观察下面图形，每个小正方形的边长为1． （1）图中阴影正方形的面积是______，边长是______； （2）请用无刻度的直尺和圆规在右图的数轴上作出点，使得点表示的数为（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）13； （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，割补法求网格中图形面积，勾股定理与无理数，尺规作图等知识；掌握这些知识是关键； （1）用大正方形面积减去四个面积相等的小三角形即可求解；利用算术平方根即可求得正方形的边长； （2）构造两直角边分别为2与3的直角，由勾股定理得斜边，再在数轴上以O为圆心，为半径，在数轴上原点右边截取线段即可． 【小问1详解】 解：阴影正方形的面积为； 阴影正方形的边长为：； 故答案为：13；； 【小问2详解】 解：如图，点表示的数为． 23. 如图，中，的垂直平分线交于点，交于点为中点，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线、等腰三角形、三角形内角和、三角形外角的知识；熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．（1）由线段垂直平分线的性质得到，再根据等腰三角形三线合一的性质即可完成证明；（2）结合（1）的结论，根据三角形外角、等腰三角形和三角形内角和的性质计算，即可完成求解． 【小问1详解】 如图，连接， ∵的垂直平分线交于点， ∴ ∵ ∴， ∵H为中点， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 24. 小可的妈妈打算购买一些草莓回家做水果拼盘，经了解，生态园区中的“老农果园”的草莓标价为50元／千克，若一次性购买不超过2千克，则按原价付款，若购买超过2千克，则超过部分按标价的八折付款． （1）请求出付款金额（元）关于购买草莓的重量（千克）的函数表达式（）； （2）去购买草莓当天，发现旁边的“盛田果园”也在进行草莓优惠活动，同品种草莓标价也为50元／千克，但全部按标价的九折付款，小可妈妈计划用200元购买此种草莓（全部用完），请问她在哪个果园购买更合算？ 【答案】（1） （2）选择老农果园 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的值： （1）先求出2千克的费用，再求出超过2千克的费用，二者求和即可得到答案； （2）求出在老农果园和在盛田果园能够购买的草莓重量，比较即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意得，； 【小问2详解】 解： 在中，当时，； ， ∵， ∴她在老农果园购买更合算． 25. 如图，点、是直线上两点，且，在线段上取一点，经测量，． （1）长是否为点到直线的最短距离？请说明理由； （2）求点和点的距离． 【答案】（1）是；见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理及勾股定理等知识；掌握这两个定理是解题的关键； （1）由勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，则得长是点到直线的最短距离； （2）在中，由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：长是点到直线的最短距离； 理由如下： ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， 即， ∴长是点到直线的最短距离； 【小问2详解】 解：由（1）知，， 在中，， 由勾股定理得：； ∴点和点的距离为． 26. 在平面直角坐标系中，设一次函数、（、是实数，且． （1）若，分别求出、与轴的交点坐标； （2）若函数的图像与轴交点坐标为，则函数的图像与轴交点坐标为______； （3）若函数的图像不经过第一象限，且过点，求的取值范围． 【答案】（1）、与轴的交点坐标分别为 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）分别把代入可得、的解析式，然后问题可求解； （2）把点代入一次函数的表达式，然后可得m、n的关系，进而问题可求解； （3）由函数的图像不经过第一象限，可得，，然后把点代入函数解析式可得m、n的关系，进而可建立不等式进行求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， 分别令代入可得：，， 解得：，， ∴、与轴的交点坐标分别为； 【小问2详解】 解：把点代入一次函数的表达式得：， ∴， ∴， 令，则有， 解得：， ∴函数的图像与轴交点坐标为； 故答案为； 【小问3详解】 解：由函数的图像不经过第一象限，可得，， 把点代入得：， ∴， ∴． 27. 如图1，在中，，已知，是边上一动点，连接，以为对称轴将翻折至． （1）当时，求的长； （2）当落在线段上时．在图2中补全图形，并求出的长； （3）当时，如图3，求出的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查几何变换综合应用，涉及勾股定理及应用，平行线的性质，相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是掌握翻折的性质． （1）根据平行线的性质和翻折的性质，求出，即可求解； （2）根据翻折的性质求出，根据相似三角形性质求解即可； （3）先根据，求出的值，再求出，根据三角形性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵以为对称轴将翻折至， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴． 【小问2详解】 解：如图，以为对称轴将翻折至，当落在线段上时，有，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵是直角三角形，， ∴． 【小问3详解】 解：如图： ∵以为对称轴将翻折至， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵在和中，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴解得． 28. 在平面直角坐标系中，点分别在轴，轴正半轴上，如果在第一象限存在点使得，且点在直线的右侧，则称点是线段的“等腰点”，已知点是线段的“等腰点”． （1）如图1，已知、，则在坐标、、中，能够是线段的“等腰点”的点是______，此时长为______； （2）如图2，已知、，且，求“等腰点”点的坐标； （3）如图3，已知、，满足，且，直接写出的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用两点距离计算公式分别求出点P为对应三个坐标时的长即可得到结论； （2）过点P作轴交x轴于F，过点B作于E，证明，利用全等三角形的性质和线段的和差关系求出的长即可得到答案； （3）取中点D，连接，证明是等边三角形；利用勾股定理求出，则可得到，求出，根据，可得当O、P、D三点共线时，有最大值，最大值为． 【小问1详解】 解：∵点是线段的“等腰点”， ∴， 当点P的坐标为时，则， ∴此时满足，符合题意， ∴； 当点P的坐标为时，则， ∴此时不满足，不符合题意； 当点P的坐标为时，则， ∴此时不满足，不符合题意； 综上所述，能够是线段的“等腰点”的点是，此时长为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点P作轴交x轴于F，过点B作于E，则， ∵、， ∴， ∵点是线段的“等腰点”， ∴， ∵，轴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，取中点D，连接， ∵点是线段的“等腰点”， ∴， ∵， ∴是等边三角形； ∵、， ∴， ∴， ∴， ∵D为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴当O、P、D三点共线时，有最大值，最大值为． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质等等，熟知两点距离计算公式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$