北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高二上学期期末练习数学试题(II卷)

第 1 页 / 共 2 页 人大附中 2024~2025学年度第一学期高二年级数学期末练习 Ⅱ卷（共 8道题，满分 50分） 2025年 1月 制卷人：宁少华 王鼎 审卷人：吴中才 说明：Ⅰ卷（海淀区期末练习）、Ⅱ卷合计 150分，考试时间共 120分钟． 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 一、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请将结果填写在答题纸上的相应位置．） 20．若对 m R ， 直线 2y x m= + ，双曲线线 2 2 1Ax By+ = ，多有 一个公共点，则该曲线线的渐近线 方程为________，离心率为________． 21．椭圆 2 2 2 2 1 3 x y a a + = − ，的点点为 1 2F F， ， 过原点的直线双该椭圆交于 A B， ，点点，若 2 3AB = ， 1 2AF F△ 的面积为1，则该椭圆的点距为________， 1 2AF F△ 的周长为________． 22．若直线 : 0l x y m+ + = 双圆 2 2: 1O x y+ = 交于 A B， 点点， 0OA OB ≥ ，则实数 m 的取值范围是 ________． 23．已知线线 3 2 1 : 1 x C y x = − ， 22 : 4C y x= − ，给出下列四个结论： ①线线 1C 双 2C 且只 1个公共点； ②线线 1C 双 2C 中， 且只 一个是轴对称图形； ③线线 1C 双 2C 中， 且只 一个中心对称图形； ④设 P为 1C 上一点，（异于坐标原点O），过点 P作直线 l OP⊥ ，则 l双 2C 且只 1个公共点． 其中所 正确结论的序号是________． 二、选择题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 24．椭圆 1C 双曲线线 2C 公共的点点 1( 0)F c− ， ， 2 ( 0)F c， ， 0c  ，抛物线 3C 的方程为 2 4y cx= ，P 为 1 2 3C C C， ， 的一个公共点，若 2 1 4 tan 3 PF F = ，则 1 2 3C C C， ， 离心率的乘积为 A．1 B．2 C．3 D．4 第 2 页 / 共 2 页 25．已知 2 2 π( ) ( cos ) sin 1 1 0 2 T x y y x y     = − = − −    ≤ ≤ ≤ ≤， ， ， ，图形T的面积为 S，则 A． 1 3 2 2 S ≤ B． 3 5 2 2 S ≤ C． 5 7 2 2 S ≤ D． 7 9 2 2 S ≤ 26．如图，一个玩具由矩形竖屏，底面圆盘及斜杆构成，竖屏 垂直于圆盘且固定不动，圆盘可以转动，斜杆以恰当的方 式固定在圆盘上，可随着圆盘转动．当竖屏上的孔隙形状 是合适的曲线线的一支时，斜杆可以自由穿过竖屏的孔 隙，所以这个玩具被称为曲线狭缝玩具．若斜杆双圆盘所 成角的大小为60，斜杆双过底面圆心且双底面垂直的边 的距离为1cm，则合适孔隙的曲线线方程可能是 A． ( ) 2 2 0 2 y x k k− =  B． ( ) 2 2 0 3 y x k k− =  C． ( ) 2 2 0 4 y x k k− =  D． ( ) 2 2 0 5 y x k k− =  三、解答题（本大题共 1 小题，第，（Ⅰ）问 6 分，第，（Ⅱ）问 6 分，第，（Ⅲ）问 3 分，共 15 分．请 将答案填写在答题纸上的相应位置．） 27．已知正整数 ( 2)n n≥ ，  ( ) 0 0n i j i n j n i j =    Z Z≤ ≤， ， ， ， ，为 n 的 k元子集 ( 2)k≥ ， 记  PQ P Q PQ =  ， ， 为非零向量 ，若  的元素个数为 2k k− ，则称为 n 的不重子 集． （Ⅰ）已知集合      (0 0) (1 0) (2 0) (0 0) (1 0) (2 1) (0 0) (1 1) (2 2)A B C= = =， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，这 三个集合中，集合________是 3 的不重子集；若该集合新增 m 个元素后，仍为 3 的不重子 集，则 m的多大值为________，此时新增的这 m个元素为________________； （Ⅱ）若为 5 的不重子集，且 0   ， ，a b a b ，求 k的多大值； （Ⅲ）若为 5 的不重子集，则 k的多大值为________，直接在平面直角坐标系中给出一个使得 k 多大的的例子． 第 1 页 / 共 1 页 人大附中 2024~2025 学年度第一学期高二年级数学期末练习答案 Ⅱ卷（共 8 道题，满分 50 分） 2025 年 1 月 一、填空题 20． 2y x=  ； 5 或 5 2 （前 3 分后 2 分） 21． 2 3 ; 4 2 3+ （前 3 分后 2 分） 22． 2, 1 1, 2   − −    23．①④，（答对一个 3 分，全对 5 分，有错 0 分） 二、选择题 24.D 25.B 26.B 三、解答题 27．（I）（6 分） B ；2； ( ) ( )0,2 , 2,2 （3 个空每空 2 分，其中第三个空两个元素，每个元素 1 分） （II）（6 分） k 的最大值 5，证明如下： 由题意知， 5 中点的横、纵坐标均只有 5 种取值． 一方面，若 6k  ，由抽屉原理知，中必存在两个横坐标相同的点 ,A B ，两个纵坐标相同的 点 ,C D，则 ,AB CD  ，且 0AB CD = ，矛盾 另一方面，可以构造 5k = 的满足题意的不重子集 -- （III）（3 分） k 的最大值为 8， 可以构造 8k = 的不重子集．