精品解析：江苏省无锡市惠山区锡山高级中学2023-2024学年高一下学期3月阶段测试数学试题

省锡中高一年级3月阶段性学情调研数学 命题人：祝霞 审核人：葛长松 一、选择题：本通共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个进项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若 是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的基本定理和基底的概念逐项判断两个向量是否共线即可. 【详解】对于A选项，因为，所以共线，不能作为平面向量的基底，故A不合题意； 对于B选项， 假设存在实数使得，则，，无解，所以不共线，可以作为平面的基底，故B正确； 对于C选项，因为，所以共线，不能作为平面向量的基底，故C不合题意； 对于D选项，因为，所以共线，不能作为平面向量的基底，故D不合题意. 故选：B. 2. 已知分别为的边上的中线，设，,则＝（ ） A. ＋ B. ＋ C. D. ＋ 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算即可联立方程求解. 【详解】分别为的边上的中线, 则, , 由于，，所以, 故解得 故选：B 3. 平面向量，满足，，，则在上投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】两边平方后求出，再利用投影向量的公式求解. 【详解】， 其中，所以，解得， 则在上投影向量为. 故选：C 4. 冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求，该同学取端点绘制了△ABD，测得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，由余弦定理得，进而求出，再在中，利用正弦定理得解. 【详解】由题意，在中，由余弦定理得； 因为，所以， 在中，由正弦定理所以， 解得. 故选：D 5. 已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系式、两角和与差的余弦、正弦公式求得正确答案. 【详解】， ， ，分子分母同时除以得： ①， 由于，所以，所以， 所以， 所以， 即，代入①得： ，解得. 故选：B 6. 已知为单位向量，向量满足，，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设，，根据求出，再根据得到，最后根据向量模的坐标表示及二次函数的性质计算可得. 【详解】依题意设，， 由，所以，则， 又，且， 所以，即， 所以，当且仅当时取等号， 即的最大值为. 故选：C 7. 我们定义：“”为向量与向量的“外积”，若向量与向量的夹角为，它的长度规定，现已知：在中，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设分别为的中点，结合三角形相似推出，由题意可得，确定四边形面积的最大值，根据题意结合面积公式即可得结果. 【详解】设分别为的中点，连接， 则，则∽，故, 则，故， 又因为，即， 当时，四边形面积最大，最大值为， 故的面积的最大值为， 且，所以的最大值为. 故选：D. 8. 已知凸四边形内接于圆，，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据结合正弦定理可得，再利用三角恒等变换可得，进而利用正弦定理可得，即可得结果. 【详解】设， 在中，由正弦定理可得， 在中，由正弦定理可得， 因为，即， 且，可知， 则，即， 又因为，则， 可得， 则， 在中，由正弦定理可得， 在中，可知， 由正弦定理可得， 则，可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：与解三角形有关的交汇问题的关注点 （1）根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化． （2）结合内角和定理、面积公式等，灵活运用三角恒等变换公式． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. ，则 C. 若，则或 D. 若，则的最大值为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据共轭复数的定义结合复数运算分析判断；对于B：举反例说明即可；对于C：根据模长性质分析判断；对于D：根据复数的几何意义分析可知点的轨迹是以点A为圆心，半径为1的圆，结合圆的性质分析判断. 【详解】设，，则，， 对于选项A：因为，， 所以，故A正确； 对于选项B：例如，，则， 但不成立，故B错误； 对于选项C：若，则， 则或，所以或，故C正确； 对于选项D：设复数在复平面内对应的点分别为， 因为，可知点的轨迹是以点A为圆心，半径为1的圆， 则，当且仅当点A在线段上时，等号成立， 所以的最大值为3，故D正确； 故选：ACD． 10. 已知函数（，），将的图像上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像．若为偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A. 的图像关于对称 B. 在上单调递增 C. 的解集为（） D. 方程在上有3个解 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据图像平移伸缩变换可得，再根据奇偶性和最小正周期可求得和，通过赋值法可判断A，根据整体代入法可判断B，通过余弦函数图像的性质可判断C，通过正切函数图像的性质可判断D. 【详解】将函数的图像上所有点向右平移个单位长度， 得到， 然后横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变， 得到， 若最小正周期为，则有，得， 又因为为偶函数， 所以，即 又，所以，， 故，， 对于A，，所以的图像不关于对称，A错误； 对于B，令，得，， 当时，函数的单调递增区间为， 所以在上单调递增，B正确； 对于C，由，得，所以， 所以（）， 解得（），C正确； 对于D，等价于， 即，所以， 所以（），即（）， 又，故当时，可得，，. 即方程在上有3个解，D正确. 故选：BCD 11. 已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则下列选项正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 若D是AC边上的一点，且，则的面积的最大值为 C. 若三角形是锐角三角形，则的取值范围是 D. 若O是的外心，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用正弦定理及余弦定理求出角B，利用三角恒等变换公式化简求出值域判断A；利用向量线性运算及数量积的运算律解得，使用基本不等式即可求出面积最大值判断B；利用正弦定理及三角恒等变换得，求出函数值域即可判断C；根据模长关系可得，再结合基本不等式运算求解. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理可得，即， 且，所以. 对于选项A：因为 ， 且，则，可得， 所以，故A错误； 对于选项B：因为， 则， 可得， 即，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即的面积的最大值为，故B正确； 对于选项C：因为， 又因为，解得， 可得，则， 所以，故C正确； 对于选项D：因为，则， 可知点在优弧上（端点除外）， 因为，则， 又因为， 且，可得，即， 又因为，即， 解得，当且仅当时，等号成立， 可得，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：1．平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现； 2．正确理解并掌握向量的概念及运算注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用； 提醒：运算两平面向量的数量积时，务必要注意两向量的方向． 三、填空题：本题共3小题，每小思5分，共15分. 12. =______ 【答案】## 【解析】 【分析】利用复数的运算法则即可求出结果. 【详解】因为， 故答案为：. 13. 已知是O坐标原点，，若点C满足，则a的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合向量的坐标运算可得，进而列式求解即可. 【详解】因为，则， 则， 可得， 则， 可得，解得. 故答案为：. 14. 已知点P为内一点，，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】设，进而可得，根据模长结合数量积的运算律分析求解即可. 【详解】设， 则，， 可得， ， 两式相减可得， 可得， 所以. 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量． （1）当且时，求； （2）当，求向量与的夹角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的坐标运算法则先求出和的坐标，再由条件可得，求出x的值，再求的坐标，得出其模长. （2）由向量的坐标运算法则先求出的坐标，由，求出x的值，然后由向量的夹角公式可得答案. 【小问1详解】 因为向量 则，， 又因为，则， 可得，解得或， 且，则，则，， 所以. 【小问2详解】 由，则， 由，可得，解得，即， 可得，，， 则， 且，所以向量与的夹角. 16. （1）若，求的值； （2）已知，求的值 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式和辅助角公式整理可得，以为整体，结合三角恒等变换分析求解； （2）根据两角和差公式以及倍角公式可得，再结合齐次化问题运算求解即可. 【详解】（1）因为 ， 即， 所以 ； （2）因为 ， 所以 . 17. 在梯形ABCD中，，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足，，Q为边AD上的一个动点． （1）求证：； （2）的最小值． 【答案】（1）证明：如图连接， ∵，∴ 由得 即. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算求解即得证； （2）利用平行四边形的判定与性质知，利用数量积的定义求得，计算即可求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ∵，∴ 则四边形为平行四边形，∥， . 由，得， ∴，∴， 由得，，即 所以 18. 在斜中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且． （1）求； （2）若点M为AC中点，且，求的面积． 【答案】（1） （2）的面积为 【解析】 【分析】（1）证明，求出，求出，根据求出； （2）先证明三角形一条中线两侧所对边平方的和等于底边一半的平方加上这条中线的平方的和的2倍，根据正弦定理求出三边比例关系，求出和，求出的面积. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 所以， 因为，， 所以，所以或， 当时，因为， 所以，此时， 所以，因为， 所以，所以； 【小问2详解】 先证明以下定理：三角形一条中线两侧所对边平方的和等于底边一半的平方加上这条中线的平方的和的2倍， 如图，是中线，是高线， 因为，，，， 所以 ， 回到题目中，设， 所以，，， 所以， 设，，， 因为，所以， 所以，， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题关键（2）关键在于证明三角形一条中线两侧所对边平方的和等于底边一半的平方加上这条中线的平方的和的2倍. 19. 在平面直角坐标系中，对于非零向量，，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道，平行的充要条件为． （1）已知，，求； （2）①已知，的夹角为和，的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，，，且，若，求． 【答案】（1） （2）①证明如下： 因为 ， 且，，则， 所以． 若，等价于，即， 所以的充分必要条件是； ② 【解析】 【分析】（1）根据“相离度”的定义代入相应值进行计算. （2）首先证明①，可得，根据，等价于即可证明； ②由左右同时平方可求得，由题知为的重心，然后以、为基底表示出、，进而求出，再代即可得解. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ①略 ②因， 则， 可得， 即，可得， 又因为，可知点为的重心，则， 可得，， 则， ， ， 可得， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 省锡中高一年级3月阶段性学情调研数学 命题人：祝霞 审核人：葛长松 一、选择题：本通共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个进项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若 是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知分别为的边上的中线，设，,则＝（ ） A. ＋ B. ＋ C. D. ＋ 3. 平面向量，满足，，，则在上投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求，该同学取端点绘制了△ABD，测得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 6. 已知为单位向量，向量满足，，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 7. 我们定义：“”为向量与向量的“外积”，若向量与向量的夹角为，它的长度规定，现已知：在中，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知凸四边形内接于圆，，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. ，则 C. 若，则或 D. 若，则的最大值为3 10. 已知函数（，），将的图像上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像．若为偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A. 的图像关于对称 B. 在上单调递增 C. 的解集为（） D. 方程在上有3个解 11. 已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则下列选项正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 若D是AC边上的一点，且，则的面积的最大值为 C. 若三角形是锐角三角形，则的取值范围是 D. 若O是的外心，，则 三、填空题：本题共3小题，每小思5分，共15分. 12. =______ 13. 已知是O坐标原点，，若点C满足，则a的值为__________． 14. 已知点P为内一点，，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量． （1）当且时，求； （2）当，求向量与的夹角． 16. （1）若，求的值； （2）已知，求的值 17. 在梯形ABCD中，，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足，，Q为边AD上的一个动点． （1）求证：； （2）的最小值． 18. 在斜中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且． （1）求； （2）若点M为AC中点，且，求的面积． 19. 在平面直角坐标系中，对于非零向量，，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道，平行的充要条件为． （1）已知，，求； （2）①已知，的夹角为和，的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，，，且，若，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $