精品解析：北京市第五中学2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试题

2024-2025学年度第一学期期末检测试卷 高二数学 一､单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 若直线的斜率为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】由倾斜角与斜率关系可得答案. 【详解】设的倾斜角为，则， 由，故. 故选：C. 2. 在数列中，（ ） A. 2 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合递推公式可求得数列是周期为3的周期数列，然后利用递推数列求出第3项即可求解. 【详解】因为 所以，， 故， ， 故数列是周期为3的周期数列， 从而 由知，，， 故. 故选：D. 3. 若双曲线的离心率是2，则实数的值是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设双曲线的实半轴为，虚半轴为，半焦距为，由双曲线方程求，结合离心率定义列方程求. 【详解】设双曲线的实半轴为，虚半轴为，半焦距为， 因为双曲线方程可化为， 所以，，， 所以双曲线的离心率，故， 所以. 故选：A. 4. 某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时 参加，则不同的邀请方法有 A. 84种 B. 98种 C. 112种 D. 140种 【答案】D 【解析】 【详解】∵10位教师中的6人参加一个研讨会， 其中甲、乙两位教师不能同时参加，需要分类来解， ∴当甲和乙有一个参加，则只要从8人中选5个，共有2C85=112种结果， 当甲和乙都不参加，要从8人中选6人，共有C86=28种结果， 根据分类计数原理知共有112+28=140， 故答案为140 5. 若且，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项展开式可求得常数项，再利用赋值法即可求得参数的值. 【详解】由二项式定理可知，常数项； 令，得， 又因为， 所以， 可得或. 故选：D. 6. 为抛物线上一点，点到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，则（ ） A. 18 B. 4 C. 2或18 D. 4或9 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线方程，可得准线方程，再由点到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，可得点坐标，代入抛物线方程，即可求得答案. 【详解】由抛物线方程，可得准线方程， 因为点到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，所以点， 代入抛物线方程得， 解得或. 故选：C 7. 已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列.令，则数列的前50项和（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据成等比数列结合公差为2，求得，得到，再利用裂项相消法求解. 【详解】因为，，， 由成等比数列，得，解得， 所以， 则， 则. 故选：D. 8. 均匀压缩是物理学一种常见现象.在平面直角坐标系中曲线的均匀压缩，可用曲线上点的坐标来描述.设曲线上任意一点，若将曲线纵向均匀压缩至原来的一半，则点的对应点为.同理，若将曲线横向均匀压缩至原来的一半，则曲线上点的对应点为.若将单位圆先横向均匀压缩至原来的一半，再纵向均匀压缩至原来的，得到的曲线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设单位圆上一点为，经过题设变换后坐标为，则，代入圆的方程即可得曲线方程. 【详解】由题设，单位圆上一点坐标为，经过横向均匀压缩至原来的一半，纵向均匀压缩至原来的，得到对应坐标为， ∴，则，故中，可得：. 故选：C. 9. 已知等比数列各项都为正数，前项和为，则“是递增数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】通过两个特殊数列可知两个命题互相推不出，则可判断为既不充分也不必要条件. 【详解】等比数列各项都为正数，设公比为，则， ①当时，是递增数列， ， 由，则， 不满足. 所以是递增数列. ②当时，则， 此时满足，为常数列，不是递增数列. 所以 是递增数列. 故“是递增数列”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 10. 是圆上两点，，若在圆上存在点恰为线段的中点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由得弦中点P到圆心的距离，则点在以为圆心，1为半径的圆上，又在圆上存在点，则可转化为两圆有公共点问题求解即可. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 由是弦的中点，且，则， 所以， 故点在以为圆心， 以为半径的圆上. 又在圆上存在点恰为线段的中点，， 则两圆有公共点，可得， 即，解得或. 则实数的取值范围为， 故选：A. 二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 两条直线与之间距离是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由两条平行线的距离公式求解即可. 【详解】由两条平行线的距离公式可得：. 故答案为：. 12. 若展开式的各项系数之和为32，则_________ ，其展开式中的常数项为__________．（用数字作答） 【答案】 ①. 5 ②. 10 【解析】 【详解】显然展开式的各项系数之和就是二项式系数之和，也即n=5；，常数项C＝10. 13. 已知双曲线的一个焦点为，且与直线没有公共点，则双曲线的方程可以为__________. 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】取直线为双曲线的渐近线，则，根据焦点得到，，得到双曲线方程. 【详解】取直线为双曲线的渐近线，则， 双曲线的一个焦点是，故， 由，解得，故双曲线方程为. 故答案为：(答案不唯一) 14. 在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于两点，，若，则当变化时，点到点的距离的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求得两点坐标，根据得到，再结合可得到轨迹为动圆，求得该动圆圆心的方程，即可求得答案. 【详解】由，得， 由，得， 由，得， 设，则， 即， 因此点的轨迹为一动圆， 设该动圆圆心为，即有， 则代入，整理得：， 即轨迹的圆心在圆上（除此圆与坐标轴的交点外）， 则， 当且仅当点为射线与圆的交点，点为射线与圆的交点时等号成立， 又， 所以点到点的距离的最大值为. 故答案为：. 15. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，..，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的是__________.①；②；③；④. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】分别求出前七项，求和后可判断①；由依次取值后累加可判断②；由依次取奇数累加可判断③；由递推关系可得，依次取值后累加可判断④. 【详解】因为第三项起，每个数等于它前面两个数的和， 由数列前五项为1，1，2，3，5，可得，， ∴，①正确； 由，，…，，两边累加可得： 即， ∴，②错误； 由，，，…，， 相加可得：．③正确； 因斐波那契数列总有， 则，，，…， ，； 相加可得，即，④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】关键点点睛：解本题的关键是正确理解“斐波那契数列”含义以及递推关系与性质，求解时注意根据题干中的结论将递推关系灵活转换. 三､解答题（本大题共6小题，共85分） 16. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）最小值；最大值 【解析】 【分析】（1）根据题意结合五点法求函数解析式； （2）根据图象变换可得，以为整体，结合正弦函数有界性分析求解. 【小问1详解】 由图可知：函数的周期， 又，所以. 又因为，即， 则，即. 且，可知，所以. 【小问2详解】 由的图象向右平移个单位长度后得， 因为，令， 当，即时，取最小值； 当，即时，取最大值. 17. 在中，． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长. 【小问1详解】 解：因为，则，由已知可得， 可得，因此，. 【小问2详解】 解：由三角形的面积公式可得，解得. 由余弦定理可得，， 所以，的周长为. 18. 2021年7月11日18时，中央气象台发布暴雨橙色预警，这是中央气象台2021年首次发布暴雨橙色预警.中央气象台预计，7月11日至13日，华北地区将出现2021年以来的最强降雨.下表是中央气象台7月13日2：00统计的24小时全国降雨量排在前十的区域. 北京密云 山东乐陵 河北迁西 山东庆云 北京怀柔 河北海兴 河北唐山 天津渤海A平台 河北丰南 山东长清 180 毫米 175 毫米 144 毫米 144 毫米 143 毫米 140 毫米 130 毫米 127 毫米 126 毫米 126 毫米 （1）从这10个区域中随机选出1个区域，求这个区域的降雨量超过135毫米的概率； （2）从这10个区域中随机选出3个区域，求恰有一个北京区域的概率； （3）在7月13日2：00统计的24小时全国降雨量排在前十的区域中，设降雨量超过140毫米的区域降雨量的方差为，降雨量在140毫米或140毫米以下的区域降雨量的方差为，全部十个区域降雨量的方差为.试判断的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由表格可得雨量在135毫米以上的区域共有6个，进而可得结果； （2）设随机变量X表示选出的区域为北京区域的数量，由超几何分布概率公式可得； （3）结合方差的意义可得结果. 【小问1详解】 设这个区域降雨量在135毫米以上为事件， 区域降雨量在135毫米以上的区域共有6个，所以. 故这个区域降雨量在135毫米以上的概率为 【小问2详解】 设随机变量X表示选出的区域为北京区域的数量， 由题意分析可知服从超几何分布，即表示“恰有一个北京区域”， 则， 故恰有一个北京区域的概率为. 【小问3详解】 表中数据的均值为， 故 ， 降雨量超过140毫米的区域降雨量的均值为， 故， 降雨量在140毫米或140毫米以下的区域降雨量的均值为： ， 故， 故. 19. 如图，三棱锥中，，平面平面，点是棱的中点，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 条件①：；条件②：直线与平面所成角为. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）由面面垂直性质定理证明线面垂直，进而得线线垂直， 选①再由长度关系利用勾股定理证明另一组线线垂直， 选②结合线面角的定义证明，由此可得,利用勾股定理证明另一组线线垂直， 则由线面垂直判定理证明线面垂直，由此线线垂直得证； （2）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，利用向量方法求解二面角的大小. 【小问1详解】 选择条件①. 取的中点，连接. 因为，所以， 又平面平面，平面， 平面平面， 故平面， 而平面，故，即， 所以， 又，故， 则，即. 因为，平面， 所以平面，平面， 所以. 选择条件②. 取的中点，连接. 因为，所以， 又平面平面，平面， 平面平面， 故平面， 所以在平面内的射影是， 所以是直线与平面所成角. 所以. 由平面，而平面，故，即， 所以，又， 故，则，即. 因，平面， 所以平面，平面， 所以. 【小问2详解】 由（1）知两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 于是， 由点是棱的中点，所以， 于是，又， 设是平面的法向量， 则， 令，则， 所以是平面的一个法向量，， 又是平面的一个法向量， 设二面角的大小为，由题可知为锐角， 所以. 20. 已知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的右焦点作斜率为的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线分别交直线轴，轴于点，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据离心率、顶点坐标及求出可得答案； （2）直线的方程与椭圆方程联立，设，利用韦达定理求出点坐标，可得直线的方程，令、可得、点坐标，利用两点间的距离公式求出、，再做比值可得答案. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 由（1）椭圆的标准方程为，可得， 可得直线的方程为， 与椭圆方程联立，可得， 易知，设，所以，， 所以，代入直线的方程得， 所以， 所以直线的方程为， 当时，， 当时，， 所以，， 所以， ， 所以. . 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 21. 设等差数列的各项均为整数，且满足对任意正整数，总存在正整数，使得，则称这样的数列具有性质. （1）若数列的通项公式为，数列是否具有性质？并说明理由； （2）若，求出具有性质的数列公差的所有可能值； （3）对于给定的，具有性质的数列是有限个，还是可以无穷多个？ 【答案】（1）数列具有性质，理由见解析 （2）或 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由性质P的定义即可判断； （2）由题设，存在，结合已知得且，则，由性质P的定义只需保证d为整数即可确定公差的所有可能值； （3）根据（2）的思路，分类讨论与的情况.当且，由为整数，在为定值只需d为整数，即可判断数列的个数是否有限. 【小问1详解】 因为，所以对任意有， 即对任意正整数，总存在正整数，使得， 所以数列具有性质. 【小问2详解】 设等差数列的公差为d，数列具有性质， 当时，恒成立； 当时，则， 所以即， 若时，则，不满足题意； 所以，得， 由等差数列的各项均为整数，则为整数，又，且， 所以有或，即或. 又， 若对任意，且， 则， 又正整数n和必一奇一偶，且，则为非负整数， 因此只需为整数，那么即为数列的第项， 故当，即时， 则，满足题意； 当，即时， 则，满足题意； 当，即时， 则，满足题意； 故d的所有可能值为或. 【小问3详解】 ①若给定，则， 所以， 故给定，则任意，都具有性质，故此时这样的数列有无穷多个； ②若给定，则， 由（2）知，，，则， 则，只需为整数，则， 即为数列的第项， 因为任意给定整数的约数为有限个，故公差d必为有限个， 故若给定，则具有性质P的数列有有限个； 综上所述，若给定，具有性质的数列有无穷多个； 若给定，具有性质的数列有有限个. 【点睛】思路点睛：根据性质P的定义，在第（2）、（3）问中利用满足等差数列通项公式，结合各项均为整数，当时，公差，利用用整数性质求解公差个数或判断其个数是否有限即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期末检测试卷 高二数学 一､单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 若直线斜率为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在数列中，（ ） A. 2 B. 2 C. D. 3. 若双曲线的离心率是2，则实数的值是（ ） A. B. C. 3 D. 4. 某单位要邀请10位教师中6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时 参加，则不同的邀请方法有 A. 84种 B. 98种 C. 112种 D. 140种 5. 若且，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. D. 1或 6. 为抛物线上一点，点到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，则（ ） A. 18 B. 4 C. 2或18 D. 4或9 7. 已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列.令，则数列的前50项和（ ） A. B. C. D. 8. 均匀压缩是物理学一种常见现象.在平面直角坐标系中曲线的均匀压缩，可用曲线上点的坐标来描述.设曲线上任意一点，若将曲线纵向均匀压缩至原来的一半，则点的对应点为.同理，若将曲线横向均匀压缩至原来的一半，则曲线上点的对应点为.若将单位圆先横向均匀压缩至原来的一半，再纵向均匀压缩至原来的，得到的曲线方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知等比数列各项都为正数，前项和为，则“是递增数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 是圆上两点，，若在圆上存在点恰为线段的中点，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 两条直线与之间的距离是__________. 12. 若展开式的各项系数之和为32，则_________ ，其展开式中的常数项为__________．（用数字作答） 13. 已知双曲线一个焦点为，且与直线没有公共点，则双曲线的方程可以为__________. 14. 在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于两点，，若，则当变化时，点到点的距离的最大值为__________. 15. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，..，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的是__________.①；②；③；④. 三､解答题（本大题共6小题，共85分） 16. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最大值和最小值. 17. 在中，． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 18. 2021年7月11日18时，中央气象台发布暴雨橙色预警，这是中央气象台2021年首次发布暴雨橙色预警.中央气象台预计，7月11日至13日，华北地区将出现2021年以来的最强降雨.下表是中央气象台7月13日2：00统计的24小时全国降雨量排在前十的区域. 北京密云 山东乐陵 河北迁西 山东庆云 北京怀柔 河北海兴 河北唐山 天津渤海A平台 河北丰南 山东长清 180 毫米 175 毫米 144 毫米 144 毫米 143 毫米 140 毫米 130 毫米 127 毫米 126 毫米 126 毫米 （1）从这10个区域中随机选出1个区域，求这个区域的降雨量超过135毫米的概率； （2）从这10个区域中随机选出3个区域，求恰有一个北京区域的概率； （3）在7月13日2：00统计的24小时全国降雨量排在前十的区域中，设降雨量超过140毫米的区域降雨量的方差为，降雨量在140毫米或140毫米以下的区域降雨量的方差为，全部十个区域降雨量的方差为.试判断的大小关系.（结论不要求证明） 19. 如图，三棱锥中，，平面平面，点是棱的中点，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 条件①：；条件②：直线与平面所成角为. 20. 已知椭圆一个顶点坐标为，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的右焦点作斜率为的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线分别交直线轴，轴于点，求的值. 21. 设等差数列的各项均为整数，且满足对任意正整数，总存在正整数，使得，则称这样的数列具有性质. （1）若数列的通项公式为，数列是否具有性质？并说明理由； （2）若，求出具有性质的数列公差的所有可能值； （3）对于给定的，具有性质的数列是有限个，还是可以无穷多个？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $