精品解析：湖北省襄阳市枣阳市2024-2025学年八年级上学期期末学业质量检测数学试题

湖北省襄阳市枣阳市2024-2025学年八年级上学期期末学业质量检测数学试题 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．作图一律用2B铅笔或0.5毫米的黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在平面直角坐标系中，已知点，则点A关于y轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽 可能为（ ）. A. B. C. D. 4. 要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了测量方案： 方案Ⅰ：①如图1，选定点O；②连接，并延长到点C，使，连接图1，并延长到点D，使；③连接，测量的长度即可． 方案Ⅱ：①如图2，选定点O；②连接，，并分别延长到点F，E，使，；③连接，测量的长度即可． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　　） A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都不可行 D. Ⅰ、Ⅱ都可行 5. 分式的值为0的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 如果与的乘积中不含x的一次项，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 3 7. 如图，，，，点， ， 在同一直线上，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 9. 数形结合是初中数学重要的思想方法，下图就是用几何图形描述了一个重要的数学公式，这个公式是（　　） A. a﹣b＝（a+b）（a﹣b） B. （a﹣b）＝a﹣2ab+b C. a（a﹣b）＝a﹣ab D. （a﹣b）＝a﹣b 10. 如图，在中，的面积为12，点 是 的中点，直线垂直平分 交 于点 ，交 于点F，P是线段上的一个动点，则的周长的最小值是（ ） A. 6 B. 7 C. 10 D. 12 二、填空题（共6题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：__________． 12. 计算：____________．____________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，轴，若，则点的坐标为______． 14. 如图，四边形 中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．相交于点，请结合图形写出一个正确的数学结论____________． 15. 如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是_____． 16. 已知是等边三角形，点 在 上，过点 作，垂足为 ，延长 至点 ，使，连接交 于点 ，如图所示．若，则线段的长为____________． 三、解答题（共9题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）先化简，再求值：其中 （3）解方程： 18. 如图，在△ABC中，∠CAE=18°，∠C=42°，∠CBD=27°． （1）求∠AFB的度数； （2）若∠BAF=2∠ABF，求∠BAF的度数． 19. 计算：． 20. 如图， ， ，求证：是等腰三角形． 21. 如图，已知． （1）作 的角平分线交 于点 （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，过点 分别作，，垂足分别为E，F，连接交于点． ①补全图形； ②猜想与之间的位置关系并证明． 22. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2025年1月份的日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，，不难发现结果都是7． （1）请你按上述方法在题目的日历中再框选4个数，并写出算式（直接写出算式即可）； （2）按上面的规律归纳出一个一般性的结论（用含的等式表示，为正整数）； （3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 23. 如图，四边形 中，于点F，交 于点E，连接，平分． （1）求证：； （2）若，求 的长． 24. 某校组织八年级学生赴某研学基地开展研学活动，已知学校离该研学基地60千米．师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小汽车以大巴车速度的倍前往，结果同时到达．求小汽车的速度． 25. 在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是AC上一动点，在BD的延长线上取一点E满足：AE＝AB；AF平分∠CAE交BE于点F． （1）如图1，连CF，求证：△ACF≌△AEF． （2）如图2，当∠ABC＝60°时，线段AF，EF，BF之间存在某种数量关系，写出你的结论并加以证明． （3）如图3，当∠ACB＝45°时，且AE∥BC，若EF＝3，请直接写出线段BD的长是 　 　（只填写结果）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省襄阳市枣阳市2024-2025学年八年级上学期期末学业质量检测数学试题 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．作图一律用2B铅笔或0.5毫米的黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在平面直角坐标系中，已知点，则点A关于y轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了关于 轴对称点的坐标特点，根据关于 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得答案． 【详解】解：点关于 轴对称的点的坐标为， 故选：B． 2. 下列各式中，计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘方和除法运算法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则即可求解． 【详解】A．，不符合题意 B．，不符合题意 C．，不符合题意 D．，符合题意 故选：D 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法及除法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母部分保持不变． 3. 如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽 可能为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． 直接根据“三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”即可解答． 【详解】解：如图：∵， ∴,即， ∴只有D选项符合题意． 故选D． 4. 要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了测量方案： 方案Ⅰ：①如图1，选定点O；②连接，并延长到点C，使，连接图1，并延长到点D，使；③连接，测量的长度即可． 方案Ⅱ：①如图2，选定点O；②连接，，并分别延长到点F，E，使，；③连接 ，测量 的长度即可． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　　） A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都不可行 D. Ⅰ、Ⅱ都可行 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，方案Ⅰ中利用证明即可；方案Ⅱ中利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：方案Ⅰ：在与 中， ， ∴， ∴； 方案Ⅱ：在与中， ， ∴， ∴， 故选：D． 5. 分式的值为0的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分式值为0需同时满足分子为0，分母不为0，据此计算求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0 ∴， ∴， ∴ ∴分式的值为0的条件是 ． 6. 如果与的乘积中不含x的一次项，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据与的乘积中不含 的一次项，可得，进一步求解即可． 【详解】解：， ∵与的乘积中不含 的一次项， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解题的关键． 7. 如图，，，，点 ， ， 在同一直线上，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可证得，继而证明，由全等三角形对应角相等得到，最后由三角形的外角性质解答即可． 【详解】解： ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 8. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的性质、分式的约分等知识点，掌握最简分式的概念是解题的关键． 根据“分子与分母没有非零次的公因式的分式叫最简分式”逐项判断即可． 【详解】解：A. 的分子分母有非零公因式，不是最简分式，不符合题意； B. 的分子分母有非零公因式，不是最简分式，不符合题意；      C. 的分子分母没有有非零公因式，是最简分式，符合题意；      D. 的分子分母有非零公因式，不是最简分式，不符合题意；     故选：C． 9. 数形结合是初中数学重要的思想方法，下图就是用几何图形描述了一个重要的数学公式，这个公式是（　　） A. a﹣b＝（a+b）（a﹣b） B. （a﹣b）＝a﹣2ab+b C. a（a﹣b）＝a﹣ab D. （a﹣b）＝a﹣b 【答案】A 【解析】 【分析】分别表示出图1和图2中的阴影面积，二者相等，比较各选项，即可求解. 【详解】图1中阴影部分面积等于大正方形的面积a2，减去小正方形的面积b2，即a2﹣b2； 图2中阴影部分为长等于（a+b），宽等于（a﹣b）的长方形，其面积等于（a+b）（a﹣b）， 二者面积相等，则有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 比较各选项，可知只有A符合题意． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握通过不同的方法计算同一个图形的面积来证明一些公式的方法，利用数形结合是解题的关键． 10. 如图，在 中，的面积为12，点 是 的中点，直线 垂直平分 交 于点 ，交 于点F，P是线段 上的一个动点，则的周长的最小值是（ ） A. 6 B. 7 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路径、三角形的面积计算公式、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，正确判断出 的长为的最小值是解题的关键． 由 的面积为12，可得，再根据 是线段 的垂直平分线，可推出 的长为的最小值，然后根据三角形的周长以及等量代换即可解答 【详解】解：∵，,点D是 边的中点， ∴，, ∵ 的面积为12， ∴，解得：， 如图，连接 ， ∵ 是线段 的垂直平分线， ∴点C关于直线 的对称点为A， ∴ ∴ 的长为的最小值， ∴的周长最短. 故选B． 二、填空题（共6题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式a，再利用公式法继续分解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题的关键．在分解因式时，要注意分解彻底． 12. 计算：____________．____________． 【答案】 ①. 0 ②. 2 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂、积的乘方的逆用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．①先利用零指数幂、负整数指数幂的定义化简式子，再利用有理数的运算法则计算即可；②逆用积的乘方进行计算即可． 【详解】解：① ； ② ． 故答案为：0；2． 13. 如图，在平面直角坐标系中， 为等腰三角形，轴，若，则点 的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行于 轴的直线上的点的纵坐标相同，得到点 的纵坐标，过点 作，利用等腰三角形的三线合一，求出点 的横坐标即可． 【详解】解：∵轴，， ∴点 的纵坐标为1， 过点 作，交 轴于点 ，交 于点 ， 则：， ∵ ∴， ∴点 的横坐标为， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形，等腰三角形的性质．熟练掌握平行于 轴的直线上的点的纵坐标相同，等腰三角形三线合一，是解题的关键． 14. 如图，四边形 中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．相交于点，请结合图形写出一个正确的数学结论____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了垂直平分的判定，根据垂直平分线的判定即可得出结论． 【详解】解：，理由如下： ∵，， ∴在 的垂直平分线上， 即 是线段 的垂直平分线，即， 故答案为：（答案不唯一）． 15. 如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是_____． 【答案】144°． 【解析】 【分析】根据正五边形的性质和内角和为540°，求得每个内角的度数为108°，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答． 【详解】解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠C＝＝108°，BC＝DC， ∴∠BDC＝＝36°， ∴∠BDM＝180°﹣36°＝144°， 故答案为：144°． 【点睛】本题考查了正五边形的性质，正多边形的内角，等腰三角形的性质和邻补角的定义，求出正五边形的内角是解题关键． 16. 已知 是等边三角形，点 在 上，过点 作，垂足为 ，延长 至点 ，使，连接 交 于点 ，如图所示．若，则线段 的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键； 过 做，交 于，根据题意判定是等边三角形，判定，进而根据等边三角形的性质即可求解； 【详解】解：过 做，交 于， 是等边三角形， ， ， ，， 是等边三角形， ，所以 为中点， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为边长为 的等边三角形， ， ； 三、解答题（共9题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）先化简，再求值：其中 （3）解方程： 【答案】（1）；（2），0；（3）原分式方程无解 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，整式的化简求值，解分式方程，掌握整式的混合运算法则，解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）先算积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法，最后算加法即可； （2）先计算多项式除以单项式，多项式乘以多项式，再合并同类项，最后代入计算即可； （3）根据分式方程的求解步骤，求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； 当时，． （3）解： 原方程两边同乘，去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：当时，， 因此不是原分式方程的解． 所以原分式方程无解． 18. 如图，在△ABC中，∠CAE=18°，∠C=42°，∠CBD=27°． （1）求∠AFB的度数； （2）若∠BAF=2∠ABF，求∠BAF的度数． 【答案】（1）∠AFB=87°； （2）∠BAF=62°． 【解析】 【分析】（1）利用三角形的外角性质计算即可； （2）利用三角形内角和定理构建方程求出∠ABF即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵∠AEB=∠C+∠CAE，∠C=42°，∠CAE=18°， ∴∠AEB=60°， ∵∠CBD=27°， ∴∠AFB=27°+60°=87°； 【小问2详解】 解：∵∠BAF=2∠ABF，∠AFB=87°， ∴3∠ABF=180°-87°， ∴∠ABF=31°， ∴∠BAF=62°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式混合运算，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键． 根据分式混合运算的运算法则进行求解即可． 【详解】解： 20. 如图， ，，求证：是等腰三角形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，先证明，得到，即得，据此即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴即， ∴， ∴是等腰三角形． 21. 如图，已知 ． （1）作的角平分线 交 于点 （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，过点 分别作，，垂足分别为E，F，连接 交 于点． ①补全图形； ②猜想 与 之间的位置关系并证明． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线、全等三角形的性质与判定、线段垂直平分线的判定，熟练掌握尺规作角平分线的方法是解题的关键． （1）根据尺规作角平分线的方法求解即可； （2）①按要求补全图形即可；②利用全等三角形 判定证明，进而得到 是 的垂直平分线，即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图， 即为所求； 【小问2详解】 解：①如图所示，补全图形即为所求； ②，证明如下： ，， , 平分， ， 在和中， ， ， ，， 是 的垂直平分线， ． 22. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2025年1月份的日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，，不难发现结果都是7． （1）请你按上述方法在题目的日历中再框选4个数，并写出算式（直接写出算式即可）； （2）按上面的规律归纳出一个一般性的结论（用含 的等式表示， 为正整数）； （3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【答案】（1）（答案不唯一） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，有理数的混合运算，读懂题意并熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题意框选4个数，然后将4个位置上的数交叉相乘，再相减即可，本题答案不唯一； （2）设方框中左上角的数为 ，其他三个分别为，，，然后将4个位置上的数交叉相乘，再相减即可； （3）根据整式的乘法可以将（2）中结论式子的左边展开，然后合并同类项，即可证明等式成立． 【小问1详解】 解：；（答案不唯一，正确即可） 【小问2详解】 解：设方框中左上角的数为 ，则 【小问3详解】 解：左边， 右边， 所以左边 右边． 即． 23. 如图，四边形 中，于点F，交于点E，连接，平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）4． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键． （1）利用角平分线的性质定理即可证明； （2）证明，得，由即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 24. 某校组织八年级学生赴某研学基地开展研学活动，已知学校离该研学基地60千米．师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小汽车以大巴车速度的倍前往，结果同时到达．求小汽车的速度． 【答案】小汽车的平均速度为 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设大巴车的平均速度为，则小汽车的平均速度为，根据题意可知小汽车所花的时间比大巴车花的时间少10分钟，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设大巴车的平均速度为，则小汽车的平均速度为， 根据题意得：， 解得：， 检验，当时，， 所以，原分式方程的解是． ∴ 答：小汽车的平均速度为． 25. 在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是AC上一动点，在BD的延长线上取一点E满足：AE＝AB；AF平分∠CAE交BE于点F． （1）如图1，连CF，求证：△ACF≌△AEF． （2）如图2，当∠ABC＝60°时，线段AF，EF，BF之间存在某种数量关系，写出你的结论并加以证明． （3）如图3，当∠ACB＝45°时，且AE∥BC，若EF＝3，请直接写出线段BD的长是 　 　（只填写结果）． 【答案】（1）证明见解析 （2），证明见解析 （3）6 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义可知，再根据等量代换得出AC =AE，由此可直接利用“SAS”证明； （2）在BE上截取BM=CF，连接AM．由所作辅助线易证，得出，．由题意易判断 为等边三角形，即可求出，即说明为等边三角形，得出，由此即得出； （3）延长BA，CF交于点N．由题意可知 为等腰直角三角形，即，．根据平行线的性质和等边对等角即得出BE为的角平分线，从而可求出，进而可求出．由角平分线的性质可得出，从而可求出．又易证，即得出． 【小问1详解】 ∵AF平分∠CAE， ∴． ∵AB=AC，AB=AE， ∴AC =AE． 又∵AF=AF， ∴． 【小问2详解】 证明：∵， ∴，． 如图，在BE上截取BM=CF，连接AM． 在和中，， ∴， ∴，． ∵，， ∴ 为等边三角形， ∴． ∵， ∴，即， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 即AF，EF，BF之间存在的关系为：； 【小问3详解】 如图，延长BA，CF交于点N． ∵，， ∴ 为等腰直角三角形， ∴，． ∵AE∥BC， ∴． ∵， ∴， ∴． 由（1）可知， ∴， ∴，即． ∵为的角平分线， ∴． ∵， ∴，即． 在 和中，， ∴， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题为三角形综合题，考查等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，角平分线的定义和性质，平行线的性质以及三角形内角和定理，综合性强，较难．解题关键是学会添加常用的辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $