北京市中关村中学2025-2026学年高二上学期期末数学试卷

小IT八II丁∠LI LWT第 Tw/少nTI 高二数学 2026.01 本试卷共分两个部分，共5页，总分150分、考试时长120分钟。考生务必将答案答 在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回、 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出最符合题目 要求的一项、 1.直线√3x+3y41=0的倾斜角是() A君 R c号 D. 5n 2.已知点P与A(O,2),B(-10)共线，则点P的坐标可以为() A.(-2,J) B. ( C.(1,4) D.(L-1) 3、已知双曲线号子->0b>0的离心率为知，则该双曲线的南渐近线方程是(； A.x±V3y=0 B.2xLy=0 C.x±2y=0 D.3x±y=0 4.己知数列{a}的前n项和为S。,a=l,S.=2a+, 则S.=( A.2”- B.( D2 5.直线11：ax-y-3=0,L:x+by+c=0, 则ab=-1是1I/L2的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.在四棱锂-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且3EC-2PE设AB-ACb, AP=c,则DE=( A.6-2五+2无 B 1ā+26+2无 533 C.i-2b+2 35 D. 3 a-36+3 5 5 7.南北朝时代的科学家祖眶在实践的基础上，提出：夹在两个平行平面之间的两个几何体， 被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个 几何体的体积相等。这个体队计算原理披后人称为租嘲原理. 现有椭圆c:x之=绕宣线m旋特一商得 4 到的旋转体“防球”及△ABO,绕直线1(I/m)旋 转得到的旋转体满足：用垂直于直线m的平面越 两个几何体所得的截面（阴影部分）面积总相 等，利用祖咀原理可求得此椭球的体积是( A号 B D. 8.在平面直角坐标系xOy中，点(-1.-D,点B在圆3-y=4上，则OAOB,的最大值 为() A.3 B.2+V2 C.I+2 D.4 9.在一个正方体ABCD-ABCD 中，P为正方形AB,CD 四边 上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M,N分别为 AB,BC中点，点Q为平面ABCD内一点，线段DQ与OP互 相平分，则满足MQ=AMN的实数λ的值有()》 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 10,树圆具有如下光学性质：如图，F心，0，五c0分别是精圆产下=的左、右点， 从点F发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点F2,有以下 两个命题： @滑是稀圆上除长端点外的一点。设法线与x销的交点为2,0心，则（号引 ②若从F发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到F所经过的路程为8c,则该椭圆 y 的离心率为分 则以下说法正确的是() A.①是真命题，②是真命题 B.①是真命题，②是假命题 C.①是假命题，②是真命题 Q.①是假命题，②是假命题 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每题5分，共25分 双曲线My一=1的焦点的坐标 12.点P(-2-1)关于直线1：x+2y-2=0 的对称点的坐标 直毛梭柱ABC-ABC中，LACB=)、AC-BC-CC,点D是AC的中店 与AA所成角的余弦值为一· 14.己知融物线C的准线为x二1，则抛物线C的标准方程为， :经过焦点F的 直线1与抛物线C相交于A、B两点，若△A0B的面积为4，则|AB=. 15.曲线C是平面内到原点0的距离与到直线x=1的距离的乘积等于常数a(a>1)的 点的轨迹.给出下列四个结论： ①曲线C过点(0,1)： ②曲线C关于轴对称； ③曲线C存在渐近线： ④曲线C与被x轴截得的弦长大于√5 备注：吉一条良线与一条曲线相交于两个点4您，则这两个交点之间的线段4B被称为曲 线关于直线的弦。线段的长度AB/即为弦长 其中所有正确结论的序号是 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16.(本题13分) 设(a是一个公比为g(g0,q1)的等比数列，4a,3a2,2a,成等差数列，且它的前 4项和S4=15, (①求数列{a。}的通项公式： (IⅡ)令b。=a,+2m,（π=1,2,3….)，求数列{b}的前n项和. 试卷第3页，共6页 17.(木题13分) 在△MC中，内角A,B,C的对边分别为a,b.c,且2V3 asin B=5c,co8B=号 4 ①求角A的大小： (II)设BC边的中点为D,请从如下三个条件中任选一个作为己知，求△ABD的面积. ①AD= 3 ②AC=5: ③△ABC周长为15： 注：如果选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分： 18.(本题14分) 已知圆C:x2+y2-6x-8y+21=0, 直线1过定点A(1,0)。 (I)求圆心C的坐标和圆的半径r; (Ⅱ)若↓与圆相切，求1的方程： ()若1与圆相交于P,Q两点，线段PQ的中点为M,又与↓：x+2y+2=0的交 点为N,求证：AMAN为定值。 19.(本题15分) 在四棱锥P-ABCD中，平面PADL平面ABCD,△PAD为等边三角形、 AB=AD=CD=2,AB⊥AD,ABI/CD,点M是PC的中点. ①求证：MB∥平面PAD, (II)求二面角P-BCD的余弦值： 段PB上是否存在点N,使得DN平面PBC9若存在，请求出 不存在，请说明理由。 M 试卷第4页，共6页 3:1. 20.(木题15分) 己知椭圆C: 2 且a-2b. (I)求C的方程； (IⅡ)设椭圆C的左焦点为F,过F的直线1交C于P,Q两点，记△TPF和△TQF的面 积分别为S、S2,是否存在点T(1,0),使得· 三=P℃恒成立喏存在，求出1的值：若 S,IOT 不存在，说明理由. 21.(本题15分) 在平面内，有m个椭圆和n条抛物线(m,n∈N),任意两条曲线均存在公共点，且 任意三条及以上的曲线无公共点.设所有公共点个数为V.这些公共点将椭圆和抛物线 共分割为L条曲线段（或曲射线），上述图形将平面分割为$个互不连通的区域.如图， 一个椭圆与一条抛物线相交，此时S=4.已知对于任意m、n∈N,V+S-L=1成立 (I)当m=n=1时，直接写出S的最大值及此时V和L的值： (IⅡ)当=2时，是否存在V,使得S=25?若存在，求出V的值：若不存在，说明 理由： (I)对于给定的m,n∈N,设所有S的最大值为S(m,n).当S(m,n)-221+n时，试求出 m+n的值， 瓜 试卷第5页.共6页