精品解析：山西省忻州某校2024—2025学年九年级上学期上学期期末模拟数学试题

2024—2025学年第一学期期末综合素养评价四（卷） 九年级数学 一.选择题（每题3分。共30分） 1. 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离，顺利进入预定轨道，发射取得圆满成功，浩瀚太空首次迎来中国“90后”访客．下列航天图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键；因此此题可根据“一个图形绕某个点旋转180度后能与原图完全重合的图形”进行求解即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故不符合题意； B、不是中心对称图形，故不符合题意； C、不是中心对称图形，故不符合题意； D、是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 2. 如表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值，那么最接近方程的一个根是（ ） x 1 y A. 1.1 B. 1.2 C. 1.3 D. 1.4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的解；由题意知，函数值的绝对值越小，则自变量越接近对应一元二次方程的解，比较函数值的绝对值即可判断． 【详解】解：由表知，函数值的绝对值最小，对应的自变量值最接近一元二次方程的一个根， 故选：B． 3. 将函数的图象向左平移3个单位长度后得到的新抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移，先把原二次函数转化为顶点式，再由抛物线平移规律：左加右减、上加下减，根据题中平移方式得到新抛物线解析式，即可得到答案． 【详解】解：， 该图象向左平移3个单位长度后，新抛物线的解析式为：， 新抛物线的顶点坐标为． 故选D． 4. 如图，一个不可伸拉的梯子与地面所成的夹角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法正确的是（ ） A. 值越大，梯子越陡 B. 值越大，梯子越陡 C. 值越小，梯子越陡 D. 陡缓程度与的函数值无关 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角度的增大而增大；余弦值是随着角度的增大而减小，根据规律，结合选项逐项判断即可得到答案，熟记锐角三角函数值的变化规律是解决问题的关键． 【详解】解：A、正弦值是随着角度的增大而增大，则值越大，越大，梯子越陡，选项说法正确，符合题意； B、余弦值是随着角度的增大而减小，则值越大，越小，梯子越缓，选项说法错误，不符合题意； C、正切值是随着角度的减小而减小，则值越小，越小，梯子越缓，选项说法错误，不符合题意； D、由锐角三角函数值的变化规律可知，梯子的陡缓程度与的函数值有关，选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 5. 如图，，相交于点，点，，，都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的性质是解答本题的关键． 延长到点使，与格线交于点，连接，，利用网格特征得到，，再证明，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：延长到点使，与格线交于点，连接，， 则，， ， ， ， 故选：C． 6. 如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想和数形结合的思想解答． 根据题意和函数图象的特点，利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限， 故选项B正确，选项C错误； 当时，函数的图象在第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，故选项A，D错误； 故选：B． 7. 如图，、是的切线，、是切点，点为上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了切线的性质、圆周角定理、四边形内角和，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据切线的性质，可得，由四边形内角和求出，又由圆周角定理，即可求得的度数． 【详解】解：连接，，如图所示： 、是的切线， ， ， ， 故选：A． 8. 在等腰直角中，已知，．如图所示，将绕点按逆时针方向旋转后得到．则图中阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，不规则图形的面积，勾股定理，等腰直角三角形的性质．由等腰直角三角形的性质得，，由旋转得，，，即得，再根据计算即可求解． 【详解】解：∵等腰直角中，，， ∴，， 由旋转可得，，， ∴， ∴， 故选：． 9. 如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何概率的知识，求出小正方形的面积是关键．设，则圆的直径为，求出小正方形的面积，即可求出几何概率． 【详解】解：如图：连接，，设，则圆的直径为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴小正方形的面积为：， 则飞镖落在阴影区域的概率为：． 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数，过点A作轴于点B，点C是y轴负半轴上一点，连接交x轴于点D，若是的中位线，的面积为3，则k的值为（ ） A. B. C. 6 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形中位线定理，设点A的坐标为，则，，，先根据三角形的中位线定理可得，，再根据三角形的面积公式可得的值，由此即可得． 【详解】解：设点A的坐标为，则，，， ∵是的中位线， ∴，， ∵的面积为3，， ∴，即， ∴， 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二.填空题（每题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为．则______. 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，代数式求值，掌握关于原点对称的点的坐标横纵坐标互为相反数是解题关键．根据关于原点对称，得到，，再代入计算乘方即可． 【详解】解：点关于原点对称的点为， ，， ， 故答案为：1． 12. 如图，点A坐标为，点C坐标为，将线段绕点C逆时针旋转至，则点B的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．分别过A，B作x轴的垂线，垂足分别为E，D，证明，得出，求出，即可得出点B的坐标． 【详解】解：如图，分别过A，B作x轴的垂线，垂足分别为E，D，则． ∵点A坐标为，点C坐标为， ， 根据旋转可知：，， ∴， ∴， ∴， ， ， ． 故答案为：． 13. 如图，已知圆锥底面半径为，母线长为，一只蚂蚁从处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位置）所爬行的最短路径为__________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角，解直角三角形．把圆锥的侧面展开得到圆心角为，半径为60的扇形，求出扇形中的圆心角所对的弦长即为最短路径． 【详解】解：圆锥的侧面展开如图：过作， ∴， 设， 即：， 得：， ， ， ∴， 故答案为：． 14. 图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为___________． 【答案】40 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 故答案为：40． 15. 如图，在中，，，，点，分别为，上一个动点，沿折叠得到、点的对应点为，若点落在上，且与相似，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分和两种情况，分别画出图形，利用相似三角形的性质解答即可求解． 【详解】解：当时，如图，有，连接， 由折叠可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，，， ∴， ∴； 当时，如图，有， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，余角性质，折叠的性质，勾股定理，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 三、解答题（本题共75分） 16. 计算 （1）解方程： （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，实数的混合运算，熟练掌握解一元二次方程的方法以及运算法则是解题的关键． （1）方程整理为，再配方得，即可求解； （2）根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，绝对值，计算即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 如图，已知四边形是平行四边形． （1）实践与操作：利用尺规作的平分线，交边于E．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； （2）猜想与证明：试猜想线段，和的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，作角平分线； （1）根据题意作的平分线，交边于E； （2）根据平行四边形的性质可得， ，，进而根据平行线的性质，角平分线的定义，得出，根据等角对等边得出，即可得证． 【小问1详解】 解：如图所示，射线即为所求作图形， 【小问2详解】 ，证明如下 四边形是平行四边形 ， ， ， ∵平分， ， ， ， ， ． 18. 如图，两个可以自由转动的转盘均被三等分，分别转动转盘，，两个转盘停止后，观察两个指针所指的数字（若指针指在分界线，则重转）． （1）请用画树状图法或列表法表示所有可能出现的结果． （2）若将转盘停止后指针所指的数字记为，转盘停止后指针所指的数字记为．求，是方程的解的概率． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查列表法或画树状图求随机事件的概率，因式分解求一元二次方程的解，掌握列表法或画树状图求随机事件的概率的方法是解题的关键． （1）列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来即可； （2）运用因式分解求一元二次方程解，再根据概率公式的计算方法计算即可． 【小问1详解】 解：运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来如下， 2 3 4 1 2 3 【小问2详解】 解：， 因式分解得，， ∴， ∴可能得值为或，共2种， 由（1）可得，转盘可能出现的结果共有9种， ∴，是方程的解的概率为． 19. 某超市销售一种商品，成本价为元千克，经市场调查，每天销售量千克与销售单价元千克之间的关系如图所示，假设每千克售价不能低于元，且不高于元． （1）求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）若每天的总利润为元，求出关于的函数关系式，并求出当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2），销售单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合； （1）设与之间的函数关系式为，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意可得，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 将点，代入得： ， 解得， 与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 根据题意，得： ， ， 该函数图象开口向下，且其对称轴为， 又， 在此范围内，随的增大而增大， 当时，取最大值，此时， 即销售单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润元． 20. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方53米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，） 【答案】该风力发电机塔杆的高度为32米 【解析】 【分析】过点P作于点F，延长交延长线于点E，先根据含角直角三角形的性质得出，设米，则米，进而得出米，证明四边形为矩形，则米，米，根据线段之间的和差关系得出米，最后根据，列出方程求解即可． 【详解】解：过点P作于点F，延长交延长线于点E， 根据题意可得：、垂直于水平面，，，， ∴， ∵米， ∴（米）， 设米，则米， ∵，， ∴米， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴米，米， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 答：该风力发电机塔杆的高度为32米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤． 21. 请阅读下面的材料，并解答问题． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就，他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》，婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，其中有著名的婆罗摩笈多定理．婆罗摩笈多定理：圆的内接四边形的对角线与垂直相交于M，过点M的直线与边分别相交于点F、E．则有下两个结论： 如果，那么； 如果，那么． 数学课上，赵老师带领大家对该定理的第一条进行了探究． 证明：， ，即， ， ， 在中，， …… 请解答以下问题： （1）请完成所给材料的证明过程； （2）请证明结论（2）； （3）应用：如图圆O中，半径为4，A，B，C，D为圆上的点，，连接交于点F，过点F作于E，延长交于G，则的长度为______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理及直角三角形的性质得到进而推出，同理得到，根据等边对等角即可得出结论； （2）根据题意得到，进而得到，利用圆周角定理结合对顶角推出，从而得到，即可证明； （3）连接，设交于点M，先利用等腰三角形的性质结合题意易证，再利用三角形内角和定理推出，从而证明，由（1）中结论易得，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到，再根据勾股定理求出，即可得出结果． 【小问1详解】 证明：， ，即， ， ， 在中，， ， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵ ∴， ∴ 又∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接，设交于点M， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， 由（1）中结论可得， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查圆的内接四边形，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，熟练运用等腰三角形等角对等边的性质是解题的关键． 22. 【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的矩形水池进行加长改造（如图1，改造后的水池仍为矩形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为12m的矩形水池（如图2，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池1的边加长长度为，加长后水池1的总面积为 ，则关于x的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于x的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图3． 【问题解决】 （1）求关于x的函数解析式； （2）在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值； （3）假设水池的边的长度为，其他条件不变(这个加长改造后的新水池简称水池3)，则水池3的总面积，关于的函数解析式为：，若水池3与水池2的面积相等时，有唯一值，求b的值． 【答案】（1） （2）当时，面积差的最大值为 （3）b的值为 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解函数解析式即可； （2）根据二次函数性质，求出最值即可； （3）根据面积相等列出方程，根据求解即可． 【小问1详解】 解：由图象得，经过点C，E， 点C的横坐标为1，点E的横坐标为4， 当时，，当时，， ，， 经过经过点，， ，解得， ； 【小问2详解】 由图象得，在范围内，， 两个水池面积差， ，抛物线开口向下， 函数有最大值， 当时，函数有最大值， 答：当时，面积差的最大值为． 【小问3详解】 水池3与水池2的面积相等， ， 整理得，， x有唯一值， ，解得，， 答：b的值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图像与性质，求函数解析式，二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数图像与性质是解题关键． 23. 综合与实践课上，王老师带领学生们分小组进行折叠矩形纸片的探究活动． 【折叠实践】 第一步：如图（1），将矩形纸片对折，使边，重合，再展开，折痕与交于点． 第二步：如图（2），在上取一点，沿折叠矩形，点的对应点为，延长交于点，将纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕与交于点． （1）【初步发现】探究图（2）中和的位置关系． （2）【深入探究】勤学小组的同学们选用了如图（3）所示的矩形纸片，选取的点E与点D重合，按步骤折叠后发现，点F，G，M共线．请你帮他们求出的值． （3）【拓展延伸】奋进小组的同学们选用了，的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，折痕与交于点M，把纸片展开后，连接（图（4）是奋进小组的一次折叠样例）．请你解决：当为直角三角形时，求的长． 【答案】（1） ，理由如下， 矩形， ， ， ，， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质得出，再根据平行线的判定方法即可得到结论； （2）连接，设，，先证明，得到，再证明，得到，根据勾股定理得出，即可得到答案； （3）分两种情况：当时，得出四边形是正方形，得出；当时，过点作于点，则，再证明，得到，，证明，得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，， 如图（3），连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； 【小问3详解】 解：当时，如备用图（1）， ， ，， 四边形是正方形， 当时， 如图（4），过点作于点， 则， ，，， ， ， ； ， ∴ ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期期末综合素养评价四（卷） 九年级数学 一.选择题（每题3分。共30分） 1. 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离，顺利进入预定轨道，发射取得圆满成功，浩瀚太空首次迎来中国“90后”访客．下列航天图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值，那么最接近方程的一个根是（ ） x 1 y A. 1.1 B. 1.2 C. 1.3 D. 1.4 3. 将函数的图象向左平移3个单位长度后得到的新抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一个不可伸拉的梯子与地面所成的夹角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法正确的是（ ） A. 值越大，梯子越陡 B. 值越大，梯子越陡 C. 值越小，梯子越陡 D. 陡缓程度与的函数值无关 5. 如图，，相交于点，点，，，都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，、是的切线，、是切点，点为上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 在等腰直角中，已知，．如图所示，将绕点按逆时针方向旋转后得到．则图中阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数，过点A作轴于点B，点C是y轴负半轴上一点，连接交x轴于点D，若是的中位线，的面积为3，则k的值为（ ） A. B. C. 6 D. 12 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二.填空题（每题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为．则______. 12. 如图，点A坐标为，点C坐标为，将线段绕点C逆时针旋转至，则点B的坐标是___________． 13. 如图，已知圆锥底面半径为，母线长为，一只蚂蚁从处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位置）所爬行的最短路径为__________．（结果保留根号） 14. 图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为___________． 15. 如图，在中，，，，点，分别为，上一个动点，沿折叠得到、点的对应点为，若点落在上，且与相似，则的长为______． 三、解答题（本题共75分） 16. 计算 （1）解方程： （2） 17. 如图，已知四边形是平行四边形． （1）实践与操作：利用尺规作的平分线，交边于E．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； （2）猜想与证明：试猜想线段，和的数量关系，并加以证明． 18. 如图，两个可以自由转动的转盘均被三等分，分别转动转盘，，两个转盘停止后，观察两个指针所指的数字（若指针指在分界线，则重转）． （1）请用画树状图法或列表法表示所有可能出现的结果． （2）若将转盘停止后指针所指的数字记为，转盘停止后指针所指的数字记为．求，是方程的解的概率． 19. 某超市销售一种商品，成本价为元千克，经市场调查，每天销售量千克与销售单价元千克之间的关系如图所示，假设每千克售价不能低于元，且不高于元． （1）求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）若每天的总利润为元，求出关于的函数关系式，并求出当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 20. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方53米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，） 21. 请阅读下面的材料，并解答问题． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就，他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》，婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，其中有著名的婆罗摩笈多定理．婆罗摩笈多定理：圆的内接四边形的对角线与垂直相交于M，过点M的直线与边分别相交于点F、E．则有下两个结论： 如果，那么； 如果，那么． 数学课上，赵老师带领大家对该定理的第一条进行了探究． 证明：， ，即， ， ， 在中，， …… 请解答以下问题： （1）请完成所给材料的证明过程； （2）请证明结论（2）； （3）应用：如图圆O中，半径为4，A，B，C，D为圆上的点，，连接交于点F，过点F作于E，延长交于G，则的长度为______． 22. 【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的矩形水池进行加长改造（如图1，改造后的水池仍为矩形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为12m的矩形水池（如图2，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池1的边加长长度为，加长后水池1的总面积为 ，则关于x的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于x的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图3． 【问题解决】 （1）求关于x的函数解析式； （2）在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值； （3）假设水池的边的长度为，其他条件不变(这个加长改造后的新水池简称水池3)，则水池3的总面积，关于的函数解析式为：，若水池3与水池2的面积相等时，有唯一值，求b的值． 23. 综合与实践课上，王老师带领学生们分小组进行折叠矩形纸片的探究活动． 【折叠实践】 第一步：如图（1），将矩形纸片对折，使边，重合，再展开，折痕与交于点． 第二步：如图（2），在上取一点，沿折叠矩形，点的对应点为，延长交于点，将纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕与交于点． （1）【初步发现】探究图（2）中和的位置关系． （2）【深入探究】勤学小组的同学们选用了如图（3）所示的矩形纸片，选取的点E与点D重合，按步骤折叠后发现，点F，G，M共线．请你帮他们求出的值． （3）【拓展延伸】奋进小组的同学们选用了，的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，折痕与交于点M，把纸片展开后，连接（图（4）是奋进小组的一次折叠样例）．请你解决：当为直角三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $